专题01 辅助圆定点定长（知识解读）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

专题01  辅助圆定点定长（知识解读）

【专题说明】

   最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才

会有最值。初中阶段动点的运动轨迹主要是“一条直线”或“圆”。在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题。

【方法技巧】

模型一：定点定长作圆

点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，

则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。

模型一：点圆最值

已知平面内一定点D和O，点E是O上一动点，设点O与点D之间距离为d，O半径为r.

【典例分析】

【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，则∠BDC＝　    　．

专题01  辅助圆定点定长（知识解读）

【专题说明】

   最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才

会有最值。初中阶段动点的运动轨迹主要是“一条直线”或“圆”。在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题。

【方法技巧】

模型一：定点定长作圆

点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，

则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。

模型一：点圆最值

已知平面内一定点D和O，点E是O上一动点，设点O与点D之间距离为d，O半径为r.

【典例分析】

【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，则∠BDC＝　    　．

【解答】解：以A为圆心，AB为半径画圆，

∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，

∵∠CAD＝2∠BAC，

∴∠CBD＝2∠BDC，

∵∠CBD+∠BDC+∠BCD＝180°，

∴3∠CBD+105°＝180°，

∴∠CBD＝25°．

故答案为：25°．

【变式1】如图，在四边形ABCD中，90°＜∠BAD＜180°，AB＝AC＝AD，请画出满足条件时点C的轨迹．

【解答】解：∵AB＝AC＝AD，

∴点C在以A为圆心，AB为半径的圆上运动，

∵四边形ABCD中，90°＜∠BAD＜180°，

∴点C的运动轨迹为（不与B、D重合）．

【典例2】如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是边AC上的任意一点（点E不与点C重合），沿DE翻折△DCE使点C落在点F处，请画出点F的轨迹．

版权所有

【解答】解：∵DF＝DC，

∴则点F在以点D为圆心DC为半径的圆上运动，

当点E与A重合时，AD与⊙D交于Q，

则即为点F的运动轨迹．

∠FDE＝∠CDE＝∠CDA，则轨迹为优弧MQC，满足∠MDA＝∠CDA，

此时点F的轨迹为．

【变式2】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，将△AEB绕点B顺时针旋转，使AB与边BC重合，得到△MNB，请画出在旋转过程中点M的运动轨迹．

【解答】解：如图，弧AM即为所求．

【典例3】如图，在矩形ABCD中，，，E是AB边的中点，F是线面BC边上的动点，将沿EF所在的直线折叠得到，连接，求的最小值。

解：如图，点E为圆心，为半径作圆，

    当点E，，D三点共线时的值最小。

   ，，

   ，

【变式3-1】（2019•锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是 　  　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．版权所有

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形

∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2，

∵M是AD边的中点，

∴AM＝MD＝1

∵将△AMN沿MN所在直线折叠，

∴AM＝A'M＝1

∴点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上，

∴如图，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值，

∵MC＝＝

∴A′C的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1

故答案为：﹣1

【变式3-2】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动点，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF、EF，则FC的最小值是 　    　，点F到线段BC的最短距离是 　 　．

【解答】解：连接CE，作EG⊥BC于G，

∵AE＝EF＝2，

∴点F在以E为圆心，AE为半径的圆上运动，

在Rt△CDE中，由勾股定理得，

CE＝＝＝2，

∴FC的最小值为CE﹣2＝2﹣2，

∵∠DAB＝∠ABC＝∠BGE＝90°，

∴四边形ABGE是矩形，

∴EG＝AB＝4，

∴点F到线段BC的最短距离是2，

故答案为：2﹣2，2．

【典例4】（2021秋•邗江区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为（　　）

A．1 B．2 C． D．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，

∴点C在以AB为直径的圆上，

AB为直径的圆的圆心为E点，如图，

连接DE交⊙E于C′，

∵A（1，0），B（3，0），

∴AB＝2，AE＝1，

∴DC≤DE﹣CE（当且仅当D、C、E共线时取等号）

即DC≤DE﹣1，

∵DE⊥直线y＝x时，DE最短，DE的最小值为OE＝，

∴线段CD长的最小值为﹣1．

故选：C．

【变式4-1】（2021秋•武江区校级期末）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 　 　．

【解答】解：连接OP，

∵PA⊥PB，

∴∠APB＝90°，

∵AO＝BO，

∴AB＝2PO，

若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，

连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，

则OQ＝5，MQ＝12，

∴OM＝13，

又∵MP′＝4，

∴OP′＝9，

∴AB＝2OP′＝18，

故答案是：18．

【变式4-2】（2021秋•萨尔图区校级期末）如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 　    ．

【解答】解：∵C为坐标平面内一点，BC＝2，

∴点C的运动轨迹是在半径为2的⊙B上，

如图，取OD＝OA＝4，连接OD，

∵点M为线段AC的中点，

∴OM是△ACD的中位线，

∴OM＝，

∴OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，

此时在Rt△OBD中，BD＝＝4，

∴CD＝2+4，

∴OM的最大值是1+2．

故答案为：1+2．