北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用3 从速度的倍数到向量的数乘3.2 向量的数乘与向量共线的关系课时作业

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1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，c＝－6e1＋2e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c的关系为( )
A．不共线 B．共线
C．相等 D．无法确定
2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3 B.eq \r(3)
C．－1或4 D．3或4
3．已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝a－kb，eq \(CB,\s\up6(→))＝2a＋b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A．10 B．－10
C．2 D．－2
4．设P是△ABC所在平面内的一点，eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝2eq \(BP,\s\up6(→))，则( )
A．P，A，C三点共线 B．P，A，B三点共线
C．P，B，C三点共线 D．以上均不正确
5．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，O，A，B三点不共线，且eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，则x＋y＝________.
6．设e1，e2是两个不共线向量，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1－8e2，eq \(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若eq \(BF,\s\up6(→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
[提能力]
7．[多选题]已知两个非零向量a，b，下列条件中，一定能使a，b共线的条件是( )
A．2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e
B．存在相异实数λ，μ，使λa＋μb＝0
C．xa＋yb＝0(实数x，y满足x＋y＝0)
D．在梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b
8．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝neq \(AN,\s\up6(→))，则m＋n的值为________．
9．如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段OB的一个靠近点B的三等分点，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AO,\s\up6(→))＝b.
(1)用向量a与b表示向量eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))；
(2)若eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \(OA,\s\up6(→))，求证：C，D，E三点共线．
[战疑难]
10．设P，Q为△ABC内的两点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,5)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，则eq \f(S△ABP,S△ABQ)＝( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
课时作业18 向量的数乘与向量共线的关系
1．解析：∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝－2(a＋b)，∴a＋b与c共线．故选B.
答案：B
2．解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝eq \f(－3,2－m)，解得m＝－1或m＝3.
答案：A
3．解析：∵A，B，D三点共线，∴eq \(AB,\s\up13(→))＝λeq \(BD,\s\up13(→))＝λ(eq \(CD,\s\up13(→))－eq \(CB,\s\up13(→)))，∴a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，∴(1－λ)a＋(2λ－k)b＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－λ＝0，,2λ－k＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,k＝2.))故选C.
答案：C
4．解析：在△ABC中，取AC的中点D，则eq \(BC,\s\up13(→))＋eq \(BA,\s\up13(→))＝2eq \(BD,\s\up13(→))，∴2eq \(BD,\s\up13(→))＝2eq \(BP,\s\up13(→))，∴D和P重合，∴P，A，C三点共线．故选A.
答案：A
5．解析：∵A，B，C三点共线，∴存在λ∈R，使eq \(AC,\s\up13(→))＝λeq \(AB,\s\up13(→))，∴eq \(OC,\s\up13(→))－eq \(OA,\s\up13(→))＝λ(eq \(OB,\s\up13(→))－eq \(OA,\s\up13(→)))，∴eq \(OC,\s\up13(→))＝(1－λ)eq \(OA,\s\up13(→))＋λeq \(OB,\s\up13(→))，∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.
答案：1
6．解析：eq \(BD,\s\up13(→))＝eq \(CD,\s\up13(→))－eq \(CB,\s\up13(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，eq \(BF,\s\up13(→))＝3e1－ke2，
∵B，D，F三点共线，∴eq \(BF,\s\up13(→))＝λeq \(BD,\s\up13(→))，即3e1－ke2＝λe1－4λe2.
由题意知e1，e2不共线，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝3，,－k＝－4λ，))解得k＝12.
7．解析：A中 ,2a－3b＝4×(－eq \f(1,3))(a＋2b)
即10a＝b，A满足条件；
B中，满足条件；
C中，当x＝y＝0时，a与b不一定共线．
D中，若AB∥CD，则eq \(AB,\s\up13(→))与eq \(CD,\s\up13(→))共线，若AD∥BC，则eq \(AB,\s\up13(→))与eq \(CD,\s\up13(→))不共线，故不一定能使a，b共线．
故选A、B.
答案：AB
8．解析：∵点O是BC的中点，∴eq \(AO,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(AC,\s\up13(→)))＝eq \f(m,2)eq \(AM,\s\up13(→))＋eq \f(n,2)eq \(AN,\s\up13(→))，∴eq \(MO,\s\up13(→))＝eq \(AO,\s\up13(→))－eq \(AM,\s\up13(→))＝(eq \f(m,2)－1)eq \(AM,\s\up13(→))＋eq \f(n,2)eq \(AN,\s\up13(→)).又eq \(MN,\s\up13(→))＝eq \(AN,\s\up13(→))－eq \(AM,\s\up13(→))，eq \(MN,\s\up13(→))与eq \(MO,\s\up13(→))共线，∴存在实数λ，使得eq \(MO,\s\up13(→))＝λeq \(MN,\s\up13(→))＝λ(eq \(AN,\s\up13(→))－eq \(AM,\s\up13(→)) )，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m,2)－1＝－λ，,\f(n,2)＝λ.))化简，得m＋n＝2.
答案：2
9．解析：(1)∵eq \(AB,\s\up13(→))＝a，eq \(AO,\s\up13(→))＝b，∴eq \(OC,\s\up13(→))＝eq \(OA,\s\up13(→))＋eq \(AC,\s\up13(→))＝－b－a.
eq \(CD,\s\up13(→))＝eq \(CB,\s\up13(→))＋eq \(BD,\s\up13(→))＝eq \(CB,\s\up13(→))＋eq \f(1,3)eq \(BO,\s\up13(→))＝eq \(CB,\s\up13(→))＋eq \f(1,3)(eq \(BA,\s\up13(→))＋eq \(AO,\s\up13(→)))＝2a＋eq \f(1,3)(－a＋b)＝eq \f(5,3)a＋eq \f(1,3)b.
(2)证明：∵eq \(CE,\s\up13(→))＝eq \(OE,\s\up13(→))－eq \(OC,\s\up13(→))＝eq \f(4,5)(－b)＋a＋b＝a＋eq \f(1,5)b＝eq \f(3,5)eq \(CD,\s\up13(→))，
∴eq \(CE,\s\up13(→))与eq \(CD,\s\up13(→))平行，又∵eq \(CE,\s\up13(→))与eq \(CD,\s\up13(→))有共同点C，
∴C，D，E三点共线．
10．解析：如图，设eq \(AM,\s\up13(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up13(→))，eq \(AN,\s\up13(→))＝eq \f(1,5)eq \(AC,\s\up13(→))，连接PM，PN，则eq \(AP,\s\up13(→))＝eq \(AM,\s\up13(→))＋eq \(AN,\s\up13(→))，易知四边形AMPN为平行四边形，则NP∥AB，
所以eq \f(S△ABP,S△ABC)＝eq \f(|\(AN,\s\up13(→))|,|\(AC,\s\up13(→))|)＝eq \f(1,5).同理eq \f(S△ABQ,S△ABC)＝eq \f(1,4)，故eq \f(S△ABP,S△ABQ)＝eq \f(4,5).
答案：D