1．如果直线a平行于平面α，则( )
A．平面α内有且只有一条直线与a平行
B．平面α内有无数条直线与a平行
C．平面α内不存在与a垂直的直线
D．平面α内有且只有一条与a垂直的直线
2．如图所示，长方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行和异面
3．已知在如图所示的长方体ABCD A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，G为CC1的中点，则在该长方体中，与平面EFG平行的面有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
5．如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥EC1，则四边形AEC1F的形状是________．
6．在空间四边形ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，AC的中点．
求证：平面EFG∥平面ABD.
[提能力]
7．[多选题]已知a，b表示两条不重合的直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题，其中正确的是( )
A．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β
B．若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β
C．若a∥α，a∥β，则α∥β
D．若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b
8．如图是一个正方体的展开图．
在这个正方体中：
①BM∥平面ADE；
②CN∥平面ABF；
③平面BDM∥平面AFN；
④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号有________．
9．正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ，求证：PQ∥平面BCE.
[战疑难]
10．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点O为四边形ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的动点，则点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
课时作业44 平面与平面平行
1．解析：过直线a可作无数个平面与α相交，这些交线都与a平行，所以在平面α内与直线a平行的直线有无数条，故A不正确，B正确．平面内存在与a异面垂直的直线，且有无数条，故C，D不正确．
答案：B
2．解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.
答案：A
3．解析：∵长方体ABCD A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，G为CC1的中点，
∴EF∥AB，FG∥BC，
又EF⊄平面ABCD，FG⊄平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，
又EF∩FG＝F，
∴由平面与平面平行的判定定理得：
平面EFG∥平面ABCD.
同理，平面EFG∥平面A1B1C1D1.即在该长方体中，与平面EFG平行的平面有2个．
答案：B
4．解析：由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，∴EF∥BC.
又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.
同理DE∥平面ABC.又∵EF∩DE＝E，
∴平面DEF∥平面ABC.
答案：平行
5．解析：因为AF∥EC1，所以AF，EC1确定一个平面α.
平面α∩平面CDD1C1＝C1F，平面α∩平面ABB1A1＝AE，
又平面ABB1A1∥平面CDD1C1，
所以AE∥C1F，
所以四边形AEC1F是平行四边形．
答案：平行四边形
6．证明：因为E，F分别是BC，CD的中点，
所以EF∥BD.
又BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，
所以EF∥平面ABD.同理可得EG∥平面ABD.
又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，
所以平面EFG∥平面ABD.
7．解析：A错误，α与β也可能相交；B正确，设a，b确定的平面为γ，依题意，得γ∥α，γ∥β，故α∥β；C错误，α与β也可能相交；由线面平行的性质定理可知，D正确．故选BD.
答案：BD
8．解析：以ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个命题都是正确的．
答案：①②③④
9.
证明：证法一(线线平行⇒线面平行) 如图1所示，
作PM∥AB，交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.
又AP＝DQ，∴PE＝QB，又PM∥AB∥QN，∴eq \f(PM,AB)＝eq \f(PE,AE)＝eq \f(QB,BD)，eq \f(QN,DC)＝eq \f(BQ,BD)，
∴eq \f(PM,AB)＝eq \f(QN,DC)，又AB綊DC，∴PM∥QN且PM＝QN，
∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN，
又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面CBE.
证法二(面面平行⇒线面平行) 如图2，在平面ABEF内过点P作PM∥BE交AB于点M，连接QM，又PM⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴PM∥平面BCE，eq \f(AP,PE)＝eq \f(AM,MB).又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴eq \f(AP,PE)＝eq \f(DQ,BQ)，∴eq \f(AM,MB)＝eq \f(DQ,QB)，∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，MQ⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ⊂平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.
10．解析：如图所示，
设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，连接MD1.
由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
因为平面D1BQ∥平面PAO，平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，
所以AP∥D1M，所以BQ∥AP.
因为P为DD1的中点，
所以Q为CC1的中点．
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.