2023年山东省聊城市冠县中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年山东省聊城市冠县中考数学二模试卷（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省聊城市冠县中考数学二模试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题有且仅有一个答案）
1．对于一个实数a，如果它的倒数不存在，那么a等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．0
2．下面几何图形的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
3．下列式子运算正确的是（　　）
A．33+32＝35 B．（﹣a2）3＝﹣a6
C．（﹣a2b）2＝﹣a3b2 D．（﹣2）﹣2＝4
4．下列事件中，属于确定事件的是（　　）①抛出的篮球会下落；②从装有黑球、白球的袋中摸出红球；③14人中至少有2人是同月出生；④买一张彩票，中1000万大奖．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
5．如图，直线l1∥l2，AB⊥CD，∠2＝68°，那么∠1的度数是（　　）

A．68° B．58° C．22° D．32°
6．如图，一块等腰直角三角板，它的斜边BC＝6cm，内部△DEF的各边与△ABC的各边分别平行，且它的斜边EF＝4cm，则△DEF的面积与阴影部分的面积比为（　　）

A．2：3 B．4：9 C．4：5 D．2：5
7．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠B＝70°，则∠OCB等于（　　）
​

A．40° B．50° C．60° D．65°
8．已知等腰△ABC的边是方程x2﹣7x+10＝0的根，则△ABC的周长为（　　）
A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15
9．如图，在正方形ABCD中，按如下步骤作图：①连接AC，BD相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接OE交BC于点F；④连接AF交BO于点G．若，则OG的长度为（　　）

A．1 B．2 C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：OB＝1：3，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P．若P（1，1），则tan∠ACO的值是（　　）

A． B．3 C． D．2
11．如图是抛物线 图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①④⑤ C．①③⑤ D．①④
12．课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出，，…的线段（如图）”．记△OAA1，△OA1A2，…，△OAn﹣1An的内切圆的半径分别为r1，r2，…，rn，若r1+r2+…+rn＝10，则n的值是（　　）

A．24 B．25 C．26 D．27
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
13．二次根式中，字母x的取值范围是 　 　．
14．从0，，，﹣7，五个数中随机抽取一个数，则抽出的数是有理数的概率为 　 　．
15．一个扇形的弧长是10π，其圆心角是150°，此扇形的面积为 　 　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AC＝6，AB＝10，则CD的长为 　 　．

17．如图，点A，B是半径为2的⊙O上的两点，且，则下列说法正确的是 　 　．

​①圆心O到AB的距离为1．
②在圆上取异于A，B的一点C，则△ABC面积的最大值为．
③以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积为．
④取AB的中点C，当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线长为2π．
三、解答题（共8小题，满分69分）
18．解方程：x（x﹣6）＝6．
19．为庆祝党的二十大胜利召开，某学校开展了一系列学习党史的活动，并开展了党史相关的知识测试．为了解七、八年级学生的测试成绩，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
【收集数据】：
从七、八两个年级各随机抽取了20名学生的测试成绩（百分制）如下：
七年级：73，82，75，89，93，96，76，84，85，85，90，90，98，77，65，90，87，90，95，98；
八年级；67，88，92，93，99，83，80，75，72，91，92，92，95，94，85，85，92，69，88，96；
[整理、描述数据]：
对上述数据进行分段整理如下：
成绩x
人数
年级
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
七年级
1
4
6
9
八年级
2
2
6
10
【分析数据】：
两个年级测试成绩的平均数、中位数、众数如下：

平均数
中位数
众数
七年级
85.9
a
90
八年级
86.4
89.5
b
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　．
（2）小明是该校八年级的学生，他本次测试成绩为87分，小明说：“因为我的成绩高于我们年级的平均数．所以我的成绩高于我们年级一半学生的成绩．“请你判断小明的话是否正确，并说明理由．
（3）若测试成绩不少于90分记为优秀，请你估计七年级学生本次测试成绩的优秀率，并给七年级的老师提出一条建议．
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC，BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连结DE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形．
（2）若AB＝5，E为AC的中点，当四边形BCDE为正方形时，求BC的长．

21．如图，是某时刻太阳光线，光线与地面的夹角为45°．小星身高1.6米．
（1）若小星正站在水平地面上A处时，那么他的影长为多少米？
（2）若小星来到一个倾斜角为30°的坡面底端B处，当他在坡面上至少前进多少米时，他的影子恰好都落在坡面上？

22．我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
（1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？
23．为预防流感，学校对教室采取药熏法消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例函数关系，药物燃烧完后，y与x成反比例函数关系（如图示）．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6毫克．
研究表明：
①当空气中每立方米含药量低于1.6毫克时学生方可进教室；
②当空气中每立方米含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．
依据信息，解决下列问题：
（1）从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？
（2）你认为此次消毒是否有效？并说明理由．

24．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的直线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，且AC平分∠DAB．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，若BC＝3，AC＝4，求AE的长．

25．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），图象与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图象上的两个动点（点C在点D的左侧），且∠CAD＝90°．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
（3）点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题有且仅有一个答案）
1．对于一个实数a，如果它的倒数不存在，那么a等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．0
【分析】根据0没有倒数即可求解．
解：对于一个实数a，如果它的倒数不存在，那么a等于0．
故选：D．
【点评】本题考查了实数的性质，倒数，关键是掌握0没有倒数的知识点．
2．下面几何图形的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
解：该几何体的俯视图如图所示：．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3．下列式子运算正确的是（　　）
A．33+32＝35 B．（﹣a2）3＝﹣a6
C．（﹣a2b）2＝﹣a3b2 D．（﹣2）﹣2＝4
【分析】根据合并同类项判断A选项；根据幂的乘方和积的乘方判断B选项；根据积的乘方判断C选项；根据负整数指数幂判断D选项．
解：A选项，32+33＝9+27＝36≠35，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝﹣a6，故该选项符合题意；
C选项，原式＝a4b2，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项，幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂，掌握a﹣p＝（a≠0）是解题的关键．
4．下列事件中，属于确定事件的是（　　）①抛出的篮球会下落；②从装有黑球、白球的袋中摸出红球；③14人中至少有2人是同月出生；④买一张彩票，中1000万大奖．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：①抛出的篮球会下落，是必然事件，属于确定事件；
②从装有黑球、白球的袋中摸出红球，是不可能事件，属于确定事件；
③14人中至少有2人是同月出生，是必然事件，属于确定事件；
④买一张彩票，中1000万大奖，是随机事件；
属于确定事件的是①②③，
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．如图，直线l1∥l2，AB⊥CD，∠2＝68°，那么∠1的度数是（　　）

A．68° B．58° C．22° D．32°
【分析】由两直线平行同位角相等得到∠2＝∠3，再由AB与CD垂直，利用垂直的定义得到∠BMC为直角，得到∠1与∠3互余，由∠3的度数求出∠1的度数．
解：∵直线l1∥l2，
∴∠2＝∠3＝68°，
∵AB⊥CD，
∴∠CMB＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，又∠3＝68°，
∴∠1＝22°，
故选：C．

【点评】此题考查了平行线的性质，平行线的性质有：两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．
6．如图，一块等腰直角三角板，它的斜边BC＝6cm，内部△DEF的各边与△ABC的各边分别平行，且它的斜边EF＝4cm，则△DEF的面积与阴影部分的面积比为（　　）

A．2：3 B．4：9 C．4：5 D．2：5
【分析】发布期间两个等腰直角三角形端点面积，可得结论．
解：∵△ABC，△DEF是等腰直角三角形，BC＝6cm，EF＝4cm，∠A＝∠D＝90°，
∴AB＝AC＝BC＝3（cm），DE＝DF＝EF＝2（cm），
∴△ABC的面积＝×3×3＝9（cm2），△DEF的面积＝×2×2＝4（cm2），
∴阴影部分的面积＝9﹣4＝5（cm2），
∴△DEF的面积与阴影部分的面积比为4：5．
故选：C．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，属于中考常考题型．
7．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠B＝70°，则∠OCB等于（　　）
​

A．40° B．50° C．60° D．65°
【分析】连接OB，先利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝70°，从而利用三角形内角和定理可得∠A＝40°，然后再利用圆周角定理可得∠BOC＝2∠A＝80°，最后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行计算即可解答．
解：连接OB，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．已知等腰△ABC的边是方程x2﹣7x+10＝0的根，则△ABC的周长为（　　）
A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝2，根据等腰三角形的性质，等腰△ABC的三边长可以为5、5、2或5、5、5或2、2、2，然后分别计算对应的△ABC的周长．
解：x2﹣7x+10＝0，
（x﹣5）（x﹣2）＝0，
x﹣5＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝5，x2＝2，
当等腰△ABC的边长分别为5、5、2时，△ABC的周长为5+5+2＝12；
当等腰△ABC的边长分别为5、5、5时，△ABC的周长为5+5+5＝15；
当等腰△ABC的边长分别为2、2、2时，△ABC的周长为2+2+2＝6，
综上所述，△ABC的周长为6或12或15．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质．
9．如图，在正方形ABCD中，按如下步骤作图：①连接AC，BD相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接OE交BC于点F；④连接AF交BO于点G．若，则OG的长度为（　　）

A．1 B．2 C． D．
【分析】证明OF∥AB，OF＝AB，求出OB，可得结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，∠BAD＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，
∴BD＝＝＝8，
∴OB＝OD＝4，
由作图可知OE垂直平分线段BC，
∴BF＝CF，
∴OC＝OA，
∴OF∥AB，FO＝AB，
∴＝＝，
∴OG＝OB＝．
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：OB＝1：3，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P．若P（1，1），则tan∠ACO的值是（　　）

A． B．3 C． D．2
【分析】根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，结合OC：OB＝1：3得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根据P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，则可求得AQ＝3，根据正切的定义即可得到tan∠APQ的值，从而可求tan∠ACO的值．
解：∵OP∥AB，
∴△OCP∽△BCA，
∴，
∵OC：OB＝1：3，
∴，
∴，
过点P作PQ⊥x轴于点Q，如图，

∴∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∠ACO＝∠APQ，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2OQ＝2，
∴AQ＝3，
∴tan∠APQ＝＝3，
∴tan∠ACO＝tan∠APQ＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2是解题的关键．
11．如图是抛物线 图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①④⑤ C．①③⑤ D．①④
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
解：①∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确；
②∵抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点B（4，0），
∴另一个交点坐标为（﹣2，0），故③错误；
④从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），
∴抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y＝3有且只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，故④正确；
⑤由图象可知，当1＜x＜4时，y1＞y2，故⑤正确；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合．
12．课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出，，…的线段（如图）”．记△OAA1，△OA1A2，…，△OAn﹣1An的内切圆的半径分别为r1，r2，…，rn，若r1+r2+…+rn＝10，则n的值是（　　）

A．24 B．25 C．26 D．27
【分析】设△OAA1，△OA1A2，…，△OAn﹣1An的内切圆圆心分别为O1，O2，…，设圆O1与△OAA1的三边相切于点B，C，D，四边形ABOC是正方形，然后利用切线长定理列式计算得r1＝，同理在△OA1A2中，四边形A1EO2F是正方形，求出r2＝，得到规律得r3＝，r4＝，...，rn＝，进而利用一元二次方程求解即可解决问题．
解：如图，设△OAA1，△OA1A2，…，△OAn﹣1An的内切圆圆心分别为O1，O2，…，
设圆O1与△OAA1的三边相切于点B，C，D，
∴∠ABO＝∠ACO＝90°，
由题意“利用勾股定理，可以作出，
∴∠A＝90°，
∴∠A＝∠ABO＝∠ACO＝90°，
∴四边形ABOC是正方形，

∴AB＝AC＝OB＝r1，
∴AB＝AC＝1﹣r1，
A1C＝A1D＝1﹣r1，
∵OA1＝，
∴1﹣r1+1﹣r1＝，
∴r1＝，
同理在△OA1A2中，四边形A1EO2F是正方形，
∴A2G＝A2F＝1﹣r2，
OG＝OE＝﹣r2，
∵OA2＝，
∴1﹣r2+﹣r2＝，
∴r2＝，
同理r3＝，r4＝，...，rn＝，
∴r1+r2+…+rn＝++++，...，+＝10，
∴＝10，
∴n+1﹣＝20，
∴n﹣19＝，
∴（n﹣19）2＝n+1，
整理得：n2﹣39n+360＝0，
∴n1＝15，n2＝24，
当n＝15时，代入n﹣19＝，不成立，舍去，
∴n＝24．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，规律型：图形的变化类，勾股定理，一元二次方程，解题的关键是寻找规律．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
13．二次根式中，字母x的取值范围是 　x≥　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
解：根据题意，得2x﹣1≥0，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
14．从0，，，﹣7，五个数中随机抽取一个数，则抽出的数是有理数的概率为 　　．
【分析】先找出有理数的个数，再根据概率公式即可得出答案．
解：在0，，，﹣7，这五个数中，有理数有0，，﹣7这3个，
∴抽出的数是有理数的概率为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确得出有理数的个数是解题关键．
15．一个扇形的弧长是10π，其圆心角是150°，此扇形的面积为 　60π　．
【分析】先根据题意可算出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可得出答案．
解：根据题意可得，
设扇形的半径为r，
则l＝，
即10π＝，
解得：r＝12，
∴S＝＝＝60π．
故答案为：60π．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AC＝6，AB＝10，则CD的长为 　3　．

【分析】利用基本作图得到AP平分∠BAC，根据角平分线的性质得到点D到AC和AB的距离相等，则利用三角形面积公式得到∴S△ACD：S△ABD＝AC：AB＝3：5，而S△ACD：S△ABD＝CD：BD，所以CD：BD＝3：5，然后利用勾股定理计算出BC，从而得到CD的长．
解：由作法得AP平分∠BAC，
∴点D到AC和AB的距离相等，
∴S△ACD：S△ABD＝AC：AB＝6：10＝3：5，
∵S△ACD：S△ABD＝CD：BD，
∴CD：BD＝3：5，
∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝8，
∴CD＝×8＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和勾股定理．
17．如图，点A，B是半径为2的⊙O上的两点，且，则下列说法正确的是 　①③④　．

​①圆心O到AB的距离为1．
②在圆上取异于A，B的一点C，则△ABC面积的最大值为．
③以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积为．
④取AB的中点C，当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线长为2π．
【分析】由垂径定理，勾股定理求出OH＝1，延长HO交圆于C，即可求出△ABC的最大面积，当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线是以O为圆心半径是1的圆，即可求出C运动的路线长，以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积＝扇形OPQ的面积+△OAB的面积×3，于是可以得到答案．
解：如图①，OH⊥AB于H，
∴AH＝AB＝×2＝，
∵OA＝2，
∴OH＝＝1，
故①正确，符合题意；
如图①延长HO交圆于C，此时△ABC的面积最大，
∵CH＝OC+OH＝2+1＝3，AB＝2，
∴△ABC的面积＝AB•CH＝3，
故②错误，不符合题意；
如图②四边形ABNM是正方形，连接AQ，PB，作OK⊥AB于K，
∴△OAB的面积＝AB•OK＝×2×1＝，
∵OP＝OQ＝OA＝OB，
∴△OAP的面积＝△OAB的面积＝△OBQ的面积＝，
∵∠POQ＝120°，
∴扇形OPQ的面积＝＝π，
∴以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积＝扇形OPQ的面积+△OAB的面积×3＝3+，
故③正确，符合题意；
取AB的中点C，连接OC，OA，OB，
∵OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴OC＝＝＝1，
∴当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线是以O为圆心半径是1的圆，
∴C运动的路线长是2π×1＝2π，
故④正确，符合题意；
故答案为：①③④．

【点评】本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，垂径定理，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
三、解答题（共8小题，满分69分）
18．解方程：x（x﹣6）＝6．
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则把原方程变形，利用配方法解出方程．
解：原方程变形为：x2﹣6x＝6，
则x2﹣6x+9＝6+9，即（x﹣3）2＝15，
∴x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
19．为庆祝党的二十大胜利召开，某学校开展了一系列学习党史的活动，并开展了党史相关的知识测试．为了解七、八年级学生的测试成绩，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
【收集数据】：
从七、八两个年级各随机抽取了20名学生的测试成绩（百分制）如下：
七年级：73，82，75，89，93，96，76，84，85，85，90，90，98，77，65，90，87，90，95，98；
八年级；67，88，92，93，99，83，80，75，72，91，92，92，95，94，85，85，92，69，88，96；
[整理、描述数据]：
对上述数据进行分段整理如下：
成绩x
人数
年级
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
七年级
1
4
6
9
八年级
2
2
6
10
【分析数据】：
两个年级测试成绩的平均数、中位数、众数如下：

平均数
中位数
众数
七年级
85.9
a
90
八年级
86.4
89.5
b
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝　88　，b＝　92　．
（2）小明是该校八年级的学生，他本次测试成绩为87分，小明说：“因为我的成绩高于我们年级的平均数．所以我的成绩高于我们年级一半学生的成绩．“请你判断小明的话是否正确，并说明理由．
（3）若测试成绩不少于90分记为优秀，请你估计七年级学生本次测试成绩的优秀率，并给七年级的老师提出一条建议．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据中位数的意义解答即可；
（3）利用样本估计总体即可．
解：（1）把七年级20名学生的测试成绩从小到大排列为65，73，75，76，77，82，84，85，85，87，89，90，90，90，90，93，95，96，98，98；
所以排在中间的两个数是87，89，故中位数a＝＝88；
八年级20名学生的测试成绩中92出现的次数最多，故众数b＝92；
故答案为：88；92；
（2）小明的话错误，理由如下：
因为小明本次测试成绩为87分，低于中位数89.5，所以小明的成绩低于我们年级一半学生的成绩；
（3）七年级学生本次测试成绩的优秀率为：；
建议七年级的学生加强学习党史（答案不唯一）．
【点评】此题考查了用样本估计总体以及众数、中位数的定义，众数是数据中出现次数最多的数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC，BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连结DE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形．
（2）若AB＝5，E为AC的中点，当四边形BCDE为正方形时，求BC的长．

【分析】（1）先判断AC为BD的垂直平分线得到AC⊥BD，OB＝OD，再证明△EOB≌△COD得到EO＝CO，于是可判断四边形BCDE为平行四边形，然后利用CB＝CD可判断四边形BCDE是菱形；
（2）设OB＝x，根据正方形的判定当OE＝OB＝x时，四边形BCDE是正方形，此时BC＝x，由于AE＝CE＝2x，则在Rt△AOB中利用勾股定理得到x2+（3x）2＝52，解方程x＝，从而得到此时BC的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC为BD的垂直平分线，
即AC⊥BD，OB＝OD，
∵BE∥CD，
∴∠EBO＝∠CDO，
在△EOB和△COD中，
，
∴△EOB≌△COD（ASA），
∴EO＝CO，
∴四边形BCDE为平行四边形．
∵CB＝CD，
∴四边形BCDE是菱形；
（2）解：设OB＝x，
∵四边形BCDE是菱形，
∴当OE＝OB＝x时，四边形BCDE是正方形，
此时BC＝x，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE＝2x，
在Rt△AOB中，∵OB2+OA2＝AB2，
∴x2+（3x）2＝52，
解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴BC＝，
即当BC的长为时，四边形BCDE为正方形．

【点评】本题考查了正方形：熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质．
21．如图，是某时刻太阳光线，光线与地面的夹角为45°．小星身高1.6米．
（1）若小星正站在水平地面上A处时，那么他的影长为多少米？
（2）若小星来到一个倾斜角为30°的坡面底端B处，当他在坡面上至少前进多少米时，他的影子恰好都落在坡面上？

【分析】（1）直接利用太阳光线与地面成45°角得到等腰直角三角形，然后利用等腰三角形的两直角边相等求得影长即可；
（2）利用斜坡BF的坡度i的值得到∠FBG＝30°，然后设FG＝x米，则BF＝2x米，从而得BG的长、EG＝EF+FG＝（x+1.6）米，最后在Rt△EBG中利用∠EBG＝45°得到BG＝EG，从而列出关于x的方程，求解即可．
解：（1）如图：由题意得：AD＝1.6 米，∠DCA＝45°，
故AD＝AC＝1.6米，
答：小星在A处的影子为1.6米．
（2）∵∠FBG＝30°，
设FG＝x米，则BF＝2x米．
∴BG＝x米．
∴EG＝EF+FG＝（x+1.6）米．
在Rt△EBG中，∠EBG＝45°，
∴BG＝EG．
∴x＝1.6+x．
解得：x＝（+1）．
∴小星在斜坡上的影子为：BF＝2x，即2×（+1）＝ （+1）（米）．
答：当他在坡面上至少前进 （+1）米时，他的影子恰好都落在坡面上．

【点评】本题考查了解直角三角形的坡度坡角问题，解题的关键是根据题意整理出直角三角形，从而求解．
22．我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
（1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？
【分析】（1）设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
（3）比较各方案即可得答案．
解：（1）设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，
依题意得，
解得．
答：购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元．
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，
依题意得：，
解得：50＜m≤53，
又∵m为正整数，
∴m可以为51，52，53，
∴共有3种购买方案，
方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；
方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；
方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．
（3）方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；51×100+49×50＝7550元，
方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；52×100+48×50＝7600元，
方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．53×100+47×50＝7650元，
∴购进A种树苗51棵，B种树苗49棵最省钱．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
23．为预防流感，学校对教室采取药熏法消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例函数关系，药物燃烧完后，y与x成反比例函数关系（如图示）．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6毫克．
研究表明：
①当空气中每立方米含药量低于1.6毫克时学生方可进教室；
②当空气中每立方米含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．
依据信息，解决下列问题：
（1）从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？
（2）你认为此次消毒是否有效？并说明理由．

【分析】（1）直接利用正比例函数解析式求法得出答案；
（2）利用反比例函数解析式求法得出答案．
解：（1）设药物燃烧后y关于x的函数关系式是y＝，
把（8，6）代入得：k＝48，
故y关于x的函数关系式是y＝；
当y＝1.6时，代入y＝得x＝30，
答：从消毒开始，至少需要经过 30 分钟后，学生才能回到教室；
（2）此次消毒有效，
理由：药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，
所以设y关于x的函数关系式是y＝kx（k≠0），
将点（8，6）代入，得k＝，
即y＝x，自变量x的取值范围是0≤x≤8：
将y＝3分别代入y＝x，y＝得，x＝4和x＝16，
那么持续时间是16﹣4＝12＞10分钟，所以有效杀灭空气中的病菌．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确数形结合得出函数解析式是解题关键．
24．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的直线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，且AC平分∠DAB．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，若BC＝3，AC＝4，求AE的长．

【分析】（1）如图所示，连接OC，根据角平分线的定义和等边对等角证明∠OCA＝∠CAD，则AD∥OC，由AD⊥CD，可证OC⊥CD，即可证明直线CD是⊙O的切线；
（2）先求出CE＝BC＝3，利用勾股定理求出AB＝5，证明△ABC∽△ACD求出，利用勾股定理求出，，则．
【解答】（1）证明：如图所示，连接OC，

∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD＝∠CAB，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
又∵点C在⊙O上，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：如图所示，连接CE，

由（1）得∠CAD＝∠CAB，
∴，
∴CE＝BC＝3，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴，即，
∴，
∴，，
∴．
【点评】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
25．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），图象与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图象上的两个动点（点C在点D的左侧），且∠CAD＝90°．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
（3）点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）二次函数与y轴交于点B（0，3），求得c＝3，根据A（1，0），即二次函数对称轴为直线x＝1，求出b的值，即可得到二次函数的表达式；
（2）通过证明△ADE∽△BAO，BO•DE＝OA•AE，然后结合点D的坐标特征列方程求得DE和AE的长度，从而求解；
（3）根据题目要求，找出符合条件的点C的位置，再利用几何图形的性质，结合方程思想求出对应点C的坐标即可．
解：将点B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
可得c＝3，
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），
∴﹣＝1，
解得：b＝，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）如图，过点D作DE⊥x轴于点E，连接BD，

∵∠CAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAE＝90°，
∵∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAO，
∵∠BOA＝∠DEA＝90°，
∴△ADE∽△BAO，
∴，即BO•DE＝OA•AE，
设D点坐标为（t，﹣t2+t+3），
∴OE＝t，DE＝﹣t2+t+3，AE＝t﹣1，
∴3（﹣t2+t+3）＝t﹣1，
解得：t＝﹣（舍去），t＝4，
当t＝4时，y＝﹣t2+t+3＝1，
∴AE＝3，DE＝1，
在Rt△ADE中，AD＝＝，
在Rt△AOB中，AB＝＝，
在Rt△ACD中，tan∠CDA＝＝1；
（3）存在，理由如下：
①如图，与（2）图中Rt△BAD关于对称轴对称时，tan∠C′D′A＝1，

∵点D的坐标为（4，1），
∴此时，点C′的坐标为（﹣2，1），
当点C′、D关于对称轴对称时，此时AC′与AD长度相等，即tan∠C′D′A＝1，
②当点C在x轴上方时，过点C作CE垂直于x轴，垂足为E，

∵∠CAD＝90°，点C、D关于对称轴对称，
∴∠CAE＝45°，
∴△CAE为等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设点C的坐标为（m，﹣m2+m+3），
∴CE＝﹣m2+m+3，AE＝1﹣m，
∴﹣m2+m+3＝1﹣m，
解得m＝3+（舍去）或m＝3﹣，
此时点C的坐标为（3﹣，﹣2）；
③当点C在x轴下方时，过点C作CF垂直于x轴，垂足为F，

∵∠CAD＝90°，点C、D关于对称轴对称，
∴∠CAF＝45°，
∴△CAF为等腰直角三角形，
∴CF＝AF，
设点C的坐标为（m，﹣m2+m+3），
∴CF＝m2﹣m﹣3，AF＝1﹣m，
∴m2﹣m﹣3＝1﹣m，
解得m＝﹣1+（舍去）或m＝﹣1﹣，
此时点C的坐标为（﹣1﹣，﹣﹣2）；
综上，点C的坐标为（﹣2，1）或（3﹣，﹣2）或（﹣1﹣，﹣﹣2）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合、分类讨论及方程思想解题是关键．