专题09 二次函数与胡不归综合应用（知识解读）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

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专题09  二次函数与胡不归综合应用（知识解读）【专题说明】   “PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题；前面几何模型中我们已经学习了“胡不归”解题方法。本章节继续学习二次函数与胡不归综合应用。 【方法技巧】胡不归问题识别条件：动点P的运动轨迹是直线（或线段）方法：1、将所求线段和改为的形式（）2、作，使 3、过点B作交AC于点P4、的最小值转化为垂线段的长注意：当k＞1时，【典例分析】【典例1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为　   　；【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB+PD＝PH+PD＝DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴PB+PD的最小值为．故答案为．【典例2】如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．（1）求m的值；（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标．【解答】解：（1）y＝x2+（m﹣2）x一2m＝（x﹣2）（x+m），令y＝0，则x＝2或x＝﹣m，∵m＞0，∴﹣m＜0，∴A（﹣m，0），B（2，0），∴AB＝2+m，令x＝0，则y＝﹣2m，∴C（0，﹣2m），∵△ABC的面积为8，∴×（2+m）×（2m）＝8，解得m＝2或m＝﹣4（舍）；（2）当m＝2时，y＝x2﹣4，∵的横坐标为t，∴T（t，t2﹣4），过点C作EF∥x轴，过点T作TF⊥EF交于F点，过点C作CD⊥CT交直线AT于点D，过点D作DE⊥EF交于E点，∵∠DCT＝90°，∴∠DCE+∠TCF＝90°，∵∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠TCF＝∠CDE，∴△CED∽△TFC，∴＝＝，∵∠ATC＝60°，∴＝，∵C（0，﹣4），∴CF＝t，TF＝t2，∴DE＝t，CE＝t2，∴D（﹣t2，t﹣4），设直线AT的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝（t﹣2）x+2t﹣4，∴t﹣4＝（t﹣2）（﹣t2）+2t﹣4，∴（t﹣1）2＝；（3）过点B作BG⊥AC交于G点，交y轴于点P，∵A、B关于y轴对称，∴AP＝BP，∵∠GBA+∠BAC＝∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠ABG＝∠ACO，∵AO＝2，CO＝4，∴AC＝2，∴sin∠ACO＝，∴＝，∴CP＝GP，∵CP+AP＝（CP+AP）＝（GP+AP）≥BG，∵cos∠ACO＝＝＝，∴BG＝，∴CP+AP的最小值为8，∵tan∠ACO＝＝＝，∴OP＝1，∴P（0，﹣1）．       【变式1】如图，已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．若点Q为线段OC上的动点，求AQ+CQ的最小值．所有【解答】解：在第二象限内作∠OCD＝30°，CD与y轴交于点D，过点Q作QP⊥CD于点P，连接AP，则∠ODC＝60°，令x＝0，得y＝x2﹣4x+3＝3，∴C（0，3），令y＝0，得y＝x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，∴A（1，0），B（3，0），∴OA＝1，OC＝3，∴OD＝OC•tan30°＝，∴AD＝+1，∵∠OCD＝30°，∴PQ＝，∴AQ+CQ＝AQ+PQ≥AP，当A、Q、P三点依次在同一直线上，且AP⊥CD时，AQ+CQ＝AQ+PQ＝AP的值最小，此时AP＝AD•sin60°＝，∴AQ+CQ的最小值为．【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为（0，6），点Q是y轴上任意一点，则PQ+QB的最小值为 　   　．【解答】解：过点P作直线PD与y轴的夹角∠OPD＝30°，作B点关于y轴的对称点B'，过B'点作B'E⊥PD交于点E、交y轴于点Q，∵B'E⊥PD，∠OPE＝30°，∴QE＝PQ，∵BQ＝B'Q，∴PQ+QB＝QE+B'Q＝B'E，此时PQ+QB取最小值，∵∠OPD＝30°，∠POD＝90°，∴PD＝2OD，∠ODP＝60°，∵P的坐标为（0，6），∴PO＝6，∴OD2+（6）2＝（2OD）2，∴OD＝6，∵直线y＝﹣x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B，∴A（0，4），B（4，0），∴OB＝4，∴OB'＝4，∴B'D＝10，∵B'E⊥PD，∠ODP＝60°，∴∠EB'D＝30°，∴DE＝B'D＝5，∴B'E＝＝＝5，∴PQ+QB取最小值为5，故答案为：5．【变式3】二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．（1）a＝　　，c＝　  　；（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；【解答】解：（1）把C（3，0），B（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c得到，，解得．故答案为1，﹣3． （2）如图1中，作PH⊥BC于H．∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠PCH＝45°，在Rt△PCH中，PH＝PC．∵DP+PC＝（PD+PC）＝（PD+PH），根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH′，在Rt△DH′B中，∵BD＝4，∠DBH′＝45°，∴DH′＝BD＝2，∴DP+PC的最小值为•2＝4．