专题03 阿氏圆（知识解读）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

   专题03  阿氏圆（知识解读）

【专题说明】

   “PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。

(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题；

本章节主要学习“阿氏圆”解题方法。

【方法技巧】

阿氏圆问题

问题：求解“”类加权线段和最小值

方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值

②造：根据线段比，构造母子型相似

③算：根据母子型结论，计算定点位置

④转：“”转化为“”问题

关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数

②系数小于1：内部构造母子型

③系数大于1：外部构造母子型

【典例分析】

【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．

阿氏圆基本解法：构造三角形相似．

【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；

第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．

下面是该题的解答过程（部分）：

解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，

又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．

任务：

（1）将以上解答过程补充完整．

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．

【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半径为3，点P是⊙B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为 　  　．

【典例2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分别为OA，OB的中点，点P是上一点，则2PC+PD的最小值为 　  　．

【变式2-1】如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为 　   　．

【变式2-2】如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD，连接CD，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，且DF＝2CF，连接BF．

（1）如图①，当θ＝60°时，求EF的长；

（2）如图②，连接AF，求BF+AF的最小值．