人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程学案，共8页。
专题强化练5　圆系方程、圆的切线系方程的综合应用1.(2022山西太原期中)过点M(2,-1),且经过圆x2+y2-4x-4y+4=0与圆x2+y2-4=0的交点的圆的方程为              (　　)A.x2+y2+x+y-6=0　　　　B.x2+y2+x-y-8=0C.x2+y2-x+y-2=0　　　　D.x2+y2-x-y-4=02.(多选题)(2022四川成都郫都期中)设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4,k∈N*.下列命题中是真命题的是              (　　)A.存在一条定直线与所有的圆均相切B.存在一条定直线与所有的圆均相交C.存在一条定直线与所有的圆均不相交D.所有的圆均不经过原点3.(多选题)(2022重庆缙云教育联盟模拟)设直线系M:xcos θ+(y-2)sin θ=1(0≤θ<2π).下列四个命题中正确的是              (　　)A.存在一个圆与所有直线均相交B.存在一个圆与所有直线均不相交C.存在一个圆与所有直线均相切D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等4.(2023陕西西安名校期中联考)已知圆M:(x-1-cos θ)2+(y-2-sin θ)2=1,直线l:kx-y-k+2=0.有下面五个命题,其中正确命题的个数是              (　　)①对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点;②对任意实数k与θ,直线l与圆M都相离;③存在实数k与θ,直线l和圆M相离;④对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切;⑤对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切.A.2　　　　B.3　　C.4　　　　D.55.(2022河南中原名校联考)过点P(2,2)作圆C:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)的两条切线,切点分别为A,B,给出下列四个结论:①0<r<2;②若△PAB为直角三角形,则r=4;③△PAB外接圆的方程为x2+y2=4;④直线AB的方程为4x+4y+16-r2=0.其中所有正确结论的序号为 (　　)A.②④　　　　B.③④C.②③　　　　D.①②④6.(2023江苏常州月考)经过两圆C1:x2+y2-4x+2y+1=0与C2:x2+y2-6x=0的交点且半径最小的圆的一般方程是　　　　　　　　. 7.(2023河南郑州中学强基班测试)已知acos θ+a2sin θ-2=0,bcos θ+b2sin θ-2=0(a≠b),对任意a,b∈R,经过两点(a,a2),(b,b2)的直线与一定圆相切,则该圆的方程为　　　　　　　　. 8.(2023福建厦门集美中学质检)设O是坐标原点,直线x+2y-3=0与圆C:x2+y2+x-6y+m=0交于P,Q两点.(1)求线段PQ的中点M的坐标;(2)若OP⊥OQ,求圆C的面积.      答案与分层梯度式解析专题强化练5　圆系方程、圆的切线系方程的综合应用1.A2.BD3.ABC4.A5.A   1.A　易知点M不在圆x2+y2-4=0上,故可设过圆x2+y2-4x-4y+4=0与圆x2+y2-4=0的交点的圆的方程为(x2+y2-4x-4y+4)+λ(x2+y2-4)=0(λ≠-1),将M的坐标代入可得(4+1-8+4+4)+λ(4+1-4)=0,解得λ=-5,所以所求圆的方程为x2+y2+x+y-6=0,故选A.名师指点　圆系方程1.以(a,b)为圆心的同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=λ2(λ>0),与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+λ=0.2.过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).3.过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)和x2+y2+D2x+E2y+F2=0.为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C2,可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ[(D1-D2)x+(E1-E2)·y+(F1-F2)]=0.2.BD　根据题意得,圆Ck的圆心坐标为(k-1,3k),k∈N*,易知圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有的圆都相交,所以B正确;以圆Ck与圆Ck+1为例,考虑两圆的位置关系:圆Ck:圆心为(k-1,3k),半径r=k2,圆Ck+1:圆心为(k+1-1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径R=(k+1)2,两圆的圆心距d=,R-r=(k+1)2-,对任意的k∈N*,R-r>d,故Ck含于Ck+1之中,所以A错误;当k取无穷大时,可以认为所有直线都与圆相交,所以C错误;将(0,0)代入圆的方程,可得(-k+1)2+9k2=2k4,即10k2-2k+1=2k4(k∈N*),因为等式左边为奇数,右边为偶数,故不存在k∈N*使此式成立,即所有的圆均不经过原点,所以D正确.故选BD.3.ABC　易知点(0,2)到M中每条直线的距离d==1,即M中的每条直线都是圆x2+(y-2)2=1的切线,所以存在圆心为(0,2),半径大于1的圆与M中所有直线均相交,故A正确;由上述分析知,存在圆心为(0,2),半径小于1的圆与M中所有直线均不相交,故B正确;由上述分析知,存在圆心为(0,2),半径等于1的圆与M中所有直线均相切,故C正确;因为M中的直线与以(0,2)为圆心,1为半径的圆相切,所以不妨取M中的直线AB,AC,BC,DE,它们围成正三角形ADE与正三角形ABC,如图,△ABC与△ADE的面积不相等,故D错误.故选ABC.知识拓展　圆的切线系方程直线方程(x-a)cos θ+(y-b)sin θ=r(其中a,b,r均为实常数,且r>0,θ∈R)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆的切线系.事实上,设点(a,b)到此直线的距离为d,易得d==r,即此切线系中的每条直线都是圆(x-a)2+(y-b)2=r2的切线.4.A　对于①②,由题可知圆M的圆心为M(1+cos θ,2+sin θ),半径r=1,直线l的方程可以写成y=k(x-1)+2,易知直线l过定点(1,2),记A(1,2),因为点A在圆上,所以直线l与圆相切或相交,故对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点,①正确,②错误.对于③,由以上分析知不存在实数k与θ,直线l和圆M相离,③错误.对于④,当直线l与圆M相切时,点A恰好为直线l与圆M的切点,故直线AM与直线l垂直,当k=0时,直线AM与x轴垂直,则1+cos θ=1,即cos θ=0,解得θ=k'π+(k'∈Z),故存在θ使得直线l与圆M相切;当k≠0时,若直线AM与直线l垂直,则cos θ≠0,直线AM的斜率kAM==tan θ,所以kAM·k=-1,即tan θ=-,对任意的k≠0,均存在实数θ,使得tan θ=-,从而使得直线AM与直线l垂直.综上所述,对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切,④正确.对于⑤,点M(1+cos θ,2+sin θ)到直线l的距离d=,令θ=0,则当k=0时,d=0;当k≠0时,d=<1,故当θ=0时,d<1恒成立,即直线l与圆M必相交,故不存在实数k,使得直线l与圆M相切,⑤错误.所以正确命题的个数为2,故选A.5.A　由题意可得P在圆外,则(2+2)2+(2+2)2>r2,又r>0,所以0<r<4,故①错误;若△PAB为直角三角形,则四边形PACB是边长为r的正方形,可得|PC|=,解得r=4,故②正确;由PA⊥AC,PB⊥BC及四点共圆的判定可得P,A,C,B是以PC为直径的圆上四点,又线段PC的中点为(0,0),|PC|=4,所以所求圆的方程为x2+y2=8,故③错误;易知△PAB的外接圆和圆C相交于点A,B,由x2+y2=8和(x+2)2+(y+2)2=r2两式相减,可得4x+4y+16-r2=0,此方程即为直线AB的方程,故④正确.故选A.6.答案　x2+y2-=0解析　要使圆的面积最小,则所求圆以已知两相交圆的公共弦为直径.设所求圆的方程为x2+y2-4x+2y+1+λ(x2+y2-6x)=0(λ≠-1),即(1+λ)x2+(1+λ)y2-(4+6λ)x+2y+1=0,其圆心为,将两已知圆的方程作差可得相交弦所在直线的方程为2x+2y+1=0,将代入2x+2y+1=0,得2×+2×+1=0,解得λ=-,故所求圆的方程为x2+y2-4x+2y+1-(x2+y2-6x)=0,即x2+y2-=0.7.答案　x2+y2=4解析　∵acos θ+a2sin θ-2=0,bcos θ+b2sin θ-2=0,a≠b,∴(a,a2),(b,b2)都在直线xcos θ+ysin θ-2=0上,故经过两点(a,a2),(b,b2)的直线是xcos θ+ysin θ-2=0,∴点(0,0)到该直线的距离d==2,故所求圆的方程为x2+y2=4.8.解析　(1)易知圆C的圆心为C,直线x+2y-3=0的斜率为-,所以线段PQ的垂直平分线的斜率为2,且经过C,所以线段PQ的垂直平分线的方程为y-3=2,即y=2x+4,由所以线段PQ的中点M的坐标为(-1,2).(2)设过直线x+2y-3=0与圆x2+y2+x-6y+m=0交点的圆的方程为x2+y2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0,即x2+y2+(1+λ)x+2(λ-3)y+m-3λ=0.(*)依题意知,O在以PQ为直径的圆上,则圆心在直线x+2y-3=0上,则-+2(3-λ)-3=0,解得λ=1.又O(0,0)满足方程(*),所以m-3λ=0,故m=3.所以圆C:x2+y2+x-6y+3=0,其半径为,所以圆C的面积为π·.