新教材2023版高中数学章末质量检测四第五章复数北师大版必修第二册

章末质量检测(四)　第五章　复数

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

2．复数的虚部为(　　)

A．0  B.

C．4  D．－4

3．复数z＝(a2－2a－3)＋(a＋1)i为纯虚数，实数a的值是(　　)

A．－1  B．3

C．1  D．－1或3

4．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－3,1)  B．(－1,3)

C．(1，＋∞)  D．(－∞，－3)

5．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

6．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　)

A．3－i  B．1＋3i

C．3＋i  D．1－3i

7．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，则“a＝1”是“点M在第四象限”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

8．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则|2x＋4y|的最小值为(　　)

A．2  B．4

C．4  D．16

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．下列命题正确的是(　　)

A．若z∈C，则z2≥0

B．z＝2i－1的虚部是2

C．若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i

D．实数集在复数集中的补集是虚数集

10．下列命题中为真命题的是(　　)

A．若复数z满足(1＋i)z＝1－i，则z为纯虚数

B．若复数z满足z2＋1＝0，则z＝i

C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2

D．若复数z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R)，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称

11．设z1，z2是复数，则下列命题中为真命题的是(　　)

A．若|z1－z2|＝0，则＝

B．若z1＝，则＝z2

C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2·

D．若|z1|＝|z2|，则z＝z

12．已知复数z满足i2k＋1·z＝2＋i，(k∈Z)则z在复平面内对应的点可能位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13．若复数z＝(m－1)＋(m＋2)i对应的点在直线y＝2x上，则实数m的值是________．

14．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则z的实部是________．

15．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________.

16．设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为________．

四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知复数z满足|3＋4i|＋z＝1＋3i.

(1)求；

(2)求的值．

18．(12分)已知复数z1＝－2＋i，z1z2＝－5＋5i(i为虚数单位)．

(1)求复数z2；

(2)若复数z3＝(3－z2)[(m2－2m－3)＋(m－1)i]在复平面内所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．

19.(12分)已知复数z的实部为正数，|z|＝，z2的虚部为2.

(1)求复数z；

(2)若－z2在复平面内对应的向量为，求向量的模．

20．(12分)已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A(－2,1)，B(a,3)，a∈R

(1)若|z1－z2|＝，求a的值；

(2)若复数z＝z1·对应的点在第二、四象限的角平分线上，求a的值．

21．(12分)已知复数z1＝a2－3＋(a＋5)i，z2＝a－1＋(a2＋2a－1)i，a∈R分别对应向量，，O为原点．

(1)若向量表示的点在第四象限，求a的取值范围；

(2)若向量对应的复数为纯虚数，求a的值．

22．(12分)已知复数z和w满足zw＋2iz－2iw＋1＝0，其中i为虚数单位．

(1)若z和w又满足－z＝2i，求z和w的值．

(2)求证：如果|z|＝，那么|w－4i|的值是一个常数，并求这个常数．

章末质量检测(四)　第五章　复数

1．解析：由题意得复数z的实部为－1，虚部为－2，因此在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．

答案：C

2．解析：∵＝＝＝－3－4i，

∴复数的虚部为－4，选D.

答案：D

3．解析：由题意知解得a＝3.故选B.

答案：B

4．解析：由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，且该点在第四象限，所以解得－3<m<1.

答案：A

5．解析：依题意3－4i＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i，

∴，∴，∴λ＋μ＝1.

答案：A

6．解析：＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，

∴z＝＝＝＝3－i.

答案：A

7．解析：z＝(a－2i)(1＋i)＝(a＋2)＋(a－2)i，所以点M在第四象限的充要条件是即－2<a<2，所以“a＝1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件．

答案：A

8．解析：由|z－4i|＝|z＋2|得x＋2y＝3.

则2x＋4y≥2＝2·＝4.

答案：C

9．解析：A中，令z＝i∈C，则i2＝－1<0，不正确；B中，z＝2i－1＝－1＋2i的虚部是2，正确；C中，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小，不正确；D中，由实数集与虚数集可组成复数集，正确．故选BD.

答案：BD

10．解析：A中，z＝＝－i是纯虚数，A为真；

B中，当z＝－i时，满足z2＋1＝0，B为假；

C中，当z1，z2互为共轭复数时，z1·z2∈R，C为假；

D正确．故选AD.

答案：AD

11．解析：对于A，若|z1－z2|＝0，则z1＝z2，即＝；对于B、C，容易判断是真命题；对于D，若z1＝，z2＝1＋i，则|z1|＝|z2|＝，但z＝2，z＝2i，所以是假命题．故选ABC.

答案：ABC

12．解析：∵i2k＋1·z＝2＋i

∴z＝

∵i1＝i5＝…＝i，i3＝i7＝…＝－i

当k为奇数时

∴z＝＝＝＝－1＋2i

在复平面内对应的点为(－1,2)，位于第二象限；

当k为偶数时

z＝＝＝＝1－2i

在复平面内对应的点为(1，－2)，位于第四象限．

故选BD.

答案：BD

13．解析：由已知得2(m－1)－(m＋2)＝0，∴m＝4.

答案：4

14．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，

则i(z＋1)＝i(a＋1＋bi)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，

所以a＝1，b＝3，复数z的实部是1.

答案：1

15．解析：∵＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i，

∴||＝2.

答案：2

16．解析：先利用复数的运算法则将复数化为x＋yi(x，y∈R)的形式，再由纯虚数的定义求a.

因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.

答案：3

17．解析：(1)因为|3＋4i|＝5，所以z＝1＋3i－5＝－4＋3i，所以＝－4－3i.

(2)＝＝－i.

18．解析：(1)∵z1z2＝－5＋5i，

∴z2＝＝＝3－i.

(2)z3＝(3－z2)[(m2－2m－3)＋(m－1)i]

＝i[(m2－2m－3)＋(m－1)i]

＝－(m－1)＋(m2－2m－3)i，

∵z3在复平面内所对应的点在第四象限，

∴解得－1<m<1，

故实数m的取值范围是(－1,1)．

19．解析：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由条件|z|＝，可得a2＋b2＝2　①

因为z2＝a2－b2＋2abi，所以2ab＝2　②

联立①②，解得a＝b＝1或a＝b＝－1.

又复数z的实部为正数，所以a>0，所以a＝b＝1，于是z＝1＋i.

(2)由(1)可知z＝1＋i，则－z2＝－(1＋i)2＝1－3i，则＝(1，－3)，所以向量的模为＝.

20．解析：由复数的几何意义可知z1＝－2＋i，z2＝a＋3i.

(1)因为|z1－z2|＝，所以|－2－a－2i|＝＝，即(a＋1)(a＋3)＝0，解得a＝－1或a＝－3.

(2)复数z＝z1·＝(－2＋i)(a－3i)＝(－2a＋3)＋(a＋6)i.

由题意可知，点(－2a＋3，a＋6)在直线y＝－x上，

所以a＋6＝－(－2a＋3)，解得a＝9.

21．解析：(1)∵复数z1＝a2－3＋(a＋5)i对应向量，向量表示的点在第四象限，

∴解得a<－5.

∴a的取值范围是(－∞，－5)．

(2)∵＝－，

∴向量对应的复数为z2－z1＝[a－1＋(a2＋2a－1)i]－[a2－3＋(a＋5)i]＝－(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i.

根据向量对应的复数为纯虚数，可得－(a2－a－2)＝0且(a2＋a－6)≠0，解得a＝－1.

22．解析：(1)设w＝x＋yi(x，y∈R)，则由－z＝2i，得z＝－2i＝x－(y＋2)i.

∴zw＋2iz－2iw＋1＝[x－(y＋2)i](x＋yi)＋2i[x－(y＋2)i]－2i(x＋yi)＋1＝x2＋y2＋6y＋5－2xi，∴x2＋y2＋6y＋5－2xi＝0.

根据复数相等的充要条件，得

∴或

∴z＝－i，w＝－i或z＝3i，w＝－5i.

(2)证明：∵zw＋2iz－2iw＋1＝0，∴z(w＋2i)＝2iw－1，

∴|z(w＋2i)|＝|2iw－1|，即|z|·|w＋2i|＝|2iw－1|.

又|z|＝，∴|w＋2i|＝|2iw－1|.

设w＝x＋yi(x，y∈R)．

代入上式并整理，得

·＝.

两边平方，得3x2＋3y2＋12y＋12＝4x2＋4y2＋4y＋1.

化简，得x2＋y2－8y＝11.

∴|w－4i|＝|x＋yi－4i|＝＝＝＝＝3是一个常数．

故|w－4i|的值是一个常数，且这个常数为3.