2021北京一零一中学高一（下）期中数学（教师版）

这是一份2021北京一零一中学高一（下）期中数学（教师版），共15页。试卷主要包含了解答题共4小题，共50分等内容，欢迎下载使用。
2021北京一零一中学高一（下）期中数    学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）设，且，则　　A． B． C． D．2．（4分）已知复数满足，则对应的点位于复平面内的　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（4分）一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则下列说法正确的是　　A．这组新数据的平均数为 B．这组新数据的平均数为 C．这组新数据的方差为 D．这组新数据的标准差为4．（4分）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且（A），（C），则　　A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.95．（4分）已知单位向量，满足，若向量，则，　　A． B． C． D．6．（4分）在中，，，，则　　A．1 B．2 C．1或2 D．无解7．（4分）已知，都是复数，则“”是“”的　　A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件8．（4分）函数在区间，上的零点个数为　　A．2 B．3 C．4 D．5
9．（4分）下列结论正确的是　　A．若，则 B．设，则 C．设，且，那么的值为 D．存在实数，，使等式成立10．（4分）我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为．则　　A． B． C． D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。11．（5分）五个数1，2，3，4，的平均数是3，则这五个数的标准差是　　．12．（5分）已知复数，，则复数的虚部等于　　．13．（5分）暑假期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是　　．14．（5分）某学校开展了“国学”系列讲座活动，为了了解活动效果，用分层抽样的方法从高一年级所有学生中抽取10人进行国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．则男生成绩的分位数为　　；已知高一年级中男生总数为80人，试估计高一年级学生总数为　　．
15．（5分）如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为　　，若，是线段上的动点，且，则的最小值为　　．16．（5分）已知点，，，是函数图象上的任意两点，角的终边经过点，且当时，的最小值为．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　．三、解答题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17．（12分）某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按，，，，，，，，，分组，得到频率分布直方图如图：假设甲、乙两种酸奶的日销售量相互独立．（1）写出频率分布直方图（甲中的的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）（2）用频率估计概率，求在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱的概率．18．（12分）在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）角的大小和的面积．条件①：；条件②：．19．（13分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，、、三点满足．（1）求证：、、三点共线；（2）已知、，，，的最小值为5，求实数的值．   20．（13分）我们学过二维的平面向量，其坐标为，，，，那么对于，维向量，其坐标为，，，，，2，，．设，维向量的所有向量组成集合，，，，，，2，，．当，，，，，，2，，时，称为的“特征向量”，如，，，，的“特征向量”有，，，．设，，，和，，，为的“特征向量”，定义，．（1）若，，且，1，，，1，，计算，，，的值；（2）设且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，当时，，为奇数；当时，，为偶数．求集合中元素个数的最大值；（3）设，且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，且时，，．写出一个集合，使其元素最多，并说明理由．
参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．【分析】直接利用特殊角的三角函数的值，求解即可．【解答】解：，因为，，所以．故选：．【点评】本题考查特殊角的三角函数求角，三角方程的解法，是基础题．2．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数满足，复数满足，，则对应的点，位于复平面内的第四象限．故选：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．【分析】根据题意，分析新数据的平均数、方差，求出其标准差，据此分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则新数据的平均数为，方差为，则其标准差为，故选：．【点评】本题考查数据的方差、平均数的计算，注意数据平均数、方差、标准差的计算公式，属于基础题．4．【分析】利用对立事件概率公式先求出（B）（C），再由互斥事件概率加法公式能求出（A）（B）的值．【解答】解：随机事件，，中，与互斥，与对立，（A），（C），（B）（C），（A）（B）．故选：．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率公式、互斥事件概率加法公式能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．【分析】由已知结合向量数量积的定义及向量数量积性质可求，然后结合同角平方关系即可求解．【解答】解：，，所以，所以．故选：．【点评】本题主要考查了向量数量积的定义及性质，考查了转化思想，属于基础题．6．【分析】由已知利用余弦定理可得，解方程即可得解的值．【解答】解：因为，，，所以由余弦定理，可得，整理可得，解得或2．故选：．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．7．【分析】本题考查复数的基本概念，两个复数一般不能比较大小，只有当两个数都是实数时方可比较大小，由此规律对“”与“”的关系进行研究即可得出两者之间的关系，选出正确答案【解答】解：，都是复数，若“”成立，则是正实数，此时两复数可能是实数也可能是虚部相同的复数，故不能得出“”成立，即“”成立不能得出“”成立；若“”成立，则，都是实数故可得出“”，即若“”成立，可得出“”，成立故“”是“”的必要不充分条件考察四个选项，选项正确故选：．【点评】本题以复数为背景考查充分条件与必要条件的判断，理解充分条件与必要条件的定义及熟练掌握复数的基本概念是解本题的关键，本题是基本概念考查题，考查理解能力及对复数的理解8．【分析】利用二倍角公式化简，通过方程求根，推出结果即可．【解答】解：函数，令，解得，（舍去），所以，在区间，上有2个根，故选：．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，三角方程的解法，是基础题．9．【分析】选项选项特殊值判断即可，选项，选项运用半角公式求解即可【解答】解：若，所以三个角、、有可能会有角为，而无正切值，故选项错；，故，故选项错；，所以为第二象限角，，，在第三象限，，故选项错；，当，时，等号成立，所以存在实数，，使等式成立，故选项正确．故选：．【点评】本题考查了三角函数的基本性质，和差化积公式及半角公式．10．【分析】设出直角三角形中较短的直角边，利用勾股定理求出的值，从而求出，的值，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果．【解答】解：设直角三角形中较短的直角边为，则：，解得：，，，，故选：．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。11．【分析】根据平均数公式先求出，再求出方差，开方得出标准差．【解答】解：由已知，1，2，3，4，的平均数是3，即有，易得根据方差计算公式得所以标准差故答案为：．【点评】本题考查了样本数据平均数、方差、标准差的计算．属于简单题．12．【分析】把，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，，，则的虚部等于．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．13．【分析】暑假期间两人中至少有一人外出旅游的对立事件是暑假期间两人都不外出旅游，由此利用对立事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率【解答】解：暑假期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，暑假期间两人中至少有一人外出旅游的对立事件是暑假期间两人都不外出旅游，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是：．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．【分析】根据分位数的求法，结合题中数据，即可得到答案；根据分层抽样的定义，即可求得高一年级学生总数．【解答】解：将男生成绩从小到大排列可得：64、76、77、78，共4个数据，且，所以男生成绩的分位数为．设高一年级学生总数为，因为用分层抽样的方法抽取10人中，男生有4人，且高一年级中男生总数为80人，所以，解得．故答案是：77.5；200．【点评】本题考查分位数的求法，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．【分析】以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点的坐标，即可求出的值，再设出点，的坐标，根据向量的数量积可得关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，，，，，，，，，设，，，，，，，解得，，，，，，，，设，则，其中，，，，，，当时取得最小值，最小值为，故答案为：，．【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．16．【分析】首先利用正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式，最后利用恒成立问题的应用求出参数的取值范围．【解答】解：由于函数图象上的任意两点，角的终边经过点，所以，故，当时，的最小值为．所以函数的最小正周期为：，解得．所以函数．由于，所以，于是，由于，不等式恒成立，所以，当取最大值1时，的最大值为，故的取值范围为，故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，恒成立问题的应用，参数的取范围的确定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．三、解答题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17．【分析】（1）根据频率和为1可计算值．用方差计算方法计算出与，再比大小；（2）用独立事件概率求法可解决此问题．【解答】解：（1）由直方图可知：，解得：．；（2）甲种酸奶销售量高于20箱的概率为：，乙种酸奶销售量高于20箱的概率为：，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱的概率为：．【点评】本题考查频率分布直方图坐标、及频率方差求法，考查数学运算能力，属于基础题．18．【分析】选条件①：（Ⅰ）利用余弦定理的应用求出结果；（Ⅱ）利用三角函数关系式的变换，正弦定理和三角形的面积求出结果；选条件②时，（Ⅰ）利用三角函数的角的变换和正弦定理的应用求出结果；（Ⅱ）利用三角函数的角的变换和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】解：选条件①：（Ⅰ）时，，，利用，整理得，解得或（负值舍去），故：．（Ⅱ）由于，，所以，利用正弦定理，所以，解得，由于，所以，则．选条件②时，（Ⅰ），所以，，所以，由正弦定理，整理得，解得，（Ⅱ），所以，，所以，所以，由于，所以．所以．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19．【分析】（1）利用向量共线定理证明即可；（2）利用数量积运算和二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1），又与有公共点，故、、三点共线．（2），，，，故，，．从而，关于的二次函数的对称轴为，，，，又区间，的中点为．①当，即时，当时，．由得或，又，；②当，即时，当时，，由得，又，．综上所述：的值为或．【点评】本题考查了向量共线定理、数量积运算、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20．【分析】（1）直接根据定义计算．（2）注意到1的个数的奇偶性，根据分情况讨论1的个数，从而得到集合．（3）根据抽屉原理即可得证．【解答】解：（1），，，．（2）设，，，，，，，，，，，，2，3，，当时，，为奇数，则仅有1个1或3个1，当时，，为偶数，①仅有1个1时，，为使，为偶数，则，即与不同时为1，此时，0，0，，，1，0，，，0，1，，，0，0，，4个元素．②仅有3个1时，，为使，为偶数，则，即与不同时为0，此时，1，1，，，0，1，，，1，0，，，1，1，，4个元素．③若，，则，，舍去，综上所述，集合中的元素个数最大值为4．（3），0，0，，，0，，，，1，0，，，0，，，0，0，，，此时中有个元素，下证其为最大，对于任意两个不同的元素，，满足，，则，中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在有多于个元素，由于，0，0，，与任意元素都有，，所以除，0，0，，外至少有个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对，满足，此时，不满足题意，故中最多有个元素．【点评】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，同时考查了学生的逻辑推理能力，综合性较强，难度较大．