高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程导学案，共15页。
第二章　直线和圆的方程
综合拔高练
五年高考练
考点　直线与圆的方程及应用
1.(2022北京,3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=(　　)
A.12　　B.−12　　C.1　　D.-1
2.(2020全国Ⅲ文,8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(　　)
A.1　　　　B.2　　
C.3　　　　D.2
3.(多选题)(2021全国新高考Ⅰ,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　)
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=32
D.当∠PBA最大时,|PB|=32
4.(2020全国Ⅰ文,6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)
A.1　　　　B.2　　
C.3　　　　D.4
5.(2020全国Ⅱ理,5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为　(　　)
A.55　　B.255　　C.355　　D.455
6.(2020全国Ⅰ理,11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为(　　)
A.2x-y-1=0　　　　B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0　　　　D.2x+y+1=0
7.(2022天津,12)直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m=　　　　. 
8.(2022全国甲文,14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　　　　　　. 
9.(2022全国新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程　　　　. 
10.(2022全国乙理,14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　. 
11.(2022全国新高考Ⅱ,15)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是　　　　. 


三年模拟练
应用实践
1.(2023湖南郴州临武月考)已知在平面直角坐标系中,点A(3,0),圆C:x2+y2+2my+m2-1=0上存在点P,使得∠CAP=π6,则m的取值范围为(　　)
A.(-1,1)　　　　
B.[-1,1]
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)　　　　
D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
2.(2023广东深圳高级中学期中)若对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y),|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x,y无关,则实数a的取值范围是(　　)
A.a≤4　　　　B.-4≤a≤6
C.a≤-4或a≥6　　　　D.a≥6
3.(2023安徽合肥双凤高级中学月考)已知圆O1:(x+2)2+y2=1,圆O2:(x-2)2+y2=1,若在圆O1上存在点M,在圆O2上存在点N,使得点P(x0,3)满足|PM|=|PN|,则实数x0的取值范围是　　　　. 
4.(2023湖北部分重点学校期中)一束光线从点A(-4,0)处出发,经直线x+y-1=0反射到圆C:x2+(y+2)2=2上,当光线经过的路径最短时,反射光线所在直线的方程为　　　　　,最短路径的长度为　　　　. 
5.(2023北师大二附中期中)已知P,Q两点分别在直线l1:x-y+1=0与直线l2:x-y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-4,4),B(4,0),则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为　　　　. 
6.(2023江苏宿迁沭阳如东中学期中)如图,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴的正半轴交于M,N两点(点M在点N的左侧),且|MN|=3.
(1)求圆C的方程;
(2)过点M任作一条直线与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,连接AN,BN,求证:kAN+kBN为定值.






迁移创新
7.(2023河北衡水月考)某市公园内的人工湖上有一个以点C为圆心的圆形喷泉,沿湖有一条小径AB,在AB的另一侧建有控制台O,OA和OB之间均有小径连接(小径均为直路),且∠AOB=34π,喷泉中心C点距离B点60米,且CB连线恰与OA平行,在小径AB上有一休息亭Q,现测得|OB|=402米,|OQ|=20米,且OQ⊥OA.
(1)请计算小径AB的长度;
(2)现打算改建控制台O的位置(记为O'),使其离喷泉尽可能近,在点A,B,C的位置及∠AOB大小均不变的前提下,请计算O'C长度的最小值;
(3)一人从小径一端A处向B处匀速前进时,喷泉恰好同时开启,喷泉开启t分钟后的水幕是一个以C为圆心,半径r=10at米的圆形区域(含边界),此人的行进速度是v=105米/分钟,在这个人行进的过程中他会被水幕沾染,试求实数a的最小值.

答案与分层梯度式解析
第二章　直线和圆的方程
综合拔高练
五年高考练
1.A
2.B
3.ACD
4.B
5.B
6.D


1.A　易知圆(x-a)2+y2=1的圆心坐标为(a,0),
∵直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,
∴直线2x+y-1=0过圆心(a,0),
∴2a+0-1=0,解得a=12,故选A.
2.B　由y=k(x+1)可知直线过定点(-1,0),设为P,设A(0,-1),当直线y=k(x+1)与直线AP垂直时,点A到直线y=k(x+1)的距离最大,此最大距离为|AP|=2.故选B.
3.ACD　由题意可知直线AB的方程为x4+y2=1,即x+2y-4=0,则圆心(5,5)到直线AB的距离d=|5+2×5−4|12+22=1155>4,∴直线AB与圆(x-5)2+(y-5)2=16相离,∴点P到直线AB的距离的取值范围为1155−4,1155+4,∵1155-4∈(0,1),1155+4∈(8,9),∴A正确,B错误.
过点B作圆的两条切线,切点分别为P1,P2,如图,当点P在切点P1的位置时,∠PBA最小,当点P在切点P2的位置时,∠PBA最大,易知|P1B|=|P2B|,圆心(5,5)到点B的距离为34,圆的半径为4,所以|P1B|=|P2B|=34−16=18=32,故C,D均正确.故选ACD.

4.B　由x2+y2-6x=0得圆心为(3,0),设此点为C,点(1,2)为A,当过点A的弦与AC垂直时,弦长最小,易知|AC|=22+(1−3)2=22,因为半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,所以弦的长度的最小值为232−(22)2=2,故选B.
5.B　由于圆上的点(2,1)在第一象限,所以若圆心不在第一象限,则圆至少与一条坐标轴相交,不符合题意,所以圆心必在第一象限.
设圆心的坐标为(a,a)(a>0),则圆的半径为a,圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2.由题意可得(2-a)2+(1-a)2=a2,整理得a2-6a+5=0,解得a=1或a=5.
所以圆心坐标为(1,1)或(5,5).圆心(1,1)到直线2x-y-3=0的距离d1=|2×1−1−3|5=255;圆心(5,5)到直线2x-y-3=0的距离d2=|2×5−5−3|5=255.
所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为255.故选B.
6.D　☉M的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-1)2=4,半径r=2,圆心为M(1,1),如图,由题可知,AB⊥PM,

|PM|·|AB|=2S四边形APBM=2(S△PAM+S△PBM)=2(|PA|+|PB|).
∵|PA|=|PB|,
∴|PM|·|AB|=4|PA|=4|PM|2−|AM|2=4|PM|2−4,
当|PM|最小时,|PM|·|AB|最小,易知|PM|min=54+1=5,此时|PA|=1,AB∥l,设直线AB的方程为y=-2x+b(b≠-2),
圆心M到直线AB的距离d=|3−b5,
|AB|=4|PA||PM|=45,∴d2+AB22=|MA|2,即(3−b)25+45=4,解得b=-1或b=7(舍去).综上,直线AB的方程为y=-2x-1,即2x+y+1=0,故选D.
7.答案　2
解析　圆心(1,1)到直线x-y+m=0的距离为m2,则m22+m22=3,解得m=2(负值舍去).
8.答案　(x-1)2+(y+1)2=5
解析　由点M在直线2x+y-1=0上,可设M(a,1-2a),
因为点(3,0)和点(0,1)均在☉M上,
所以(a−3)2+(1−2a−0)2=(a−0)2+(1−2a−1)2,
解得a=1,则☉M的圆心为M(1,-1),半径为(1−0)2+(−1−1)2=5,
故☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
9.答案　x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(写出一个即可)
解析　设圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为O1,
如图所示,

显然两圆外切,
由图可知l1:x=-1与两圆均外切.
易知直线OO1的方程为y=43x,设直线OO1与l1的交点为P,∴P−1,−43,
易知过点P的两圆的公切线l2的斜率存在,设为k,则切线l2的方程为y=k(x+1)-43,即kx-y+k-43=0.
易知点O(0,0)到切线l2的距离为1,∴k−43k2+1=1,∴k=724,∴切线l2的方程为7x-24y-25=0.
设两圆相切于点M,垂直于直线OO1的切线l3的方程为y=-34x+n,即3x+4y-4n=0,
易知点O(0,0)到切线l3的距离为1,∴|−4n32+42=1,∴|n|=54,易知n>0,∴切线l3的方程为y=-34x+54,即3x+4y-5=0,∴与两圆都相切的切线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0.
10.答案　(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或x−432+y−732=659或x−852+(y-1)2=16925(写出一个即可)
解析　若圆过(0,0),(4,0),(-1,1),根据圆的几何性质知圆心在弦的中垂线上,设A(0,0),B(4,0),C(-1,1),易得AB的中垂线方程为x=2,AC的中垂线方程为y=x+1.联立x=2,y=x+1,解得圆心坐标为(2,3).此时圆的半径r=4+9=13.所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.同理,其他三种情况下圆的方程分别为(x-2)2+(y-1)2=5,x−432+y−732=659,x−852+(y-1)2=16925.
11.答案　 13,32
解析　由题易知kAB=a−32,所以直线AB关于直线y=a对称的直线为y-a=-a−32x,即(3-a)x-2y+2a=0,由题意可得圆心(-3,-2)到该直线的距离小于或等于半径,
所以|3(a−3)+4+2a(−2)2+(3−a)2≤1⇒6a2-11a+3≤0,解得13≤a≤32.
三年模拟练
1.B　圆C的标准方程为x2+(y+m)2=1,圆心为(0,-m),半径r=1.
易知点A在圆C外,设过点A的直线与圆C相切于点M,若P点存在,则∠CAP=π6≤∠CAM