数学必修 第二册6.3 球的表面积和体积习题

这是一份数学必修 第二册6.3 球的表面积和体积习题，共5页。

1．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为( )
A．2:1 B．2:3
C．2:π D．2:5
2．一平面截一球得到直径为2eq \r(5) cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是( )
A．12π cm3 B．36π cm3
C．64eq \r(6) π cm3 D．108π cm3
3．已知一长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的所有顶点都在同一球面上．若球的体积为eq \f(32,3)π，则该长方体的体积为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(14)
C.eq \f(\r(78),3) D．14
4．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A．16π B．20π
C．24π D．32π
5．圆柱形玻璃容器内盛有高度为12 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_______cm.
6．如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积．(其中∠BAC＝30°)
[提能力]
7．[多选题]如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是( )
A．圆柱的侧面积为2πR2
B．圆锥的侧面积为2πR2
C．圆柱的侧面积与球面面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2
8．已知三棱锥P ­ ABC的所有棱长都相等且长度为1，则三棱锥P ­ ABC的内切球的表面积为________．
9．求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．
[战疑难]
10．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：
(1)圆锥的侧面积；
(2)圆锥内切球的体积．
课时作业49 球的表面积和体积
1．解析：设半球的半径为r，圆锥的高为h，则eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(4,3)πr3×eq \f(1,2)，所以h＝2r，故选A.
答案：A
2．解析：
设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示，
在Rt△OO1A中，O1A＝eq \r(5) cm，OO1＝2 cm，
∴球的半径R＝OA＝ eq \r(22＋\r(5)2)＝3(cm)，
∴球的体积V＝eq \f(4,3)×π×33＝36π(cm3)．
答案：B
3．解析：设球的半径为R，则eq \f(4,3)πR3＝eq \f(32,3)π，解得R＝2.因为长方体的体对角线的长为球的直径，所以长方体的体对角线长为4.设长方体的高为x，则eq \r(12＋12＋x2)＝4，解得x＝eq \r(14)，所以该长方体的体积为1×1×eq \r(14)＝eq \r(14).故选B.
答案：B
4．解析：设正四棱柱底面边长为a，则S底＝a2，
∴V＝S底·h＝4a2＝16，∴a＝2.
又正四棱柱内接于球，设球半径为R，
则(2R)2＝22＋22＋42＝24，
∴R＝eq \r(6)，
∴球的表面积为4πR2＝24π.故选C.
答案：C
5．解析：设球半径为r cm，则由3V球＋V水＝V圆柱可得3×eq \f(4,3)πr3＋πr2×12＝πr2×6r，解得r＝6.故球的半径是6 cm.
答案：6
6．解析：过C作CO1⊥AB于O1，在半圆中可得
∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，
∴AC＝eq \r(3)R，BC＝R，CO1＝eq \f(\r(3),2)R.
AO1＝AC·sin 60°＝eq \f(3,2)R，
BO1＝AB－AO1＝eq \f(R,2)，∴V球＝eq \f(4,3)πR3.
V圆锥AO1＝eq \f(1,3)·π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)R))2·eq \f(3,2)R＝eq \f(3,8)πR3，
V圆锥BO1＝eq \f(1,3)·π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)R))2·eq \f(1,2)R＝eq \f(1,8)πR3，
V几何体＝V球－V圆锥AO1－V圆锥BO1＝eq \f(4,3)πR3－eq \f(3,8)πR3－eq \f(1,8)πR3＝eq \f(5,6)πR3.
7．解析：依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，∴A错误；圆锥的侧面积为πR×eq \r(5)R＝eq \r(5)πR2，∴B错误；球面面积为4πR2，∵圆柱的侧面积为4πR2，∴C正确；∵V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝eq \f(1,3)πR2·2R＝eq \f(2,3)πR3，V球＝eq \f(4,3)πR3，∴V圆柱V圆锥V球＝2πR3eq \f(2,3)πR3eq \f(4,3)πR3＝312，∴D正确．故选CD.
答案：CD
8．解析：因为棱长为1的正四面体的底面积S＝eq \f(\r(3),4)，高h＝eq \f(\r(6),3)，所以V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(\r(2),12).设内切球的半径为r，则球心到各个底面的距离都为r，且球心与各个底面构成的三棱锥的体积都是V′＝eq \f(1,3)Sr，所以V＝4V′，即eq \f(\r(2),12)＝4×eq \f(1,3)Sr，从而r＝eq \f(\r(6),12).故内切球的表面积为4πr2＝eq \f(π,6).
答案：eq \f(π,6)
9.
解析：如图，等边△SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆O1.
设球的半径O1O＝R，则它的外切圆柱的高为2R，
底面半径为R，
由tan∠OBO1＝eq \f(OO1,OB)
得：OB＝eq \f(R,tan 30°)＝eq \r(3)R.
∴SO＝OB×tan 60°＝eq \r(3)R·eq \r(3)＝3R
∴V球＝eq \f(4,3)πR3，V柱＝πR2·2R＝2πR3，
V锥＝eq \f(1,3)π·(eq \r(3)R)2·3R＝3πR3，
∴V球V柱V锥＝469.
10．解析：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB.
设圆O的半径为R，则有eq \f(4,3)πR3＝972π，
∴R＝9，∴SE＝2R＝18.
∵SD＝16，∴ED＝2.
连接AE，又SE是圆O的直径，∴SA⊥AE，
∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝12eq \r(2).
∵AB⊥SD，D为AB中点，
∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4eq \r(2).
∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4eq \r(2)×12eq \r(2)＝96π.
(2)设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r，
∵△SAB的周长为2×(12eq \r(2)＋4eq \r(2))＝32eq \r(2)，
∴eq \f(1,2)r×32eq \r(2)＝eq \f(1,2)×8eq \r(2)×16，解得r＝4.
故圆锥内切球的体积V球＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(256,3)π.