新教材2023版高中数学章末质量检测二第二章平面向量及其应用北师大版必修第二册

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章末质量检测(二)　第二章　平面向量及其应用一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(MB,\s\up6(→)))＋(eq \o(BO,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→)))＋eq \o(OM,\s\up6(→))化简后等于(　　)A.eq \o(AM,\s\up6(→)) B．0C．0 D.eq \o(AC,\s\up6(→))2．已知向量eq \o(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq \o(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，eq \o(OC,\s\up6(→))＝(2m，m＋1)，若eq \o(AB,\s\up6(→))∥eq \o(OC,\s\up6(→))，则实数m的值为(　　)A.eq \f(1,5) B．－eq \f(3,5)C．－3 D．－eq \f(1,7)3．△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b＋c)(b－c)＝a(b－a)，则内角C等于(　　)A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)4．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝－1，则△ABC的面积为(　　)A.eq \f(1,2) B．1C.eq \r(2) D.eq \f(\r(2),2)5．已知向量a＝(x,2)，b＝(2，y)，c＝(2，－4)，且a∥c，b⊥c，则 |a－b|＝(　　)A．3 B.eq \r(10)C.eq \r(11) D．2eq \r(3)6．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝(　　)A．3eq \r(6)米 B．20eq \r(6)米C．5eq \r(6)米 D．15eq \r(6)米7．已知点P是△ABC的内心(三个内角平分线交点)，外心(三条边的中垂线交点)，重心(三条中线交点)，垂心(三个高的交点)之一，且满足2eq \o(AP,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))2－eq \o(AB,\s\up6(→))2，则点P一定是△ABC的(　　)A．内心 B．外心C．重心 D．垂心8．如图，在等腰直角△ABC中，D，E分别为斜边BC的三等分点(D靠近点B)，过E作AD的垂线，垂足为F，则eq \o(AF,\s\up6(→))＝(　　)A.eq \f(3,5)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,5)eq \o(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(2,5)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,5)eq \o(AC,\s\up6(→))C.eq \f(4,15)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(8,15)eq \o(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(8,15)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,15)eq \o(AC,\s\up6(→))二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是(　　)A．0·a＝0B．(a·b)·c＝a·(b·c)C．a·b＝0⇒a⊥bD．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|210．点P是△ABC所在平面内一点，满足|eq \o(PB,\s\up6(→))－eq \o(PC,\s\up6(→))|－|eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→))－2eq \o(PA,\s\up6(→))|＝0，则△ABC的形状不可能是(　　)A．钝角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形11．已知向量eq \o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq \o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq \o(OC,\s\up6(→))＝(k＋1，k－2)，若△ABC中A为钝角，则实数k的值可以是(　　)A．1 B．－eq \f(2,3)C．－1 D．－212．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的是(　　)A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin BB．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．设向量a＝(－3,0)，b＝(－2,6)，则b在a上的投影为________．14．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝eq \r(2)，a⊥(a＋b)，则a与b夹角的大小是________．15．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若eq \o(CA,\s\up6(→))＝λeq \o(CE,\s\up6(→))＋μeq \o(DB,\s\up6(→))，则λ＝________，μ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝eq \f(π,3)，a＝4eq \r(7)，角A的平分线交边BC于点D，其中AD＝3eq \r(3)，则S△ABC＝________.四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知两个非零向量a与b不共线，eq \o(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq \o(OB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝ka＋5b.(1)若2eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))＝0，求k的值；(2)若A，B，C三点共线，求k的值．18．(12分)已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，t∈R.(1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值；(2)若a－tb与c共线，求实数t.19．(12分)如图所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝6，AC＝2eq \r(19)，DC＝4，(1)求∠ADC的大小；(2)求AB的长．20．(12分)在①b2＋eq \r(2)ac＝a2＋c2，②acos B＝bsin A，③sin B＋cos B＝eq \r(2)，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c________，A＝eq \f(π,3)，b＝eq \r(2)，求△ABC的面积．(已知sineq \f(5π,12)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4))21．(12分)已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P，连接AP.用向量法证明：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.22．(12分)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量a＝(2a，eq \r(3))，b＝(c，sin C)，且a∥b.(1)求角A；(2)若c＝2，且△ABC的面积为eq \f(3\r(3),2)，求AC边上的中线BM的大小．章末质量检测(二)　第二章　平面向量及其应用1．解析：(eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(MB,\s\up13(→)))＋(eq \o(BO,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→)))＋eq \o(OM,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BO,\s\up13(→))＋eq \o(OM,\s\up13(→))＋eq \o(MB,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))＝eq \o(AC,\s\up13(→)).答案：D2．解析：因为eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(OB,\s\up13(→))－eq \o(OA,\s\up13(→))＝(3,1)，又eq \o(AB,\s\up13(→))∥eq \o(OC,\s\up13(→))，所以3×(m＋1)＝2m，∴m＝－3.答案：C3．解析：由(b＋c)(b－c)＝a(b－a)得a2＋b2－c2＝ab，即eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，∴cos C＝eq \f(1,2)，又00，所以sin A>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝eq \f(π,2)－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选ABD.答案：ABD13．解析：∵a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉，∴向量b在a方向的投影为|b|cos 〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(－3×－2＋0×6,\r(9))＝2.答案：214．解析：∵a⊥(a＋b)∴a·(a＋b)＝0∴a2＋a·b＝0∴a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝－a2∴cos 〈a，b〉＝－eq \f(1,1×\r(2))＝－eq \f(\r(2),2)又〈a，b〉∈[0，π]∴故a与b的夹角为eq \f(3π,4).答案：eq \f(3π,4)15．解析：以D为原点，DC边所在直线为x轴，DA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系．不妨设AB＝1，则D(0,0)，C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1).eq \o(CA,\s\up13(→))＝(－2,2)，eq \o(CE,\s\up13(→))＝(－2,1)，eq \o(DB,\s\up13(→))＝(1,2)，∵eq \o(CA,\s\up13(→))＝λeq \o(CE,\s\up13(→))＋μeq \o(DB,\s\up13(→))，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5).))答案：eq \f(6,5)　eq \f(2,5)16．解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A可得：b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝112S△ABC＝S△ACD＋S△ABD＝eq \f(1,2)b·ADsin eq \f(A,2)＋eq \f(1,2)c·ADsin eq \f(A,2)＝eq \f(3\r(3),4)(b＋c)又S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(3),4)bc∴eq \f(\r(3),4)bc＝eq \f(3\r(3),4)(b＋c)∴b＋c＝eq \f(1,3)bc∴eq \f(1,9)(bc)2－3bc＝112，解得：bc＝48∴S△ABC＝eq \f(\r(3),4)×48＝12eq \r(3).答案：12eq \r(3)17．解析：(1)∵2eq \o(OA,\s\up13(→))－eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \o(OC,\s\up13(→))＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，∴k＝－3.(2)由题意知eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(OB,\s\up13(→))－eq \o(OA,\s\up13(→))＝－a＋4b，eq \o(AC,\s\up13(→))＝eq \o(OC,\s\up13(→))－eq \o(OA,\s\up13(→))＝(k－2)a＋6b.∵A，B，C三点共线，∴设eq \o(AC,\s\up13(→))＝λeq \o(AB,\s\up13(→))，即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k－2＝－λ，,6＝4λ，))解得k＝eq \f(1,2).18．解析：(1)∵a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，∴a＋tb＝(－3,2)＋t(2,1)＝(－3＋2t,2＋t)，∴|a＋tb|＝eq \r(－3＋2t2＋2＋t2)＝eq \r(5t2－8t＋13)＝eq \r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(4,5)))2＋\f(49,5)) ≥ eq \r(\f(49,5))＝eq \f(7\r(5),5)，当且仅当t＝eq \f(4,5)时取等号，即|a＋tb|的最小值为eq \f(7\r(5),5).(2)∵a－tb＝(－3,2)－t(2,1)＝(－3－2t,2－t)，又a－tb与c共线，c＝(3，－1)，∴(－3－2t)×(－1)－(2－t)×3＝0，解得t＝eq \f(3,5).19．解析：(1)在△ADC中，AD＝6，AC＝2eq \r(19)，DC＝4，由余弦定理得cos ∠ADC＝eq \f(AD2＋DC2－AC2,2×AD×DC)＝eq \f(36＋16－76,2×6×4)＝－eq \f(1,2).又∵0°