专题04 定弦定角（知识解读）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

   专题04 定弦定角（知识解读）

【专题说明】

 定弦定角题型的识别：有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题

【知识点】

若固定线段AB所对动角∠P为定值，则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆。

备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可。

原理：同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

请在上方后面的图形中找到圆心。

【方法技巧】

解题技巧：构造隐圆

定弦定角解决问题的步骤：

（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧。

（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为、）

（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置

（4）计算隐形圆的半径

（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来

（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径

【典例分析】

【典例1】如图，已知矩形ABCD．

（1）如图①，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝45°的点P的轨迹；

（2）如图②，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝90°的点P的轨迹；

（3）如图③，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝120°的点P的轨迹．

【解答】解：（1）如图，作等腰直角三角形AOB，使∠AOB＝90°，以O为圆心，OA为半径画圆，

则即为所求；

（2）如图，以AB为直径作圆，则即为所求（不与A、B重合）；

（3）如图，作等腰△AOB，使∠AOB＝120°，以O为圆心，OA为半径画圆，则即为所求（不与A、B重合）；．

【典例2】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（　　）

A．1 B．2 C． D．4﹣3

【答案】A

【解答】解：连接CD，则∠PDC＝∠PAC＝∠ACB＝45°，∠BDC＝135°

∵BC＝4，

∴点D在以BC为弦的一段圆弧上运动，圆心角为90°，

设圆心为O，连接BO、CO、DO，

则△BCO为等腰直角三角形，

∴CO＝4，∠BCO＝45°，

∵∠ACB＝45°，

∴∠ACO＝90°，

∴AO＝＝＝5，

∴AD≥AO﹣DO＝5﹣4＝1（当且仅当D是AF与圆弧的交点时取等号），

∴线段AD的长的最小值为1，

故选：A．

【变式2】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为　    　．

【答案】2﹣2

【解答】解：连接AE，如图1，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，

∴AB＝AC＝4，

∵AD为直径，

∴∠AED＝90°，

∴∠AEB＝90°，

∴点E在以AB为直径的⊙O上，

∵⊙O的半径为2，

∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，

在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，

∴OC＝＝2，

∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，

即线段CE长度的最小值为2﹣2．

故答案为2﹣2．

【典例3】如图，⊙O半径为6，弦AB＝6，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（　　）

A．6 B．9 C．6 D．9

【答案】B

【解答】解：连接OA、OB，作△ABC的外接圆⊙D，如图1，

∵OA＝OB＝6，AB＝6，

∴△OAB为等边三角形，

∴∠AOB＝60°，

∴∠APB＝∠AOB＝30°，

∵AC⊥AP，

∴∠C＝60°，

∵AB＝6，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，

∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，

∴∠ADB＝120°，

如图2，

当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝9，

∴△ABC的最大面积为9．

故选：B．

【变式3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解答】解：连接OA、OB，如图1，

∵OA＝OB＝1，AB＝1，

∴△OAB为等边三角形，

∴∠AOB＝60°，

∴∠APB＝∠AOB＝30°，

∵AC⊥AP，

∴∠C＝60°，

∵AB＝1，要使△ABC的面积最大，则点C到AB的距离最大，

∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，

∴∠ADB＝120°，

如图2，作△ABC的外接圆D，

当点C在优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，

∴△ABC的最大面积为．

故选：D

【典例4】如图，A（1，0）、B（3，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 　   ．

【答案】﹣1　

【解答】解：连接MD，如图，

∵D为EF的中点，

∴MD⊥EF，

∴∠ODM＝90°，

∴点D在以A点为圆心，1为半径的圆上，

当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD＝AC﹣1＝﹣1，

即CD的最小值为﹣1．

故答案为：﹣1．

【变式4】（2022•肇源县二模）如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为　    　．

【答案】2﹣2

【解答】解：连接MD，如图，

∵D为EF的中点，

∴MD⊥EF，

∴∠ODM＝90°，

∴点D在以A点为圆心，2为半径的圆，

当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD＝AC﹣2＝2﹣2，

即CD的最小值为2﹣2．

故答案为：2﹣2．

【典例5】（2020秋•无锡期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，C在⊙O上，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为 　     ．

【答案】﹣　

【解答】解：如图，取OA是中点T，连接CT，DT，OP，OC，过点C作CH⊥AB于H．

∵OB＝OC，∠OBC＝60°，

∴△OBC是等边三角形，

∵CH⊥OB，

∴OH＝HB＝，CH＝OH＝，

∵AT＝TO＝，AD＝DP，

∴DT＝OP＝，

在Rt△CTH中，∵TH＝OT+OH＝1，CH＝，

∴CT＝＝＝，

∴CD≥CT﹣DT，

∴CD≥﹣，

∴CD的最小值为﹣．

故答案为：﹣．