高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第1课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第1课时导学案，共15页。

第1课时　数列的概念与通项公式
(教师独具内容)
课程标准：1.了解数列的概念和表示方法，理解通项公式的概念，并会用通项公式写出数列的任意一项.2.了解数列与函数的关系.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．
教学重点：数列的有关概念；能由数列的前几项写出数列的一个通项公式．
教学难点：从函数的观点理解数列；数列单调性的判断与应用.




知识点一　数列及其有关概念
1．数列：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列．
2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….
知识点二　数列的表示
数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，这里n是正整数.
知识点三　数列与函数的关系
1．数列与函数的内在联系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n).
2．数列的表示方法
(1)图象法；
(2)列表法.
3．数列的单调性
与函数类似，数列也有单调性．
知识点四　数列的分类
1．按项的个数分类
类别
含义
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
2．按项的变化趋势分类
类别
含义
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
知识点五　数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项．

1．从定义与函数两个角度理解数列的概念
(1)从定义角度考虑：数列的项与正整数1,2,3，…严格对应，对应的正整数是项数，数列中的项是有序的，有序性是数列的主要特征；再者，数列中的数可以重复出现，这与数集中的数的无序性、互异性是不同的，例如：1,3,5,7,9和9,7,5,3,1不是同一个数列．
(2)从函数角度看数列：数列与函数的关系为，也就是说数列是一个特殊的函数，数列的通项公式就是相应的函数的解析式，其图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点．
2．对数列通项公式的理解
(1)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是，是第几项．
(2)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．
如的不足近似值，精确到1,0.1,0.01,0.001,0.0001，…，所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,1.4142，…，就没有通项公式．
(3)有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，如：数列：－1,1，－1,1，－1,1，…，它可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝还可以写成an＝(－1)n＋2等．
这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列．
(4)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1,1,1，…是无穷数列．(　　)
(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列．(　　)
(3)有些数列没有通项公式．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√
2．做一做
(1)在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的(　　)
A．第100项 B．第12项
C．第10项 D．第8项
(2)若数列的前4项分别是，－，，－，则该数列的一个通项公式为(　　)
A. B．
C. D．
(3)若数列{an}的通项满足＝n－2，那么15是这个数列的第________项．
答案　(1)C　(2)A　(3)5



题型一 数列的概念
例1　已知下列数列：
(1)2,22,222,2222；
(2)0，，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)－1,0，－1,0，…，，…；
(5)a，a，a，a，….
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列为________.(将正确的序号填在横线上)
[解析]　(1)是有穷递增数列，(2)是无穷递增数列，(3)是无穷递减数列，(4)是无穷数列，(5)是无穷数列，也是常数列．
[答案]　(1)　(2)(3)(4)(5)　(1)(2)　(3)　(5)

理解数列的概念应注意的几个方面
(1)判断一个数列是有穷或无穷数列的关键是判断数列的项数是有限的或是无限的．
(2)判断一个数列的单调性一般是根据数列中的an＋1与an的大小来判断，即
①若数列{an}满足an ②若数列{an}满足an>an＋1，则是递减数列．
③若数列{an}满足an＝an＋1，则是常数列．
(3)有穷数列表示为a1，a2，a3，…，an或an＝f(n)(定义域为正整数集的有限子集：{1,2,3，…，n})；无穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，an，…或an＝f(n)(n＝1,2,3，…)，即对于有穷数列要把末项(即有穷数列的最后一项)写出；对于无穷数列，无法写出末项，要用“…”结尾．
[跟踪训练1]　下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增、递减数列？哪些是常数列？
(1)1，，，…，，…；
(2)1,2,22，…，263；
(3)1，－0.1,0.12，…，(－0.1)n－1，…；
(4)0,10,20，…，1000；
(5)－1,1，－1,1，…；
(6)6,6,6，…；
(7)0，－1,0，…，cos，….
解　(1)是无穷数列，也是递减数列．
(2)是有穷数列，也是递增数列．
(3)是无穷数列．
(4)是有穷数列，也是递增数列．
(5)是无穷数列．
(6)是无穷数列，也是常数列．
(7)是无穷数列．
题型二 利用观察法求数列的通项公式
例2　写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)3,5,7,9，…；
(2)，，，，…；
(3)，－，，－，…；
(4)，3，，，3，…；
(5)0.9,0.99,0.999,0.9999，…；
(6)，1，，，…；
(7)，2，，8，….
[解]　(1)∵各项减去1后为正偶数，∴an＝2n＋1.
(2)∵每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，∴an＝.
(3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n＋1.
(4)原数列可化为，，，，，…，即，，，，，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的通项公式为an＝.
(5)将原数列变形为1－0.1,1－0.01,1－0.001,1－0.0001，…，故原数列的通项公式为an＝1－10－n＝1－n.
(6)将原数列变形为，，，，….对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1；对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，故原数列的通项公式为an＝.
(7)将数列变形为，，，，…，可知分子为n2，分母为2，∴an＝.
[变式探究]　把本例(5)改为“0.6,0.66,0.666,0.6666，…”，又如何求通项公式呢？
解　数列0.6,0.66,0.666,0.6666，…的通项公式为an＝.

用观察法求数列通项公式的一般规律
此类问题虽无固定模式，但有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1处理符号；(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
[跟踪训练2]　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)，，，，…；
(2)，，－，，－，，…；
(3)7,77,777，…；
(4)0,3,8,15,24，…；
(5)－1,7，－13,19，…；
(6)3,5,3,5,3,5，….
解　(1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为，，，，…，于是它们的分母相差3，因而有an＝.
(2)分母为2n，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3，因此第1项为－，因此原数列可以化为－，，－，，…，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n·.
(3)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，所以an＝(10n－1)．
(4)观察数列，递增速度较快，有点像成平方的递增，不妨用平方数列对照看一看，即1,22,32,42,52，…，很快发现an＝n2－1.
(5)应解决两个问题：一是符号问题，可考虑用(－1)n或(－1)n＋1表示，二是各项绝对值的排列规律，不难发现后面的数的绝对值总比它前面的数的绝对值大6.故通项公式an＝(－1)n(6n－5)．
(6)此数列奇数项为3，偶数项为5，故通项公式可写作an＝此数列两项3与5的平均数为＝4，奇数项为4－1，偶数项为4＋1，故通项公式还可写作an＝4＋(－1)n.
题型三 数列通项公式的简单应用
例3　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
[解]　(1)∵an＝3n2－28n，
∴a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，
即3n2－28n＋49＝0，解得n＝7或n＝(舍去)．
∴－49是该数列的第7项，
即a7＝－49.
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
解得n＝－2或n＝.
∵－2∉N*，∉N*，∴68不是该数列的项．

判断某数是否为数列的项的步骤
(1)将所给某数代入通项公式中．
(2)解关于n的方程．
(3)若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，说明某数不是该数列的项.
[跟踪训练3]　已知数列的通项公式为an＝.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)试问和是不是它的项，如果是，是第几项？
解　(1)由题意可知
a4＝＝，a6＝＝.
(2)令＝，则n2＋3n－40＝0，
解得n＝5或n＝－8，
由于n∈N*，故n＝－8舍去．
所以是数列的第5项．
令＝，则4n2＋12n－27＝0，
解得n＝或n＝－，
由于n∈N*，所以不是此数列中的项.
题型四 数列的单调性
例4　已知数列{an}的通项公式为an＝.
(1)求证：此数列为递增数列；
(2)求从第几项开始，各项与1的差的绝对值小于0.0001.
[解]　(1)证明：∵an＋1－an＝－
＝
＝，
由n∈N*，得an＋1－an>0，即an＋1>an.
∴数列{an}是递增数列．
(2)∵an＝＝1－，
∴|an－1|＝||＝.
由<，即n2＋1>10000.
满足上式的n至少取n＝100.
∴从第100项开始，各项与1的差的绝对值小于0.0001.

判断数列单调性的方法
判断数列单调性的方法有：作差比较an＋1与an的大小，即比较an＋1－an与0的大小；或作商比较an＋1与an的大小，即比较与1的大小关系．
[跟踪训练4]　已知数列{an}的通项公式为an＝，试讨论数列{an}的单调性．
解　∵an＋1－an＝n＋1·(n＋2)－n·(n＋1)
＝n＋1·＝n＋1·，n∈N*，n＋1>0，
∴当n≤7时，an＋1－an>0；当n＝8时，an＋1－an＝0；当n≥9时，an＋1－an<0.
因此数列{an}从第1项到第8项递增，从第9项起递减.
题型五 求数列中的最大(小)项
例5　已知数列{an}，an＝－2n2＋9n＋3，求{an}的最大项．
[解]　解法一：假设an是最大项，则有
即
解得≤n≤.
因为n是正整数，所以n＝2.
所以{an}的最大项是a2＝13.
解法二：由已知an＝－2n2＋9n＋3＝－22＋.
因为n为正整数，故当n取2时，an取到最大值．
所以数列{an}的最大项为a2＝13.

求数列中最大(小)项的方法
(1)通常利用(或)确定n的取值范围，进而确定{an}的最大项(或最小项)．此方法适用于先增后减或先减后增型数列求最值项，要注意不等式组中的“≥”与“≤”，不是“>”与“<”．
(2)也可利用二次函数的性质求最值项，如本例中的解法二实质就是利用了二次函数y＝－2x2＋9x＋3的图象关于直线x＝对称这一性质，但应注意an的最大项是当n＝2时取得，而不是当n＝时取得，这是因为n∈N*，不要因忽视n∈N*而致误．
[跟踪训练5]　数列的通项公式为an＝n2－7n＋50，求数列中的最小项．
解　解法一：∵an＝n2－7n＋50＝2＋，
∴当n＝3或n＝4时，数列中的项最小，即最小项为a3＝32－7×3＋50＝38，a4＝42－7×4＋50＝38.
解法二：设数列{an}中的第n项最小，则
即解得
∴当n＝3或n＝4时，数列中的项最小，且最小项a3＝a4＝38.



1．下面有四个结论，其中叙述正确的有(　　)
①数列的通项公式是唯一的；
②数列可以看作是一个定义在正整数集或其子集上的函数；
③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；
④每个数列都有通项公式．
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案　B
解析　数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确．
2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)
A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
答案　C
解析　对于A，an＝，n∈N*，它既是无穷数列又是递减数列；对于B，an＝－n，n∈N*，它既是无穷数列又是递减数列；D是有穷数列；对于C，an＝－n－1，它既是无穷数列又是递增数列．
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的(　　)
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．非任何一项
答案　C
解析　由n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．
4．已知数列{an}满足：n∈N*，则a4＝________，通项an＝________.
答案　－13　3－2n
解析　由n∈N*，得a2＝2a1－3＝－1＝3－22，a3＝2a2－3＝－5＝3－23，a4＝2a3－3＝－13＝3－24，观察，得an＝3－2n.
5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
解　(1)由n2－5n＋4<0，解得1 ∵n∈N*，∴n＝2或3.∴数列有两项是负数．
(2)∵an＝n2－5n＋4＝2－，二次函数y＝2－的图象的对称轴为直线x＝＝2.5.
又n∈N*，∴n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列有关数列的说法正确的是(　　)
①数列1,2,3与数列3,2,1是同一数列；
②数列{an}与{a2n－1}表达同一数列；
③数列－1,1，－1,1，…的通项公式不唯一；
④数列－1,1,3,5,8，…的通项公式为an＝2n－3，n∈N*.
A．①④ B．②③
C．③ D．①②
答案　C
解析　①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；②是错误的，数列{an}表示数列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而数列{a2n－1}表示数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…，不是同一数列；③是正确的，数列－1，1，－1,1，…的通项公式可以是an＝(－1)n，an＝cosnπ等；④是错误的，显然当n＝5时，a5＝7，不是数列中的项．故选C.
2．已知数列{an}的前四项为1,0,1,0，则下列可作为数列{an}的通项公式的有(　　)
①an＝[1＋(－1)n＋1]；
②an＝[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)；
③an＝sin2；
④an＝；
⑤an＝
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案　C
解析　当n＝1,2,3,4分别代入①②③④⑤的通项公式中，可知①③④符合，对于②当n＝3时不符合，对于⑤显然n＝1时就不符合，故可作为{an}通项公式的有3个．故选C.
3．已知an＝n2＋n，那么(　　)
A．0是数列中的一项 B．21是数列中的一项
C．702是数列中的一项 D．以上答案都不对
答案　C
解析　∵an＝n(n＋1)，702＝26×27，∴702是第26项．故选C.
4．已知数列{an}的通项公式an＝2n－，则此数列为(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．以上均不正确
答案　A
解析　由an＝2n－，可得an＋1－an＝2，故此数列为递增数列．
5．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．已知数列{an}，an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第1项
B．数列，－，2，－，…的一个通项公式是an＝(－1)n＋1
C．已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝31
D．已知an＋1＝an＋3，则数列{an}为递增数列
答案　ABD
解析　对于A，由an＝＝⇒n＝10.易知最大项为第1项，故A正确；对于B，联想数列，，，，…，则an＝(－1)n＋1，故B正确；对于C，由an＝kn－5，且a8＝11⇒k＝2⇒an＝2n－5⇒a17＝29，故C错误；对于D，由an＋1－an＝3>0，易知D正确．
二、填空题
6．在数列0，，…，，…中，第3项是________，是它的第________项．
答案　　7
解析　令n＝3，则＝＝，所以第3项是；令＝，解得n＝7，所以是它的第7项．
7．在数列，2，x,2，，2，…中，x＝________，该数列的一个通项公式是________.
答案　　an＝(n∈N*)
解析　各项可依次写为，，，，，，…，观察可知，根号下依次为偶数，故x2＝6，可得x＝，数列的通项公式为an＝(n∈N*)．
8．已知数列{an}的通项公式为an＝n－，则an的最小值为________.
答案　1－
解析　因为an＝n－＝＝－，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为a1，即最小值为1－.
三、解答题
9．根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式：
(1)1，－2,3，－4,5，…；(2)5,55,555,5555，…；
(3)1,3,6,10,15，…；(4)，，，，…；
(5)1，－，，－，，….
解　(1)这个数列的前4项1，－2,3，－4的绝对值都是序号且奇数项为正，偶数项为负，∴数列的通项公式是an＝(－1)n＋1·n.
(2)∵数列9,99,999,9999，…的第n项为10n－1，数列1,11,111,1111，…的第n项应为(10n－1)，∴数列5,55,555,5555，…的通项公式是an＝(10n－1)．
(3)注意到6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项分子、分母同乘以2，即，，，，，…，∴数列的通项公式为an＝.
(4)注意各项的分子分别是12,22,32,42，…，分母比分子大1，∴数列的通项公式为an＝.
(5)∵奇数项为正，偶数项为负，各项分母可看作21－1＝1,22－1＝3,23－1＝7,24－1＝15,25－1＝31，…，各项分子均为1，∴数列的通项公式为an＝(－1)n＋1·.
10．已知数列{an}的通项公式是an＝.
(1)求该数列的第10项；
(2)是不是该数列的项？
(3)判断此数列的增减性．
解　(1)该数列的第10项a10＝＝.
(2)令an＝，即＝，解得n＝7.
∴是数列中的项，且是数列的第7项．
(3)解法一：比较an＋1与an的大小．
∵an＋1－an＝－＝－＝>0，
∴an＋1>an.∴此数列为递增数列．
解法二：从函数角度判断．
an＝＝，
∵f(n)＝1＋为关于n的减函数且其值恒正，
∴an＝为关于n的增函数，故数列{an}为递增数列．
B级：“四能”提升训练
1．已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)n(n∈N*)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的位置序号；若没有，说明理由．
解　解法一：作差比较an＋1与an，判断数列{an}的单调性．
因为an＋1－an＝(n＋3)n＋1－(n＋2)n＝n×.
当n<5时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝5时，a6－a5＝0，即a6＝a5；
当n>5时，an＋1－an<0，即an＋1 故a1a7>a8>…，
所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项，
即最大项a5＝a6＝.
解法二：作商比较an＋1与an，判断数列{an}的单调性．
＝＝.
令>1，解得n<5；令＝1，解得n＝5；
令<1，解得n>5.
故有a1a7>…，
所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项，
且最大项为a5＝a6＝.
解法三：解不等式．
假设数列{an}中有最大项，且最大项为第n项，则
即
解得即5≤n≤6.
所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项a5和a6，
且a5＝a6＝.
2．已知函数f(x)＝log2x－logx2(0 (1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是递增数列．
解　(1)由已知，得＝2n，
即an－＝2n，所以a－2nan－1＝0，
解得an＝n±，
因为0 所以an＝n－.
(2)证明：因为＝
＝<1，
而an<0(n＝1,2,3，…)，所以an＋1>an，
所以数列{an}是递增数列．