期末测试卷 2023-2024学年华东师大版八年级数学上册

期末综合测试卷

时间:100分钟 满分:120分

一、选择题(每小题3分,共30分)

1.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是（   ）

A.,,  B.1,,  C.6,7,8   D.2,3,4

2.若4y=3,则16y的值为 (　　)

A.6   B.16   C.8   D.18

3.下列命题属于假命题的是 (　　)

A.平方根等于它本身的数是0和1  B.内错角相等,两直线平行

C.三角形的内角和为180°   D.27的立方根是3

4.下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是 (　　)

A.x2-4  B.x2-4x+4  C.x2-2x-1  D.x2+4x+1

5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D.若AB=10,S△ABD=

25,则CD的长为 (　　)

A.2.5   B.4   C.5   D.10

6.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,BD=DE,连接AE.若△ABC的周长为26,AF=5,则DC的长为              (　　)

A.5   B.10   C.8    D.13

7.一次数学测试后,某班40名学生的成绩被分为5组,第1~4组的频数分别为12,

10, 6,8,则第5组的频率是 (　　)

A.0.1   B.0.2   C.0.3   D.0.4

8.若(x-3)(x2+px+q)的结果不含常数项和x项,则p+q= (　　)

A.3  B.6   C.9   D.0

9.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为5,3,1,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短路径长是                                     (　　)

A.12   B.13   C.14    D.15

10.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差,那么称该正整数为“和谐数”(如8=32-12,16=52-32,24=72-52,即8,16,24均为“和谐数”),若将一列“和谐数”8,

16,24……由小到大依次记为a1,a2,a3,…,an,则a1+a2+a3+…+an= (　　)

A.4n2　　　　 B.4n+4   C.4n2+4　　　　　 D.4n2+4n

二、填空题(每小题3分,共15分)

11.用反证法证明“在△ABC中,∠A,∠B的对边分别是a,b.若∠A>∠B,则a>b”,第一步应假设　　　　. 

12.已知x的算术平方根为3,y的立方根为2,那么x+y的值为　　　　. 

13.某校学生来自甲、乙、丙三个地区,其人数比为5∶4∶3,如图所示的扇形图表示上述分布情况,则“来自甲地区的学生”对应扇形的圆心角的度数为　　　　. 

14.生活中我们经常用到密码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,其原理是:将一个多项式因式分解,如多项式:x3-x可以因式分解为x(x-1)(x+1),当x=29时,x-1=28,x+1=30,此时可以得到的数字密码为282930,292830等.根据上述方法,当x=15,y=5时,对于多项式x3-xy2分解因式后可以形成的数字密码是　　　　　　　(写出一个即可). 

15.如图,△ABC是边长为4的等边三角形,BD=CD,且∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则△AMN的周长是　　　　. 

三、解答题(共75分)

16.计算:

(1)（5分）×+×÷;   (2)（5分）(8x3y2-4x2y2)÷(-2x2y)-2x(1-2y).

17.(7分)化简求值:[(x+y)(x-y)+(x-y)2]÷2x,其中|x-3|+(y+)2=0.

18.(7分)下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.已知∠AOB,求作一个角,使它等于∠AOB.

作法:①如图作射线O'A';

②以点O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于点C,交OB于点D;

③以点O'为圆心,OC长为半径作弧C'E',交O'A'于点C';

④以点C'为圆心,CD长为半径作弧,交弧C'E'于点D';

⑤过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'就是所求作的角.

请完成下列问题:

(1)该作图的依据是　　　　.(填序号) 

①A.S.A. ②S.A.S. ③A.A.S. ④S.S.S.

(2)请证明∠A'O'B'=∠AOB.

19.(8分)已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.小明的解题过程如下:

因为a2c2-b2c2=a4-b4,①

所以c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2), ②

所以c2=a2+b2, ③

所以△ABC是直角三角形. ④

请根据上述解题过程回答下列问题:

(1)小明的解题过程中,从第　　　　(填序号)步开始出现错误; 

(2)请你将正确的解题过程写下来.

20.(8分)勾股定理是一个基本的几何定理,《周髀算经》里就有“勾三股四弦五”的记载.如果一个直角三角形的三边长都是正整数,那么这三个正整数叫做一组勾股数,如:3,4,5;5,12,13;……都是勾股数.把勾股数同时乘以相同的正整数倍得到的也是勾股数,我们把这种勾股数称为“派生勾股数”.因为6=3×2,8=4×2,10=5×2,所以6,8,10就是“派生勾股数”.如果一组“派生勾股数”的斜边比一条直角边大3,那么我们把这种勾股数称为“新新勾股数”.

(1)请判断9,12,16和10,24,26是否为“派生勾股数”;

(2)请求出斜边小于100的所有“新新勾股数”.

21.(10分)某市为建设森林城市需要大量的树苗,某生态示范园负责对甲、乙、丙、丁四个品种的共500株树苗进行树苗成活率试验,从中选择成活率高的品种进行种植.通过试验得知,丙种树苗的成活率为89.6%,根据试验数据绘制如下两幅不完整的统计图.

根据以上信息,解答下列问题:

(1)试验所用的乙种树苗的数量是　　　　株; 

(2)求丙种树苗的成活数,并把条形统计图补充完整;

(3)你认为应选哪种树苗进行种植?请通过计算说明理由.

22.(12分)著名的“赵爽弦图”如图1所示,若其中四个全等的直角三角形中,较短的直角边为a,较长的直角边为b,斜边为c,则大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为4×ab+(b-a)2,由此推导出勾股定理:如果直角三角形两条直角边为a,b,斜边为c,则a2+b2=c2.

(1)图2为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”,请你利用图2推导勾股定理.

(2)如图3,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上),并新修一条路CH,且CH⊥

AB.测得CH=2.4千米,HB=1.8千米,求新路CH比原路CA短多少千米.

(3)在第(2)问中,若AB≠AC,CH⊥AB,AC=4千米,BC=5千米,AB=6千米,求AH的长.

   图1　　　　图2　　　　　图3

23.(13分)数学课上,王老师出示了如下框中的题目.

小明与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:

(1)特殊情况,探索结论　

在等边三角形ABC中,当E为AB的中点时,点D在CB边的延长线上,且ED=EC,如图1,请你直接写出线段AE与DB的大小关系.

(2)特例启发,解答题目

王老师给出的题目中,AE与DB的大小关系是:　　　　. 

理由如下:

如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F,(请你完成以下解答过程)

(3)拓展结论,设计新题

在△ABC中,AB=BC=AC=1,点E在AB的延长线上,AE=2,点D在CB的延长线上,ED=EC,如图3,则CD的长是　　　　. 

　  图1　　　　  图2　　　　　图3

参考答案与解析

1.B

2.C　∵4y=3,∴16y=(24)y=24y=23=8.

3.A　平方根等于它本身的数是0,1的平方根等于±1.

4.B　x2-4,x2-2x-1,x2+4x+1都不能用完全平方公式进行因式分解.x2-4x+4=(x-2)2,能用完全平方公式进行因式分解.

5.C　如图,过点D作DE⊥AB于点E.∵∠C=90°,AD平分∠BAC,∴DE=CD.∵

AB=10,S△ABD=25,∴×10×DE=25,解得DE=5,∴CD=DE=5.

6.C　∵AD⊥BC,BD=DE,EF垂直平分AC,∴AB=AE=EC,AC=2AF=10.∵△ABC周长为26,∴AB+BC=26-10=16,∴AB+BE+EC=16,即2DE+2EC=16,∴DE+EC=8,

∴DC=DE+EC=8.

7.A　第5组的频数为40-12-10-6-8=4,所以第5组的频率是4÷40=0.1.

8.D　原式=x3-3x2+px2-3px+qx-3q=x3+(p-3)x2+(q-3p)x-3q.根据题意,令q-3p=0,-3q

=0,解得p=0,q=0,∴p+q=0.

9.B　将台阶展开,如图,由题意得∠ACB=90°,AC=3×3+1×3=12,BC=5,∴AB2=AC2

+BC2=169,∴AB=13,∴蚂蚁爬行的最短路径长是13.

10.D　a1+a2+a3+…+an=32-12+52-32+…+(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1)2-12=4n2+4n.

11.a≤b

12.17　因为x的算术平方根为3,y的立方根为2,所以x=9,y=8,所以x+y=9+8=17.

13.150°　“来自甲地区的学生”对应扇形的圆心角的度数为360°×=150°.

14.152010(答案不唯一)　因为x3-xy2=x(x+y)(x-y),所以当x=15,y=5时,形成的密码可以是152010,151020,201510等.

15.8　∵BD=CD,∠BDC=120°,∴∠BCD=∠DBC=30°.∵△ABC是边长为4的等边三角形,∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°,∴∠DBA=∠DCA=90°.如图,延长AB至点F,使BF=CN,连接DF.在△BDF和△CDN中,∴△BDF≌△

CDN,∴∠BDF=∠CDN,DF=DN.∵∠MDN=60°,∴∠BDM+∠CDN=60°,∴∠BDM+∠BDF=60°.在△DMF和△DMN中,∴△DMF≌△DMN,∴

MN=MF,∴△AMN的周长是AM+MN+AN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=4+4=8.

16.解：(1)原式=×(-4)+3×3÷(-)=-10+9×(-2)=-28. (5分)

(2)原式=-4xy+2y-2x+4xy=2y-2x. (5分)

17.解：∵|x-3|+(y+)2=0,∴x-3=0,y+=0,∴x=3,y=-. (2分)

原式=(x2-y2+x2-2xy+y2)÷2x=(2x2-2xy)÷2x=x-y. (5分)

把x=3,y=-代入,则原式=3-(-)=. (7分)

18.解：(1)④ (3分)

(2)证明:由作法可得OC=O'C',OD=O'D',CD=C'D',

在△OCD和△O'C'D'中,∴△OCD≌△O'C'D'(S.S.S.),

∴∠A'O'B'=∠AOB. (7分)

19.解：(1)③ (2分)

(2)因为a2c2-b2c2=a4-b4,所以c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2),所以c2(a2-b2)-(a2-b2)(a2+b2)=0,所以(a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0,所以a2-b2=0或c2-(a2+b2)=0,              (5分)

所以a=b或c2=a2+b2, (6分)

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形. (8分)

20.解：(1)∵9=3×3,12=4×3,16÷3≠5,∴9,12,16不是“派生勾股数”. (2分)

∵10=5×2,24=12×2,26=13×2,∴10,24,26是“派生勾股数”. (4分)

(2)勾股数3,4,5,把勾股数同时乘以3可得9,12,15,

∵15-12=3,∴9,12,15是“新新勾股数”;

勾股数5,12,13,把勾股数同时乘以3可得15,36,39,

∵39-36=3,∴15,36,39是“新新勾股数”;

勾股数7,24,25,把勾股数同时乘以3可得21,72,75,

∵75-72=3,∴21,72,75是“新新勾股数”;

综上所述,斜边小于100的所有“新新勾股数”有9,12,15;15,36,39;21,72,75. (8分)

21.解：(1)100 (2分)

500×(1-25%-25%-30%)=100(株).

(2)500×25%×89.6%=112(株),∴丙种树苗的成活数为112株. (4分)

补全条形统计图略. (6分)

(3)应选丁种树苗进行种植. (7分)

理由:通过计算列出各种树苗的相应信息如下表.

由上表可知,若单从成活率的角度考虑,应该选成活率最高的丁种树苗进行种植.              (10分)

22.解：(1)∵S梯形ABCD=(a+b)(a+b)=a2+ab+b2,

S梯形ABCD=S△AED+S△BCE+S△DEC=ab+ab+c2.

∴a2+ab+b2=ab+ab+c2,即a2+b2=c2. (3分)

(2)设CA=x千米,则AH=(x-1.8)千米.

在Rt△ACH中,CA2=CH2+AH2,即x2=2.42+(x-1.8)2,

解得x=2.5,即CA=2.5千米.CA-CH=2.5-2.4=0.1(千米),

答:新路CH比原路CA短0.1千米. (8分)

(3)设AH=y千米,则BH=(6-y)千米,

在Rt△ACH中,CH2=CA2-AH2,在Rt△BCH中,CH2=CB2-BH2,

∴CA2-AH2=CB2-BH2,即42-y2=52-(6-y)2,解得y=2.25.

答:AH的长为2.25千米. (12分)

23.解：(1)AE=DB. (3分)

∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵E为AB的中点,∴AE=BE,CE是∠ACB的平分线,∴∠BCE=∠ACE=∠ACB=30°.∵ED=EC,∴∠D=∠BCE=

30°,∴∠BED=∠ABC-∠D=30°,∴∠D=∠BED,∴DB=BE,∴AE=DB.

(2)AE=DB (5分)

补充完整解答过程如下:

∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,

∴△AEF是等边三角形,∠DBE=∠EFC=120°,∴AE=AF=EF.

又∵AB=AC,∴BE=FC.

∵ED=EC,∴∠D=∠BCE.

又∵∠D+∠DEB=∠ABC=60°,∠ECF+∠BCE=∠ACB=60°,

∴∠DEB=∠ECF.

在△DBE和△EFC中,

∴△DBE≌△EFC,∴DB=EF,∴AE=DB. (10分)

(3)3 (13分)

如图,过点E作EF∥BC,交AC的延长线于点F.∵△ABC是等边三角形,

∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,∴∠EBD=∠ABC=60°.

∵EF∥BC,∴∠F=∠ACB=60°,∠AEF=∠ABC=60°,∠BCE=∠CEF,

∴∠EBD=∠F,且AE=AF=EF.

∵ED=EC,∴∠D=∠BCE,∴∠D=∠CEF,∴△EBD≌△CFE,∴BD=EF=AE=2,

∴CD=BD+BC=2+1=3.