数学选择性必修 第一册2.4 圆的方程学案及答案

这是一份数学选择性必修 第一册2.4 圆的方程学案及答案，共8页。
专题强化练6　隐圆问题1.(2023江苏无锡一中期中)已知直线l1:x-my-2=0(m∈R)与直线l2:mx+y-2=0交于点A,点B是圆(x+2)2+(y+3)2=2上的动点,O为坐标原点,则|AB|的最大值为              (　　)A.3　　C.5+22.(2023河北石家庄四十一中期中)如果圆C1:(x+m)2+(y+m)2=8上总存在到点(0,0)的距离为的点,则实数m的取值范围是              (　　)A.[-3,3]　　　　B.(-3,3)C.(-3,-1]∪[1,3)　　　　D.[-3,-1]∪[1,3]3.(2023河南濮阳部分高中期中)已知在平面直角坐标系中,点A(2,0),B(0,2),圆C:(x-a)2+y2=1,若圆C上存在点M,使得|MA|2+|MB|2=12,则实数a的取值范围为              (　　)A.[1,1+2]　　　　B.[1-2,1+2]C.(1,1+2)　　　　D.[1-,1+]4.(2023浙江杭州学军中学期中)已知点A(2,2),B(4,2m),点P在直线x-y+2=0上,若满足=2的点P有两个,则实数m的取值范围为　　　　　　　. 5.(2022湖北武汉三中期中)在平面直角坐标系Oxy中,已知B,C为圆x2+y2=9上两点,点A(2,2),且AB⊥AC,则线段BC的长的取值范围为　　　　　　　　. 6.(2022广东佛山顺德一中期中)在△ABC中,若|AB|=2,|AC|=|BC|,则S△ABC的最大值为　　　　. 7.在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(-1,0),B(5,0).若圆M:(x-4)2+(y-m)2=4上存在唯一的点P,使得直线PA,PB在y轴上的截距之积为5,则实数m的值为　　　　. 8.已知圆O:x2+y2=16,点P(1,2),M,N为圆O上两个不同的点,且=0.(1)求线段MN的中点S的轨迹方程;(2)若,求||的最小值.   9.(2023江苏南京外国语学校月考)在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(0,4)与直线l:y=x-1,设圆C的半径为1,圆心在直线l上.(1)若点P(2,2)在圆C上,求圆C的方程;(2)若圆C上存在点M,使得3|MO|=|MA|,求圆心C的横坐标的取值范围.
答案与分层梯度式解析专题强化练6　隐圆问题1.C2.D3.B     1.C　由题意可得直线l1过定点(2,0),直线l2过定点(0,2),记M(2,0),N(0,2).由1×m+(-m)×1=0知l1⊥l2,又直线l1与l2交于点A,∴点A在以MN为直径的圆上,且此圆的圆心为(1,1),半径r1=,故此圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,记该圆为C.又点B是圆(x+2)2+(y+3)2=2上的动点,其圆心为(-2,-3),半径r2=,记D(-2,-3),且|CD|=,∴圆C与圆D外离,∴|AB|的最大值为|CD|+r1+r2=5+2.故选C.2.D　由题意知,圆C1:(x+m)2+(y+m)2=8与圆x2+y2=2存在公共点,所以2≤≤2,解得-3≤m≤-1或1≤m≤3.故选D.3.B　设M(x,y),由|MA|2+|MB|2=12,得(x-2)2+y2+x2+(y-2)2=12,整理得(x-1)2+(y-1)2=4,∴点M的轨迹(记为圆C')方程为(x-1)2+(y-1)2=4.又点M在圆C上,∴圆C和圆C'相交或相切,∴1≤≤3,即|a-1|≤2,∴1-2≤a≤1+2.故选B.解后反思　对于定点A,B,若动点M满足|MA|2+|MB|2=a(a>0),则动点M的轨迹一般为圆.4.答案　(-∞,-2-2)∪(2-2,+∞)解析　设P(x,y),则=(2-x,2-y),=(4-x,2m-y),由=2,得(2-x)(4-x)+(2-y)(2m-y)=2,整理得(x-3)2+(y-m-1)2=m2-2m+4,易知m2-2m+4>0恒成立,所以点P的轨迹为圆,其方程为(x-3)2+(y-m-1)2=m2-2m+4,记此圆为圆C,又点P在直线x-y+2=0上,所以直线x-y+2=0与圆C相交,故,解得m<-2-2-2.故实数m的取值范围为(-∞,-2-2)∪(2-2,+∞).5.答案　[]解析　解法一:如图1,设BC的中点为M(x,y),连接AM,OM,OB,则|BC|=2|AM|,OM⊥BC,所以|OM|2+|MB|2=|OB|2,又|MB|=|AM|,所以|OM|2+|AM|2=|OB|2,故x2+y2+(x-2)2+(y-2)2=9,整理得(x-1)2+(y-1)2=,从而点M的轨迹是圆,其圆心为(1,1),记T(1,1),易知点A在圆T内,且|AT|=,故≤|AM|≤,因为|BC|=2|AM|,所以≤|BC|≤.故线段BC的长的取值范围为[].图1　　　图2解法二:如图2,作矩形ABQC,设Q(x,y),由矩形的性质知,|OA|2+|OQ|2=|OB|2+|OC|2,所以8+x2+y2=9+9,即x2+y2=10,从而点Q的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,易知点A在此圆内,且|OA|=2,所以≤|AQ|≤,又|BC|=|AQ|,所以≤|BC|≤.故线段BC的长的取值范围为[].知识延伸　矩形性质若P是矩形ABCD所在平面内任意一点,则|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2.6.答案　2解析　记线段AB的中点为O,以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设C(x,y),由题知y≠0,由|AC|=,整理得(x-3)2+y2=8(y≠0),所以点C的轨迹是以(3,0)为圆心,2为半径的圆(不含与x轴的交点).由图可知,(S△ABC)max=×2×2.7.答案　±或±解析　根据题意,设P的坐标为(a,b),则直线PA的方程为y=(x+1),其在y轴上的截距为,直线PB的方程为y=(x-5),其在y轴上的截距为-,若点P(a,b)满足使得直线PA,PB在y轴上的截距之积为5,则有×=5,整理可得b2+(a-2)2=9,则点P在圆(x-2)2+y2=9(y≠0)上.若圆M:(x-4)2+(y-m)2=4上存在唯一的点P,使得直线PA,PB在y轴上的截距之积为5,则圆M与圆(x-2)2+y2=9有且仅有一个公共点,即两圆内切或外切或圆(x-2)2+y2=9与圆M:(x-4)2+(y-m)2=4相交于点B.又两圆圆心距为≥2,故两圆只能外切,则有4+m2=25,解得m=±,验证可得,当m=±时,两个圆的切点不是A,B点,故m=±成立;若圆(x-2)2+y2=9与圆M:(x-4)2+(y-m)2=4相交于点B,则B在圆M上,则有(5-4)2+m2=4,解得m=±.综上可得,m=±或m=±.8.解析　(1)如图,因为=0,所以PM⊥PN,故四边形PMQN为矩形,连接OS,则OS⊥MN,所以|OS|2=|OM|2-|MS|2=16-|MS|2,又△PMN为直角三角形,所以|MS|=|PS|,故|OS|2=16-|PS|2①,设S(x,y),则由①可得x2+y2=16-[(x-1)2+(y-2)2],整理得+(y-1)2=,从而点S的轨迹是以为圆心,为半径的圆,其方程为+(y-1)2=.(2)记T.易得点P(1,2)在圆+(y-1)2=的内部,所以|PS|min=,因为||,所以|.9.解析　因为圆心在直线l:y=x-1上,所以不妨设圆心C的坐标为(a,a-1),因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x-a)2+(y-a+1)2=1.(1)因为点P(2,2)在圆C上,所以(2-a)2+(2-a+1)2=1,解得a=2或a=3,故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=1或(x-3)2+(y-2)2=1.(2)不妨设M(x0,y0),则(x0-a)2+(y0-a+1)2=1,由3|MO|=|MA|,A(0,4),可得3,化简得,从而M(x0,y0)在圆心为,半径为的圆上,记P,故M(x0,y0)为圆P:x2+与圆C:(x-a)2+(y-a+1)2=1的公共点,即圆x2+与圆C:(x-a)2+(y-a+1)2=1相交或相切,从而≤|PC|≤,即≤≤,解得-≤a≤0或≤a≤2,故圆心C的横坐标的取值范围为∪.