2021北京五中高一（下）期中数学（教师版）

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2021北京五中高一（下）期中数    学一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）　　A． B． C． D．2．（5分）如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，每个圆锥的底面直径为，现有体积为的细沙全部漏入下面的圆锥后，恰好堆成一个能盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高度为　　A． B． C． D．3．（5分）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（5分）我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人．凡三乡，发役三百人，则北乡遣人几何？其意为：现在北乡人口为8100人，西乡人口为7488人，南乡人口为6912人．要从这三个乡镇抽取300人服役，则北乡应抽取多少人？　　A．104 B．108 C．112 D．1205．（5分）“复平面内的点在虚轴上”是“复数是纯虚数”的　　A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）2020年5月我国抗击新冠肺炎疫情工作取得阶段性胜利，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是　　A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加 B．这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差 C．第3天至第11天复工复产指数均超过 D．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量7．（5分）对于非零向量，，定义运算“”： ，其中为，的夹角．设，，为非零向量，则下列说法错误的是　　A． B． C．若，则 D．8．（5分）已知，是单位圆上（圆心在坐标原点任意一点，将射线绕点逆时针旋转到交单位圆于点，，则的最大值为　　A．1 B．2 C． D．9．（5分）如图，在长方体中，，，，动点在棱上，连接，，则的最小值为　　A．3 B． C． D．10．（5分）设函数，若存在的极值点满足，则的取值范围是　　A．，， B．，， C．，， D．，，二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知复数为虚数单位），则的虚部为　　．12．（5分）如图，△为水平放置的斜二测画法的直观图，且，，则的周长为　　．13．（5分）如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为，再由点沿北偏东方向走10米到位置，测得，则塔的高是　　米．14．（5分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．若下面是尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示），则样本容量为　　，的值为　　．组别分组频数频率第1组，80.16第2组，▓第3组，200.40第4组，▓0.08第5组，2 合计▓▓15．（5分）如图，，点在由射线，线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是　　；当时，的取值范围是　　．三、解答题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（13分）已知．（Ⅰ）求的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．17．（13分）已知平面向量，，，且．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若，求与的夹角．18．（13分）中国共产党建党100周年华诞之际，某高校积极响应党和国家的号召，通过“增强防疫意识，激发爱国情怀”知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党100周年以来的丰功伟绩的传颂．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图样本频率分布直方图．（Ⅰ）求值并估计中位数所在区间；（Ⅱ）为了鼓励更多的学生参与学校活动，学校为100人中的人准备了纪念品，问本次活动得多少分以上的人可以拿到纪念品？（结果四舍五入保留整数）（Ⅲ）需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由．19．（13分）在中，，，分别是角，，的对边，并且．（Ⅰ）已知_______，计算的面积；请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答．（Ⅱ）求的最大值．20．（13分）已知中，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）已知，，若、是边上的点，使，求当面积的最小时，的大小．21．（10分）已知集合，，，，，，，2，，，对于，，，，，，，，定义与的差为，，，与之间的距离为．（Ⅰ）若，0，，，1，，求，；（Ⅱ）证明：对任意，，，有（ⅰ），且，，；（ⅱ），，三个数中至少有一个是偶数；（Ⅲ）对于，，，，，，，，再定义一种与之间的运算，并写出两条该运算满足的性质（不需证明）．
参考答案一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．1．【分析】由正弦的倍角公式变形即可解之．【解答】解：因为，所以．故选：．【点评】本题考查正弦的倍角公式．2．【分析】根据圆锥的体积公式列方程求出沙堆的高．【解答】解：细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为，设高为，则沙堆的体积为，解得，所以圆锥形沙堆的高度为．故选：．【点评】本题考查了圆锥的体积公式应用问题，是基础题．3．【分析】根据复数的几何意义先求出，即可．【解答】解：由复数的几何意义知，，则，对应的点的坐标为位于第四象限，故选：．【点评】本题主要考查复数的几何意义以及复数的基本运算，比较基础．4．【分析】根据分层抽样原理，即可求出抽取的数值．【解答】解：三个乡镇总人口有（人，从这三个乡镇抽取300人，北乡应抽取（人．故选：．【点评】本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．5．【分析】利用复数在复平面的几何意义，结合充要条件的定义进行判断即可．【解答】解：复数为纯虚数的充要条件是：且；即与它对应的点在轴上除去原点之外的点，故由复数是纯虚数，可推出复平面内的点在虚轴上，由复平面内的点在虚轴上，不能推出复数是纯虚数，故“复平面内的点在虚轴上”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件，故选：．【点评】本题考查了充要条件的判断及复数的几何意义，考查了对复数相关概念的理解，属于基础题．6．【分析】观察折线图判断各选项．【解答】第8天比第7天的复工指数和复产指数均低，错；这11天期间，复产指数的极差小于复工指数的极差：两者最高差不多，但最低的复工指数比复产指数低得多，错；第3天至第11天复工复产指数均超过，正确；第9天至第11天复工指数的增量小于复产指数的增量，错误．故选：．【点评】本题考查的是识图能力，其中涉及极差的概念考察，属于基础题．7．【分析】利用向量的数量积的运算和排除法求出结果．【解答】解：非零向量，，定义运算“”： ，其中为，的夹角．故：①，故正确．②，则：或，所以：和共线，故：正确．③由于：，故：正确，所以利用排除法得到：错误．故选：．【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8．【分析】设，则，，则，由此能求出的最大值．【解答】解：设，则，，，的最大值为1．故选：．【点评】本题考查代数式最大值的求法，考查单位圆、三角函数的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．9．【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，设，利用空间两点间距离公式表示出，然后转化为平面中到两定点距离之和的最小值问题进行研究，即可得到答案．【解答】解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，设，则，上式可以看出平面直角坐标系下点与点和点的距离之和，又点关于轴的对称点为，所以，故的最小值为．故选：．【点评】本题考查了空间中距离最小值问题，解题的关键是要把空间问题转化为平面问题，考查了逻辑推理能力与转化化归能力以及空间想象能力，属于中档题．10．【分析】由题意可得，，且，，再由题意可得存在整数，满足，求得的最小值，可得，由此求得的取值范围．【解答】解：由题意可得，，即，，即．再由，即，即存在极值点，满足，即存在整数，满足，即存在整数，满足，即存在整数，使得足 能成立，故 应大于的最小值．而的最小值为，，即，，求得，或，故选：．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，不等式的性质，函数的能成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：由，得，的虚部为．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．12．【分析】根据斜二侧画法得到三角形为直角三角形，且其底面边长，高，，然后求三角形的周长即可．【解答】解：根据斜二侧画法得到三角形为直角三角形，底面边长，高，，直角三角形的周长为．故答案为：12．．【点评】本题主要考查平面图形的直观图的应用，要求熟练掌握斜二测画法的边长关系，比较基础．13．【分析】设塔高为米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，，由正弦定理可求，从而可求即塔高【解答】解：设塔高为米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，由正弦定理可得，可得，则故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．14．【分析】由频数分布表得，的频数为20，频率为0.4，求出样本容量，进而求出，，再由频率分布直方图求出，，由此能求出的值．【解答】解：由频数分布表得，的频数为20，频率为0.4，样本容量为，，，由频率分布直方图得，．．故答案为：50，510．【点评】本题考查频率分布直方图的运算，频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以和的反向延长线为两邻边，得到的取值范围，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，得到的范围．【解答】解：如图，，点在由射线，线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以和的反向延长线为两邻边，的取值范围是；当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，，，的取值范围是，．故答案为：；，【点评】本题考查三角形法则，是一个基础题，向量是数形结合的最好的工具，在解题时注意发挥向量的优点．三、解答题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．【分析】（Ⅰ）首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和函数的单调递减区间；（Ⅱ）利用函数的定义域求出函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）．故函数的最小值正周期为．令：，解得，故函数的单调递减区间为：．（Ⅱ）由于，所以，所以，整理得：即，，即当时，函数取得最小值为0，当时，函数取得最大值为3．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17．【分析】（1）根据，可得，从而解出，从而得出，利用向量的模的运算以及二次函数的性质即可求得的最小值；（2）由，可求得的值，从而可求出与，并设与的夹角为，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．【解答】解：（1），，．，解得，，，，，当时，取得最小值为13．（2）若，则，，，，，，，设与的夹角为，则，，，，即与的夹角为．【点评】本题考查平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、减法、数乘、数量积和模的运算，考查运算求解能力，属于中档题．18．【分析】（Ⅰ）利用频率之和为1，求出，然后利用频率分布直方图中中位数的定义判断即可；（Ⅱ）先计算共有多少人纪念品，求出分数在，之间的有18人，从而得到，之间有2人无纪念品，再确定多少分以上的人可以拿到纪念品；（Ⅲ）选成绩好的6人参加，由频率分布直方图分析即可．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，，前3组的频率为，前4组的频率为，故中位数所在的区间为，；（Ⅱ）因为人，所以有人没有纪念品，分数在，之间的有人，所以分数在，之间的有人没有纪念品，分数在，之间的共有人，所以分，所以本次活动51分以上的人可以拿到纪念品；（Ⅲ）选成绩最好的同学去参赛，分数在，之间的共有人，所以选90分以上的人去参赛．【点评】本题考查了频数、频率、样本容量之间的关系，考查了方程思想，属于基础题．19．【分析】（Ⅰ）由余弦定理知，，．选择①②：先解得，再由，得解；选择①③：由正弦定理知，而，解方程组求得，的值，再由，得解；选择②③：由正弦定理知，由，得解．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，结合两角差的余弦公式和辅助角公式，可得，再由正弦函数的图象与性质，得解．【解答】解：（Ⅰ），由余弦定理知，，，．选择①②：，，即，解得或（舍负），的面积．选择①③：由正弦定理知，，，，，，由构成的方程组，解得，，的面积．选择②③：由正弦定理知，，，，的面积．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，，，，，，故的最大值为1．【点评】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练掌握正余弦定理、两角和差公式、辅助角公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）由已知等式结合正弦定理可得，进一步求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，可得为直角三角形，且，设，，，在中与中分别利用正弦定理求得、，代入三角形面积公式，再由三角函数求最值．【解答】解：（Ⅰ），，，，得，又，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，为直角三角形，且，，，设，，，则，在中，由，得，由，，得，在中，由，得，由．，，，，可得当，即时，取得最小值，故当面积的最小时，．【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．21．【分析】（Ⅰ）利用新定义求解即可；（Ⅱ）（ⅰ）设，，，，，，，，，，，，因为，，，故，，然后分两种情况进行讨论，即可证明；（ⅱ）设，，，，，，，，，，，，记，，，记，0，，，利用中的结论，先推导出，，不可能全为奇数，即可证明；（Ⅲ）直接定义，然后写出性质即可．【解答】（Ⅰ）解：因为，0，，，1，，所以，1，，；（Ⅱ）证明：（ⅰ）设，，，，，，，，，，，，因为，，，故，，，2，，，则，，，，又，，，，，2，，，当时，有；当时，有；故，；（ⅱ）设，，，，，，，，，，，，记，，，记，0，，，由可知，，，，，，，，，，，，则中1的个数为，中1的个数为，设是使得成立的的个数，则有，由此可知，，，不可能全为奇数，即，，三个数中至少有一个是偶数；（Ⅲ）定义，，，，则①；②．【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．