2024版高中同步新教材选择性必修第一册（人教A版）数学 第三章 圆锥曲线的方程 专题强化练8 直线与圆锥曲线的位置关系

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专题强化练8　直线与圆锥曲线的位置关系1.(2023河南南阳期中联考)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),过F和P(0,2b)两点的直线与双曲线只有一个交点,则该双曲线的方程为              (　　)A.=1C.=12.(2021吉林长春外国语学校期中)已知椭圆=1的一条弦被点(1,1)平分,那么这条弦所在直线的方程为              (　　)A.4x+3y-7=0　　　　B.4x-3y-7=0C.3x+4y-7=0　　　　D.3x-4y+1=03.(2022江西贵溪实验中学期中)斜率为1且过椭圆9x2+25y2=225的右焦点的直线交椭圆于A,B两点,则弦AB的长为              (　　)A.5　　　　B.6C.　　　　D.74.(2023湖南长沙期中联考)已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l交椭圆C于A,B两点,过A作x轴的垂线交椭圆C于另一点Q(Q不与A,B重合).设△ABQ的外心为G,则的值为　　　　. 5.(2022河南郑州中学月考)如图,已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),过点A(0,-1)作直线,与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP的延长线与x轴分别相交于点M,N.如果直线BQ的斜率与直线BP的斜率的乘积为-3,则∠MBN=　　　　. 6.(2021江苏泰州中学期末)已知椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点与左、右顶点连线的斜率之积为-.(1)求椭圆C的离心率;(2)若直线y=(x+1)与椭圆C相交于A,B两点,且△AOB(O为坐标原点)的面积为,求椭圆C的标准方程.   7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程;(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使(O为坐标原点),求t的值及点D的坐标.    8.经过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点.(1)判断以AB为直径的圆与该抛物线准线的位置关系,并说明理由;(2)过点N(n,0)的直线与抛物线交于另两点P,Q,若OP⊥OQ,求n的值.   9.(2023重庆南开中学模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,上顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为(2,1)时,直线l恰好经过D点.(1)求椭圆C的方程;(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.10.(2023陕西西北工业大学附属中学月考)曲线C的方程为-|x+1|=0,点D的坐标(1,0),点P的坐标(1,2).(1)设E是曲线C上的点,且E到D的距离等于4,求E的坐标;(2)设A,B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点,直线PA,PB与y轴分别交于M,N两点,线段MN的垂直平分线经过点P.证明直线AB的斜率为定值,并求出此值.
答案与分层梯度式解析专题强化练8　直线与圆锥曲线的位置关系1.B2.A3.C     1.B　因为双曲线方程为=1,所以它的渐近线方程为y=±x,又因为F(2,0),P(0,2b),所以直线PF的斜率kPF=,由题意知直线PF与双曲线的一条渐近线平行,所以-,故a=,又因为双曲线的右焦点为F(2,0),所以c=2,故b2=c2-a2=12-3=9,所以该双曲线的方程为=1.故选B.2.A　设这条弦所在的直线与椭圆=1交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,则由中点坐标公式知x1+x2=2,y1+y2=2.∴①-②,得4(x1-x2)+3(y1-y2)=0,∴kPQ=,∴这条弦所在直线的方程为y-1=-(x-1),即4x+3y-7=0.故选A.3.C　由9x2+25y2=225得=1,故a2=25,b2=9,所以c2=16,故椭圆的右焦点的坐标为(4,0),直线AB的方程为y=x-4.由得34x2-200x+175=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,故|AB|==.故选C.4.答案　4解析　易知F2(1,0),设直线AB的方程为x=my+1(m≠0),代入椭圆方程得(3m2+4)y2+6my-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,∴AB的中点坐标为,|AB|=×.由题知G是线段AB的垂直平分线与线段AQ的垂直平分线的交点,故G在x轴上,AB的垂直平分线方程为y+,令y=0,得x=,即G,∴|GF2|=,∴=4.5.答案　解析　由题知直线PQ的斜率存在且不为0,设其方程为y=kx-1(k≠0),另设P(x1,y1),Q(x2,y2).由消去y,得x2-2pkx+2p=0,则x1+x2=2pk,x1x2=2p.因为kBP=,kBQ=,所以kBP+kBQ==0.又kBP·kBQ=-3,所以kBP=,kBQ=-,所以∠BNM=,∠BMN=,故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=.6.解析　(1)由题意知,椭圆的上顶点的坐标为(0,b),左、右顶点的坐标分别为(-a,0),(a,0),∴,即a2=4b2,则a=2b,又a2=b2+c2,∴c=b,∴椭圆的离心率e=.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得2x2+2x+1-4b2=0,∴x1+x2=-1,x1x2=,∴|AB|=.原点O到直线y=(x+1),即x-2y+1=0的距离d=,∴,∴,∴b2=1,满足Δ=4-8(1-4b2)=32b2-4>0,∴a2=4,∴椭圆C的标准方程为+y2=1.7.解析　(1)由题意知a=2,所以一条渐近线方程为y=x,即bx-2y=0,所以,又c2=b2+12,所以b2=3.所以双曲线的标准方程为=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),x0≥2,则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程与双曲线方程联立,得x2-16x+84=0,则x1+x2=16,y1+y2=12.所以所以t=4,点D的坐标为(4,3).8.解析　(1)以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切,理由如下:如图所示,y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由题可设直线l的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为C(x0,y0),联立化为y2-4my-4=0,∴y1+y2=4m=2y0,∴y0=2m,x0=my0+1=2m2+1,∴点C到准线的距离d=2m2+2,而|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+2+2=4m2+4=2d,∴以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切.(2)设P(x3,y3),Q(x4,y4),过点N(n,0)的直线方程为x=ty+n,联立化为y2-4ty-4n=0,∴y3+y4=4t,y3y4=-4n,∵OP⊥OQ,∴x3x4+y3y4=0,∴(ty3+n)(ty4+n)+y3y4=0,化为(t2+1)y3y4+tn(y3+y4)+n2=0,∴-4n(t2+1)+tn×4t+n2=0,∴n(n-4)=0,易知n≠0,∴n=4.9.解析　(1)由题意知,离心率e=,所以a=c,设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减,并整理,可得,即k·kOM=-.当点M的坐标为(2,1)时,kOM=,所以k=-1,此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即y=-x+3,所以D(0,3),所以b=c=3,a=3,所以椭圆C的方程为=1.(2)设直线l的方程为y=kx+m,由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-18=0,则Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-18)=8(18k2-m2+9)>0,xM=,yM=,所以kDM==-k,解得m=,其中1-2k2≠0,即k≠±,因为l不过D点,所以≠3,即k≠0,又Δ=8(18k2-m2+9)>0,故18k2+9->0,化简得2k2-3>0,即k2>,所以k>.故k的取值范围是∪.10.解析　(1)曲线C的方程为-|x+1|=0,移项,平方得(x-1)2+y2=(x+1)2,化简得y2=4x,∴曲线C的方程为y2=4x.∴D(1,0)为抛物线y2=4x的焦点,直线x=-1为抛物线y2=4x的准线.设E(x0,y0),则|ED|=x0+1.∵|ED|=4,∴x0+1=4,解得x0=3.∴=4x0=12,解得y0=±2.∴E的坐标为(3,2)或(3,-2).(2)∵P(1,2),曲线C的方程为y2=4x,∴点P(1,2)在曲线C上,∵A,B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点,直线PA,PB与y轴分别交于M,N两点,∴直线PA,PB的斜率都存在,且都不为0,分别设为k,k1,则kk1≠0,直线PA的方程为y-2=k(x-1),即y=kx+2-k.当x=0时,y=2-k,即M(0,2-k).同理可得N(0,2-k1).∵线段MN的垂直平分线经过点P,∴=2,整理得k1=-k.由得k2x2-2(k2-2k+2)x+k2-4k+4=0.设A(x1,y1),则1,x1是k2x2-2(k2-2k+2)x+k2-4k+4=0的解.由根与系数的关系得x1=1·x1=,∴A,同理可得B,∴kAB==-1,∴直线AB的斜率为定值-1.导师点睛　解决定值、定点问题的方法(1)从特殊情况入手,求出定值、定点、定线,再证明定值、定点、定线与变量无关;(2)直接计算、推理,并在计算、推理的过程中消去变量,设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以使运算更简单.