人教版九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例测试题

2022-2023学年人教版九年级下册

相似三角形应用举例练习题

学校:___________姓名：___________班级：______________

一、单选题

1．如图，小明利用标杆BE测量建筑物DC的高度，已知标杆BE的长为1.2米，测得AB=米，BC＝米，则楼高CD是（     ）

A．6.3米 B．7.5米 C．8米 D．6

2．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（    ）

A． B． C． D．

3．如图，小明探究课本“综合与实践”版块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（ ）mm

A． B． C． D．

4．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离为1.6米，凉亭顶端离地面的距离为1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米．那么城楼的高度为（    ）

A．7.6米 B．5.9米 C．6米 D．4.3米

5．如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点将沿折叠，点恰好落在上点处，延长、交于点，有下列四个结论：①垂直平分；②平分；③；④．其中，将正确结论的序号全部选对的是（    ）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

二、填空题

6．为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝______米．

7．如图，为了测量旗杆的高度，某综合实践小组设计了以下方案：用2.5m长的竹竿做测量工具，移动竹竿，保持竹竿与旗杆平行，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距5m、与旗杆相距20m，则旗杆的高度为_____m．

8．如图，小卓利用标杆EF测量旗杆AB的高度，测得小卓的身高米，标杆米，米，米，则旗杆AB的高度是______米．

9．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB＝3米，AC＝10米，则旗杆CD的高度是_________米．

三、解答题

10．为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DEBC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．

11．如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．

12．数学是一门充满思维乐趣的学科，现有的数阵A，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义ab为数阵中第a行第b列的数．

例如，数阵A第3行第2列所对应的数是3，所以32=3．

（1） 对于数阵A，23的值为              ；若23=2x，则x的值为               

（2）若一个的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：

条件一：aa=a；条件二：；则称此数阵是“有趣的”．

①请判断数阵A是否是“有趣的”．你的结论：_______（填“是”或“否”）；

②已知一个“有趣的”数阵满足12=2，试计算21的值；

③是否存在“有趣的”数阵，对任意的a，b满足交换律ab=ba？若存在，请写出一个满足条件的数阵；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】先判断出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例解答．

【详解】∵AB=，BC＝

∴AC=AB+BC=10

∵BE⊥AC，CD⊥AC，

∴BE∥CD，

∴AB：AC=BE：CD，

∴：10=1.2：CD，

∴CD=7.5米．

故选：B．

【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出建筑物的高度，体现了方程的思想．

2．B

【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，根据题意，列出方程，即可求解．

【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∵DE∥AB，

∴△CDE∽△CAB，

∴△CDE为等腰直角三角形，

∴CD=DE，

圆柱体内液体的体积为：

圆锥的体积为，

设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，

∴，

∴，

解得：x=3，

即此时“沙漏”中液体的高度3cm．

故选：B．

【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题．

3．C

【分析】根据题意，得、，结合相似三角形的性质，通过相似比计算，即可得到答案．

【详解】根据题意，得，且

∴

∴

∴

故选：C．

【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．

4．B

【分析】根据题意构造直角三角形，继而利用相似三角形的判定与性质解答．

【详解】解：过点A作于点M，交CD于点N，

由题意得，AN=2，CN=1.9-1.6=0.3，MN=38，

（米）

故选：B．

【点睛】本题考查相似三角形的应用，是重要考点，构造直角三角形是解题关键．

5．D

【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF＝FM＝DF；易求得∠BFE＝∠BFN，则可得BF⊥EN；证明∠EFM＝∠EBF即可证明；易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可证明．

【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF，

由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，

即FM⊥BE，CF⊥BC，

∵BF平分∠EBC，

∴CF＝MF，

∴DF＝CF，在△DEF与△CFN中，

∴△DFE≌△CFN，

∴EF＝FN，

∵∠BFM＝90°−∠EBF，∠BFC＝90°−∠CBF，

∴∠BFM＝∠BFC，

∴BF平分∠MFC；故②正确；

∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，

∴∠BFE＝∠BFN，

∵∠BFE＋∠BFN＝180°，

∴∠BFE＝90°，

即BF⊥EN，

∴BF垂直平分EN，故①正确；

∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°，

∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°，

∴∠EFM＝∠EBF，

∵∠DFE＝∠EFM，

∴∠DFE＝∠FBE，

∴；故③正确；

∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，

∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，

∴BE＝3EM，

∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF；

故④正确．

综上所述：①②③④都正确，

故答案选：D．

【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判断．此题难度适中，证得△DFE≌△CFN是解题的关键．

6．30

【分析】根据题意得到△OCD∽△OAB，由该相似三角形的对应边成比例求得答案．

【详解】解：∵CD∥AB，

∴△OCD∽△OAB．

∴，

∵CD=10米，OC=15米，OA=45米，

∴，

∴AB=30．

故答案为：30．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是判定相似三角形△OCD∽△OAB．

7．12.5####

【分析】根据题意，移动竹竿、旗杆、竹竿和影子经过旗杆和竹竿顶端的光线构成两个相似的直角三角形，根据相似三角形的判定与性质解答．

【详解】解：由图可知，

设旗杆的高为x米，

故答案为：12.5．

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

8．9

【分析】过点C作CH⊥AB于点H，CH交EF于点G，如图，易得GF＝BH＝CD＝1.8m，CG＝DF＝1m，GH＝BF＝11m，证明△CGE∽△CHA，再利用相似比求出AH，然后计算AH+BH即可．

【详解】解：过点C作CH⊥AB于点H，CH交EF于点G，如图，

由题意易得

GF＝BH＝CD＝1.8m，CG＝DF＝1m，GH＝BF＝11m，

∴EG＝EF﹣GF＝2.4m﹣1.8m＝0.6m，

∵EGAH，

∴∠CGE＝∠CHA，∠CEG＝∠CAH，

∴△CGE∽△CHA，

∴，

∴，

∴AH＝7.2，

∴AB＝AH+BH＝7.2+1.8＝9（m），

即旗杆AB的高度是9m．

故答案为：9．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．

9．6

【分析】由题意得，则△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质得，即可得．

【详解】解：如图：

∵BE⊥AC，CD⊥AC，

∴，

∴△ABE∽△ACD，

∴，

∴，

解得：CD＝6．

故答案为：6．

【点睛】本题考查了相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．

10．桥AF的长度为80米．

【分析】过E作EG⊥BC于G，依据△ABC∽△ADE，即可得出，依据△ACF∽△ECG，即可得到，进而得出AF的长．

【详解】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，

∵DEBC，

∴△ABC∽△ADE，

∴＝，

∴，

∵AF⊥BC，EG⊥BC，

∴AFEG，

∴△ACF∽△ECG，

∴，即，

解得AF=80，

∴桥AF的长度为80米．

【点睛】本题主要考查了利用相似测量河的宽度（测量距离）．测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．方法是通过测量易于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．

11．尺

【分析】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高，进而解答即可．

【详解】解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，

根据勾股定理可得：

x2+42＝（x+1）2，即x2+16＝x2+2x+1，

解得：x＝7.5，

∴门高7.5尺，竹竿高＝7.5+1＝8.5（尺）．

故答案为尺．

【点睛】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解题关键．

12．（1）2； 1，2，3；（2）①是；②1；③不存在，理由见解析

【分析】（1）根据ab为数阵中第a行第b列的数列式计算即可求出23的值；分三种情况讨论可求出满足23=2x时x的值；

（2）①根据条件一：aa=a和条件二：验证即可；②由，可得，结合可得，再有aa=a可得，从而可求出21的值；③方法一：若存在满足交换律的“有趣的”数阵，依题意，对任意的有：，这说明数阵每一列的数均相同.由，，可得出矛盾. 方法二：由条件二可知，只能取1，2或3，由此可以考虑取值的不同情形，举例验证即可．

【详解】解：（1）第2行第3列的数为2，

∴23的值为2；

第2行第1列，第2行第2列，第2行第3列的数都是2，

∴23=2x，则x的值,1,2,3；

故答案为：2； 1，2，3；

（2）①条件一：11=1，22=2，33=3，满足；

条件二：经验证，满足；

∴数阵A是“有趣的”．

故答案为：是；

②∵，

∴，

∵，

∴，

∵aa=a，

∴，

∴．

③不存在，

理由如下：方法一：    

若存在满足交换律的“有趣的”数阵，依题意，对任意的有：

，

这说明数阵每一列的数均相同．

∵，，，

∴此数阵第一列数均为1，第二列数均为2，第三列数均为3，

∴，，与交换律相矛盾．

因此，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．

方法二：

由条件二可知，只能取1，2或3，由此可以考虑取值的不同情形．

例如考虑：

情形一：．

若满足交换律，则，

再次计算可知：

，矛盾；

情形二：．

由(2)可知， ，

，不满足交换律，矛盾；

情形三：．

若满足交换律，即，

再次计算可知：

，

与矛盾．

综上，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．

【点睛】本题考查了新定义运算，理解“有趣的”的数阵的含义是解答本题的关键.也考查了分类讨论的思想和反证法．