2021北京昌平二中高一（下）期中数学（教师版）

这是一份2021北京昌平二中高一（下）期中数学（教师版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021北京昌平二中高一（下）期中数    学一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．（5分）的值为　　)A． B． C． D．2．（5分）已知角的终边经过点，则　　A． B． C． D．3．（5分）下列函数中，在，上递增，且周期为的偶函数是　　A． B． C． D．4．（5分）函数图象的对称轴方程可能是　　A． B． C． D．5．（5分）已知向量，，且，则，等于　　A． B． C． D．6．（5分）已知，，则的值是　　A． B． C． D．7．（5分）在中，，，所对的边长分别为，，，如果，那么一定是　　)A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形8．（5分）设函数，命题“是奇函数”是“”的　　A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．（5分）如图为一直径为的水轮，水轮圆心距水面，已知水轮每分钟转2圈，水轮上的点到水面的距离与时间满足关系式，，表示在水面下），则有　　A．， B．， C．， D．，10．（5分）设函数，若存在实数，，，，满足当时，，则正整数的最小值为　　A．505 B．506 C．507 D．508二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题纸的相应位置）11．（5分）弧长为的扇形的面积为，则这个扇形的圆心角为　　．12．（5分）　　．13．（5分）已知矩形中，，，为边的中点，为边上的动点（可以与端点重合），则　　，的最大值为　　．14．（5分）函数的最小值为　　．15．（5分）已知函数，若函数在上具有单调性，且，则　　．16．（5分）已知函数，，，其中表示不超过的最大整数．例如：，，．①　　；②若对任意，都成立，则实数的取值范围是　　．三、解答题：本大题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（14分）已知，且，均为锐角．（1）求的值；（2）求的值．18．（14分）已知函数．（1）用“五点法”画出在一个周期内的闭区间上的简图；（2）写出的对称中心．19．（14分）已知函数，为常数），求：（1）的单调递增区间；（2）若在上的最小值为2，求在上的最大值．20．（14分）在中，已知，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．条件①：；条件②：（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面积．21．（14分）已知，．（1）若函数的最小正周期为，①求的值；②当时，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．（2）若函数在区间，上恰有5个零点，求的取值范围．
参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．【分析】原式利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：．故选：．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可．【解答】解：因为角的终边经过点，所以．故选：．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．【分析】由三角函数的单调性、奇偶性、周期性逐一判断即可得出结论．【解答】解：对于，为奇函数，不符合题意；对于，为偶函数，周期，但在，上递减，不符合题意；对于，为奇函数，不符合题意；对于，为偶函数，周期，当，时，为增函数，符合题意．故选：．【点评】本题主要考查三角函数的单调性、奇偶性与周期性，属于基础题．4．【分析】令求出的值，然后根据的不同取值对选项进行验证即可．【解答】解：令，当时为选项，故选：．【点评】本题主要考查正弦函数对称轴的求法．属基础题．5．【分析】根据可得出，进而可求出，然后根据向量夹角的余弦公式可求出的值，进而可求出的值．【解答】解：，，且，，解得，，且，．故选：．【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．6．【分析】由已知，结合两角和的正切公式即可直接求解．【解答】解：因为，，则．故选：．【点评】本题主要考查了两角差的正切公式，解题的关键是拆角技巧的应用，属于基础题．7．【分析】根据图形得，在直角和直角中，两次利用正弦定理得到，又因为，所以得到，而和为锐角，所以，所以三角形为等腰三角形．【解答】解法1：过作，垂足为，在直角中，根据正弦定理得：，解得，在直角中，根据正弦定理得：，解得，所以，又因为两个等式联立得：，而和为锐角，所以，所以三角形为等腰三角形；解法，，又根据正弦定理，，即，，又和都为三角形的内角，，即三角形为等腰三角形．故选：．【点评】考查学生利用正弦定理解决数学问题的能力，以及运用同角三角函数基本关系的能力．8．【分析】函数的图象关于原点对称，函数是一个奇函数，当函数是一个奇函数时，函数在原点处不一定有定义，不一定存在，利用充要条件的定义即可求得答案．【解答】解：函数，由条件：“”，函数的图象关于原点对称，函数是一个奇函数，当函数是一个奇函数时，函数在原点处不一定有定义，不一定存在，命题“是奇函数”是“”的必要不充分条件，故选：．【点评】本题考查条件的判断，本题解题的关键是当函数是一个奇函数时，不一定在原点处有定义，所以不一定有函数值等于0，属于基础题．9．【分析】根据题意求出的值，利用转速求周期和的值．【解答】解：由题意知，水轮的半径为3，水轮圆心距离水面，所以；又水轮每分钟旋转2圈，所以转一圈需要30秒，所以，解得．故选：．【点评】本题考查了三角函数模型的构建与应用问题，也考查分析解决问题的能力，是基础题．10．【分析】利用函数，得到的值域，从而得到，然后迭加得到，根据选项进行判断即可．【解答】解：由的值域可得，，即，故，即，当时，，当时，，故正整数的最小值为507．故选：．【点评】本题考查了三角函数性质的应用，涉及了三角函数值域的应用，解题的关键是构造绝对值相加的等式，属于中档题．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题纸的相应位置）11．【分析】设扇形的圆心角为，半径为，根据扇形的弧长和面积公式列方程组求出的值．【解答】解：设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为，①扇形的面积为，②由①②解得，．所以这个扇形的圆心角为．故答案为：．【点评】本题考查了扇形的弧长和面积计算问题，是基础题．12．【分析】由题意利用两角和差的三角公式，计算求得结果．【解答】解：，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，属于基础题．13．【分析】画出图形，建立坐标系，然后求解向量的数量积，以及向量数量积的最大值即可．【解答】解：如图，建立直角坐标系，则，，，，，所以，，，当在处时，的最大值为，，．故答案为：0；12．【点评】本题考查平面向量的数量积的求法，考查数形结合以及计算能力，是中档题．14．【分析】利用二倍角公式以及二次函数的性质，结合余弦函数的值域，求解函数的最小值即可．【解答】解：函数，当时，函数取得最小值：．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的最值的求法，二次函数的简单性质的应用，是基础题．15．【分析】由题意利用正弦函数的单调性求得的范围，根据图象的对称性求得的值，可得函数的解析式，从而求得要求式子的值．【解答】解：函数，若函数在上具有单调性，，且，．，，故的图象关于点，对称，故，，．则，故答案为：0．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，以及图象的对称性，属于中档题．16．【分析】①由特殊角的三角函数值和诱导公式、以及的定义，可得所求值；②由题意可得对任意，都成立，分别讨论在各个象限和坐标轴的取值情况，结合的定义，可得所求范围．【解答】解：①；②若对任意，都成立，即为对任意，都成立，当或时，或；当时，；当时，；当时，；当时，，，可得；同理可得当时，可得；当时，可得；当时，可得．综上可得，的取值范围是，．故答案为：；，．【点评】本题考查函数恒成立问题解法，以及新定义的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，两角和差和的三角公式，计算求得结果．（2）先求出的范围，再求出的余弦值，可得的值．【解答】解：（1），，，，．（2），，，．，，，．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和差和的三角公式，属于中档题．18．【分析】（1）利用列表、描点、连线，在坐标系中画出函数的图象即可；（2）根据余弦函数的性质求出的对称中心．【解答】解：（1）根据题意列表如下；01001在坐标系中画出图象，如图所示；（2）令，，解得，；所以的对称中心为．【点评】本题考查了五点法画三角函数的图象应用问题，也考查了函数的对称问题，是基础题．19．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．【解答】解：（1）函数，由，，所以，的单调递增区间为．（2），，，，．由函数的最小值为，得，在上的最大值为．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．20．【分析】选①由已知结合正弦定理可求，，然后结合和差角及诱导公式可求；结合正弦定理及三角形面积公式即可求解；选②：结合同角平方关系先求，然后结合正弦定理即可求解；由已知结合余弦定理可求，然后结合三角形面积公式可求．【解答】解①：（Ⅰ）因为，所以．所以．所以．（Ⅱ）由正弦定理．得，，解②：（Ⅰ）由，得，由正弦定理，得．（Ⅱ）由余弦定理，得．即，解得舍）．．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．21．【分析】（1）①根据题意，由数量积的运算性质可得的解析式，由三角函数周期的计算方法可得的值，②结合的解析式求出，进而可得即恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案；（2）根据题意，求出的取值范围，结合正弦函数的性质可得答案．【解答】解：（1）根据题意，，①若函数的最小正周期为，则，解可得，②若，即，则有，变形可得则有，对任意，不等式恒成立，即，而即恒成立，当时，成立，当时，有，解可得；综上；（2）根据题意，若，即，变形可得，又由，则有，若函数在区间，上恰有5个零点，则有，即，解可得：，即的取值范围，．【点评】本题考查三角函数的性质以及数量积的计算，涉及函数零点的判定定理，属于中档题．