专题05 定角定高（知识解读）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

   专题05 定角定高（知识解读）

【专题说明】

定角定高问题是初中数学学习的重点和难点问题，也是升入名校考查的热点。

此类问题综合性强，常常会与三角形，四边形进行结合起来，隐蔽性强。常应用于求一类三角形底边长的最小值，继而求三角形面积的最小值，问题的关键就在作这个动三角形的外接圆，根据“半径+弦心距≥定高”求出半径的最小值，那底边存在最小值，面积存在最小值。由于底边的长在变化，此外接圆“隐形圆”的大小也会发生变化，但是在运动过程中于找到“隐形圆”半径最小值，找到此处为突破口，建立数学模型，综合性问题就迎刃而解.

【方法技巧】

1.定角定高模型呈现：有一类问题满足这样的条件特征：如下图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角。则AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。

【典例分析】

【典例1】辅助圆之定角定高求解探究

（1）如图①，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；

（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高，若CD＝4，试判断AB是否存在最小值，若存在，请求出AB最小值；若不存在，请说明理由；

（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．

【变式1-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 　   　．

【变式1-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边上的高AD＝6，则△ABC周长的最小值为 　   　．

【变式1-3】如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是CD，BC边上的点，且∠EAF＝45°，则△AEF面积的最小值为 　   　．

【变式1-4】（2019•新城区校级一模）问题提出：

如图1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，点O为△ABC的外心，则△ABC的外接圆半径是 　  　．

问题探究：

如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且∠EAF＝45°，请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由．

问题解决：

如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠EAF＝∠C＝60°，试问△AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．