专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用(能力提升)-备战中考数学《重难点解读•专项训练》(全国通用)
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专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用(能力提升)1.如图:在四边形ABCD中,BC>DA,AD=DC,BD平分∠ABC,DH⊥BC于H,求证:(1)∠DAB+∠C=180° (2)BH=(AB+BC) 2.如图,AD∥BC,∠D=90°,∠CPB=30°,∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P,且D,P,C在同一条直线上.(1)求∠PAD的度数;(2)求证:P是线段CD的中点.3.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E是CD的中点,AE平分∠BAD,AE⊥BE.(1)求证:BE平分∠ABC;(2)求证:AD+BC=AB;(3)若S△ABE=4,求梯形ABCD的面积. 4.【问题提出】在△ABC中,∠ACB=2∠B,AD为∠BAC的角平分线,探究线段AB,AC,CD的数量关系.【问题解决】如图1,当∠ACB=90°,过点D作DE⊥AB,垂足为E,易得AB=AC+CD;由此,如图2,当∠ACB≠90°时,猜想线段AB,AC,CD有怎样的数量关系?给出证明.【方法迁移】如图3,当∠ACB≠90°,AD为△ABC的外角平分线时,探究线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系?直接写出结论,不证明. 5.已知:如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D在BC上,点E与点A在BC的同侧,且∠CED=90°,∠B=2∠EDC.(1)求证:∠FDC=∠ECF;(2)若CE=1,求DF的长. 6.如图,已知在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD交BD的延长线于点E.求证:CE=BD.7.如图,在△ABC中,∠CAB=90°,D是斜边BC上的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF.(1)若AB=AC,BE+CF=4,求四边形AEDF的面积.(2)求证:BE2+CF2=EF2.【解答】(1)解:连接AD,如图1, 8.(2020春•南岸区期末)在∠MAN内有一点D,过点D分别作DB⊥AM,DC⊥AN,垂足分别为B,C.且BD=CD,点E,F分别在边AM和AN上.(1)如图1,若∠BED=∠CFD,请说明DE=DF;(2)如图2,若∠BDC=120°,∠EDF=60°,猜想EF,BE,CF具有的数量关系,并说明你的结论成立的理由. 9.(2020秋•渑池县期末)(1)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD平分∠BAC,交BC于点D.如果作辅助线DE⊥AB于点E,则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为 ;(2)如图,△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,交BC于点D.(1)中的结论是否仍然成立?若不成立,试说明理由;若成立,请证明. 10.(百色期末)如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.(1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长. 11.(广州期中)如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点D.(1)求证:点D到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等;(2)连接AD,若∠BDC=40°,求∠DAC的度数. 12.(2021秋•雨花区期末)如图,△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,AD、CE相交于点P.(1)求∠APC的度数;(2)若AE=3,CD=4,求线段AC的长. 13.(2020秋•南开区校级期中)如图1,在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴、y轴于A(a,0)、B(0,b)两点,且a,b满足(a﹣b)2+|a﹣4t|=0,且t>0,t是常数.直线BD平分∠OBA,交x轴于D点.(1)若AB的中点为M,连接OM交BD于N,求证:ON=OD;(2)如图2,过点A作AE⊥BD,垂足为E,猜想AE与BD间的数量关系,并证明你的猜想;(3)如图3,在x轴上有一个动点P(在A点的右侧),连接PB,并作等腰Rt△BPF,其中∠BPF=90°,连接FA并延长交y轴于G点,当P点在运动时,OG的长是否发生改变?若改变,请求出它的变化范围;若不变,求出它的长度.
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