2021北京北大附中高一（下）期中数学（教师版）

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2021北京北大附中高一（下）期中数    学一、选择题，共6小题，每小题3分，共18分．在每小题的四个选项中，选出符合条件的一项．1．（3分）若且，则是　　A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．（3分）设，则下列函数值一定是正值的是　　A． B． C． D．3．（3分）已知，则　　A． B． C． D．4．（3分）要得到函数图象，只需把函数的图象　　A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位5．（3分）已知，其中，，在一个周期内的图象如图所示．则　　A． B． C． D．6．（3分）在中，若，则为　　A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形二、填交题，共6小题，每小题3分，共18分.7．（3分）若角与角的终边关于轴对称，则与角同终边的所有角构成集合 　　．8．（3分）已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形所在圆的半径为 　　．9．（3分）　　．10．（3分）已知点在的终边上，则　　，　　．11．（3分）在中，，是的中点，若，在线段上运动，则的最小值是　　．12．（3分）如图，矩形公园中，，，公园的左下角阴影部分为以为圆心，半径为的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路（点，分别在边与上），为切点，令，则道路的长度与的函数关系为 　　．三、解答题，共4小题，共51分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.13．（17分）已知三角形，，，．（1）写出一个与垂直的非零向量 　　；（坐标形式）（2）求；（3）求向量在向量上投影的数量；（4）若，求的值；（5）求．14．（16分）已知角终边落在直线上，且．（1）　　；（2）求的值；（3）若，，求的值．15．（11分）已知函数，．（1）函数的单调递增区间为 　　．（2）求函数的单调递增区间；（3）求函数的对称轴方程；（4）求解不等式．16．（7分）已知函数．从①，；②，．这两个条件中选择一个作为已知条件，完成问题（1）至（3）．注：如果选择两个条件分别作答，按第一个解答给分．我选择的是_____．（填写选择的条件序号①或②（1）则　　．（2）的最小正周期为 　　．（3）求时，函数的最大值和最小值．一、选择题共2小题，每小题2分，共4分.在每小题的四个选项中，选出符合条件的一项.17．（2分）下列说法错误的是　　A．，，使 B．，，成立 C．，，使 D．，，成立18．（2分）已知函数，当时，取得最大值，则的值为　　A． B． C．1 D．二、填空题共2小题，每小题2分，共4分.19．（2分）菱形中，，为中点，记，，若，则　　．20．（2分）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 　　．三、解答题（5分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）.21．（5分）雨过天晴时，我们常能见到天空的彩虹，这种现象是阳光经空气中的水滴反射与折射综合产生的自然现象．为研究方便将水滴近似视为一个球体．且各光线在球的同一截面大圆内．Ⅰ．如图1，入射光线经折射进入该球体内部，折射光线经一次内部反射形成反射光线，再折射出球体外得到折射光线当时，则称为光线为虹；Ⅱ．如图2，入射光线经折射进入该球体内部，折射光线经两次内部反射形成反射光线，再折射出球体外得到折射光线，当时则称为光线为霓．可参考的物理光学反射与折射的知识，有如下定义与规律：Ⅲ．光被镜面反射时，过入射点与镜面垂直的直线称为法线，入射光线与反射光线与法线的夹角分别称为入射角与反射角，则入射角等于反射角；Ⅳ．从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角折射光线与法线的夹角的正弦之比叫做介质2相对介质1的折射角，即．设球半径．球为某种透光性较高的介质．空气相对该介质的折射率为．圆弧对光线入射或折射时，其反射镜面为过入射（或反射）点的圆切线，法线为过该点的半径所在直线．（1）图3中，入射光线经入射点进入球内得到折射光线，过的圆切线为，过点的半径所在直线为法线，设入射角，若球介质的折射率，求折射角大小；（2）图1中，设初始入射光线的入射角为，球介质的折射率．折射光线为虹，求；（3）图2中，设初始入射光线的入射角为，球介质的折射率．折射光线为霓，求．
参考答案一、选择题，共6小题，每小题3分，共18分．在每小题的四个选项中，选出符合条件的一项．1．【分析】由正弦和正切的符号确定角的象限，当正弦值小于零时，角在第三四象限，当正切值大于零，角在第一三象限，要同时满足这两个条件，角的位置是第三象限，实际上我们解的是不等式组．【解答】解：，在三、四象限；，在一、三象限．故选：．【点评】记住角在各象限的三角函数符号是解题的关键，可用口诀帮助记忆：一全部，二正弦，三切值，四余弦，它们在上面所述的象限为正2．【分析】利用三角函数在各个象限的符号的判定，即可得到答案．【解答】解：因为，则．故选：．【点评】本题考查了三角函数在各个象限的符号的判定，考查了逻辑推理能力，属于基础题．3．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，计算求得结果．【解答】解：，平方可得，则，故选：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式的应用，属于基础题．4．【分析】根据三角恒等变换与平移法则，先化简函数，再判断平移过程．【解答】解：函数，要得到函数的图象，只需把函数的图象向左平移个单位．故选：．【点评】本题考查了三角恒等变换与图象平移的应用问题，是基础题目．5．【分析】通过函数的图象的最高点求出，利用图象求出函数的周期，得到，图象过点，，求出的值，从而可得的解析式．【解答】解：由图象可知，，，将，代入，可得，，，．故选：．【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查计算能力，属于基础题．6．【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简可得，分类讨论即可得解．【解答】解：在中，角，，的对边分别为，，，满足，可得：，所以，或，所以为直角，或，即为等腰三角形或直角三角形．故选：．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．二、填交题，共6小题，每小题3分，共18分.7．【分析】若，，则由题意可知，由此可求出与角同终边的所有角构成的集合．【解答】解：若，，则由角，且角与角的终边关于轴对称，所以，所以与角同终边的所有角构成集合为，，故答案为：，．【点评】本题主要考查了终边相同角的集合，是基础题．8．【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．【解答】解：，，，故答案为：3．【点评】本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题．9．【分析】先由诱导公式，知，再由两角和的正弦公式，得解．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】本题考查两角和的正弦公式，诱导公式，考查运算求解能力，属于基础题．10．【分析】直接利用三角函数的定义可求的值，进而利用二倍角的正切公式即可求解的值．【解答】解：点在的终边上，，．故答案为：，．【点评】本题考查三角函数的定义，二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．11．【分析】先判断是等腰直角三角形，，以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，写出点，的坐标，设且，，求出和的坐标，然后计算，再求出其最小值即可．【解答】解：在中，，，，，是等腰直角三角形，，如右图所示，以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，，，设，，，则，，，，，，当时，取最小值，故答案为：．【点评】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及最值的求法，属于中档题．12．【分析】求出，分别求出，的表达式，从而求出关于的表达式．【解答】解：点，分别在边与上，，则，在中，，在中，，，即道路的长度与的函数关系为，故答案为：．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了三角函数的性质，是中档题．三、解答题，共4小题，共51分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.13．【分析】（1）设与垂直的非零向量，根据垂直性质得到，关系式，即可得到答案；（2）根据向量夹角公式可得，代入计算即可；（3）结合（2）得到向量在向量上投影的数量为，代入计算即可；（4）表示出，，利用向量共线性质，得到关于的方程，解之即可；（5）表示出，利用向量模的求解公式即可求出答案．【解答】解：（1）由题得，设与垂直的非零向量，则，令，则，即；（2）由题得，，，则；（3）向量在向量上投影的数量为；（4），，，，，，，，因为，所以，解得；（5），，，．【点评】本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量垂直、向量共线、向量夹角公式等，考查学生计算能力，属于中档题．14．【分析】（1）易角是第三象限的角，从而确定的符号，再由同角三角函数的关系式，得解；（2）结合（1）中结论，根据两角和的正弦公式，展开运算，即可；（3）可得，再求得的值，根据，由两角差的余弦公式，展开运算即可．【解答】解：（1）由题意知，角是第三象限的角，，，．（2）．（3）由（1）知，，，，，，，．【点评】本题考查三角恒等变换的综合应用，熟练掌握两角和差公式，同角三角函数的关系式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．15．【分析】由题意利用三角函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：函数，，（1）函数的单调递增区间为，，，故答案为：，，．（2）函数，令，求得，可得函数的单调递增区间为，，．（3）函数，令，求得，可得函数图象的对称轴方程为，．（4）求解不等式，即，即，求得，．故原不等式的解集为，．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，属于中档题．16．【分析】若取①：（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．（2）利用正弦函数的周期公式可求的最小正周期，利用正弦函数的对称性即可求解一条对称轴方程．（3）由题意可求，利用正弦函数的性质即可求解其最值．若取②：（1）利用三角函数恒等变换及配方法化简函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．（2）利用函数的周期性和对称性即可求解．（3）由题意可求，利用二次函数的性质即可求解其最值．【解答】解：若取①，（1），；（2），的最小正周期；（3），，函数在，上的最大值为：，函数在，上的最小值为：．若取②，（1），；（2），的最小正周期．（3），，函数在，上的最大值为：，函数在，上的最小值为：．【点评】本题考查三角函数的图象与性质的应用问题，考查转化与运算能力，属于中档题．一、选择题共2小题，每小题2分，共4分.在每小题的四个选项中，选出符合条件的一项.17．【分析】对于：取时，即可判断是否正确；对于：利用两角和差公式化简，即可判断是否正确；对于：取，时，，即可判断是否正确；对于：利用两角和差公式化简，即可判断是否正确；【解答】解：对于：取时，，故正确；对于，故正确；对于：当，时，，故正确；对于，故错误，故选：．【点评】本题考查三角函数的恒等变换，解题中需要理清思路，属于中档题．18．【分析】根据已知条件，结合三角函数的辅助角公式和正弦函数的性质，即可求解．【解答】解：，其中，，又当时，取得最大值，，化简可得，，解得．故选：．【点评】本题主要考查三角函数的辅助角公式和正弦函数的性质，属于基础题．二、填空题共2小题，每小题2分，共4分.19．【分析】根据题意，设菱形的边长为，用、表示、，由向量数量积的计算公式可得，解可得的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设菱形的边长为，则，，则，若，则，解可得：；故答案为：．【点评】本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及平面向量基本定理的应用，属于基础题．20．【分析】由题意利用正弦函数的增区间，求得的取值范围．【解答】解：函数在区间上单调递减，，且，求得，令，可得的取值范围为，，故答案为：，．【点评】本题主要考查正弦函数的增区间，属于中档题．三、解答题（5分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）.21．【分析】（1）利用，代入数据求解即可；（2）由折射光线为虹，所以，根据几何性质求出，代入公式求解，再利用同角三角函数关系式求解即可；（3）由折射光线为霓，所以，根据几何性质求出，代入公式求解，再利用同角三角函数关系式求解即可．【解答】解：（1）由题意可得，，所以，因为，所以；（2）折射光线为虹，所以，所以，且，故，又，所以，所以；（3）因为折射光线为霓，所以，则，且，所以，因为，所以，故．【点评】本题考查了数学在实际问题中的应用，折射光线的理解与应用，边角关系的应用以及同角三角函数关系式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．