人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时导学案，共11页。

4．2.1　等差数列的概念
第1课时　等差数列的定义与通项公式
(教师独具内容)
课程标准：1.理解等差数列的概念，并能用其判断一个数列是否为等差数列.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.3.了解等差中项的概念，会求两数的等差中项．
教学重点：等差数列的概念；等差数列的通项公式及运用．
教学难点：等差数列的判定；等差数列的通项公式及灵活运用.




知识点一　等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
知识点二　等差中项
在由三个数a，A，b组成的等差数列中，A叫做a与b的等差中项．这三个数满足关系式2A＝a＋b.
知识点三　等差数列的递推公式与通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，填表：
递推公式
通项公式
an＋1－an＝d
an＝a1＋(n－1)d
知识点四　等差数列与函数的关系
由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n).

1．等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，要理解公式中an，a1，n，d的含义并掌握以下几点
(1)确定a1和d是确定通项的一般方法．
(2)由方程思想，根据an，a1，n，d中任何三个量可求解另一个量，即“知三求一”．
(3)由等差数列与函数的关系，可知等差数列{an}的图象为分布于一条直线上的一群孤立的点，结合一次函数的单调性可知：d>0，为递增数列；d<0，为递减数列；d＝0，为常数列．
2．等差数列的判定方法
(1)an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
(3)an＝kn＋b(k，b为常数)⇔{an}是等差数列．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1,1,1,1,1是等差数列．(　　)
(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(3)任意两个实数都有等差中项．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)等差数列0.73,0.72,0.71,0.70,0.69的公差为________.
(2)等差数列{an}中，a3＝5，a7＝13，则数列{an}的通项公式是________.
(3)已知等差数列{an}中，d＝－，a7＝8，则a1＝________.
(4)－2与11的等差中项为________.
答案　(1)－0.01　(2)an＝2n－1　(3)10　(4)



题型一 等差数列的概念

例1　判断下列数列是否为等差数列．
(1)在数列{an}中an＝3n＋2；
(2)在数列{an}中an＝n2＋n.
[解]　(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．
由n的任意性知，这个数列为等差数列．
(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．

判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数．
[跟踪训练1]　已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，问：数列{bn}是否为等差数列？并说明理由．
解　数列{bn}是等差数列．
理由：∵数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，
∴an＋1－an＝d(n∈N*)．
∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d.
∴根据等差数列的定义，知数列{bn}是等差数列.
题型二 等差数列的通项公式
例2　(1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d；
(2)已知等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，求通项公式an.
[解]　(1)因为a5＝10，a12＝31，故
即
所以这个等差数列的首项是－2，公差是3.
(2)设等差数列{an}的公差为d，由已知得
1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d＝±2，
当d＝2时，an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
当d＝－2时，an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3.
[结论探究]　若本例(2)中条件不变，试求数列{an}中的最大项与最小项．
解　当d＝2时，an＝2n－1，为递增数列，数列an有最小项为a1＝1，无最大项．
当d＝－2时，an＝－2n＋3为递减数列，有最大项为a1＝1，无最小项．

解决等差数列通项公式的方法
应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，
得求出a1和d，从而确定通项公式．
[跟踪训练2]　(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
解　(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，
得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，
得这个数列的通项公式为
an＝－5－4(n－1)＝－4n－1，
由题意知，－401＝－4n－1，
得n＝100，即－401是这个数列的第100项.
题型三 等差中项及应用
例3　(1)若三个数5＋2，m,5－2成等差数列，求m的值；
(2)已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差数列？
[解]　(1)因为5＋2，m,5－2成等差数列，所以5＋2＋5－2＝2m，所以m＝5.
(2)因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b.
又因为a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)
＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)
＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0，
所以a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)．
所以a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列．

若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列．
[跟踪训练3]　(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列；
(2)已知数列{an}的首项为x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列，求p，q的值．
解　(1)∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1和7的等差中项，∴b＝＝3.a是－1和3的等差中项，
∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5，
∴该数列为－1,1,3,5,7.
(2)由x1＝3，得2p＋q＝3.①
又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，
∴3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1.②
将②代入①得p＝1，故p＝1，q＝1.
题型四 等差数列的判定与证明
例4　已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：∵bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝.
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n.
∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2.

1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
(3)通项法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．
若要说明一个数列不是等差数列，则只需举一个反例即可．
2．用定义证明等差数列时的易错点
用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．
[跟踪训练4]　已知，，成等差数列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，求证：lg (a＋c)，lg (a－c)，lg (a＋c－2b)也成等差数列．
证明　∵，，成等差数列，∴＝＋，
∴＝，即2ac＝b(a＋c)．
(a＋c)(a＋c－2b)＝(a＋c)2－2b(a＋c)＝(a＋c)2－2×2ac＝a2＋c2＋2ac－4ac＝(a－c)2.
∵a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg [(a＋c)(a＋c－2b)]＝lg (a－c)2，
即lg (a＋c)＋lg (a＋c－2b)＝2lg (a－c)，
∴lg (a＋c)，lg (a－c)，lg (a＋c－2b)成等差数列．



1．已知等差数列{an}中，an－an－1＝2(n≥2)，且a1＝1，则这个数列的第10项为(　　)
A．18 B．19
C．20 D．21
答案　B
解析　a10＝a1＋9d＝1＋2×9＝19.
2．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于(　　)
A. B．
C． D．
答案　C
解析　∴a＝，b＝x.∴＝.
3．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，且满足an＋4Sn－1Sn＝0(n≥2)，a1＝，则下列说法错误的是(　　)
A．数列{an}的前n项和为Sn＝4n
B．数列{an}的通项公式为an＝
C．数列{an}为递增数列
D．数列为递增数列
答案　ABC
解析　∵数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，且满足an＋4Sn－1Sn＝0(n≥2)，a1＝，∴Sn－Sn－1＋4Sn－1Sn＝0，化为－＝4，∴数列是等差数列，公差为4，∴＝4＋4(n－1)＝4n，可得Sn＝，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，∴an＝对选项逐一进行分析可得，A，B，C错误，D正确．故选ABC.
4．数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an＋1,1＋an是函数f(x)＝x2－bnx＋an的两个零点，则a2＝________，当bn>时，n的最大值为________.
答案　　5
解析　由题意可得an＋1(1＋an)＝an.所以an＋1＝，所以a2＝.又因为a1＝1，所以a2＝.因为an＋1(1＋an)＝an，所以－＝1.又因为a1＝1，所以＝n.所以an＝.因为an＋1＋1＋an＝bn，所以bn＝an＋1＋an＋1＝＋＋1>，所以n2－5n－3<0.因为n>0，所以0 5．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
解　设数列{an}的公差为d，
∵a15＝33，a61＝217，∴
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－23＋(n－1)·4＝4n－27.
令an＝153，则4n－27＝153⇒n＝45，
∴153是该数列的第45项．



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…，那么81是它的第________项(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
答案　C
解析　an＝3(2n－1)＝6n－3.由6n－3＝81得n＝14.
2．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为(　　)
A．1 B．6
C．5 D．－3
答案　D
解析　由x1＋x2＝－6，∴x1，x2的等差中项A＝＝－3.
3．等差数列{an}中，a1＝70，d＝－9，则这个数列中绝对值最小的一项为(　　)
A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
答案　B
解析　∵an＝a1＋(n－1)d＝79－9n，d＝－9<0，∴数列{an}为递减数列，a8＝7，a9＝－2.∴a9的绝对值最小，故选B.
4．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是(　　)
A．92 B．47
C．46 D．45
答案　C
解析　∵a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，由－89＝－2n＋3，得n＝46.
5．(多选)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则{an}称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的是(　　)
A．若数列{an}是等方差数列，则数列{a}是等差数列
B．若数列{an}是等方差数列，则数列{a}是等方差数列
C．数列{(－1)n}是等方差数列
D．若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列
答案　ACD
解析　对于A，由{an}是等方差数列可得a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，即有{a}是首项为a，公差为p的等差数列，故A正确；对于B，例如：数列{}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，所以B不正确；对于C，数列{(－1)n}中，a－a＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N*)，所以数列{(－1)n}是等方差数列，故C正确； 对于D, 数列{an}中的项列举出来是a1，a2，…，ak，…，a2k，….数列{akn}中的项列举出来是ak，a2k，a3k，….∵(a－a)＝(a－a)＝…＝(a－a)＝p，∴a－a＝(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp，∴a－a＝kp，所以数列{akn}是等方差数列，故D正确．故选ACD.
二、填空题
6．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a2021＝________.
答案　1012
解析　∵2an＋1＝2an＋1，∴an＋1－an＝.故{an}是首项为2，公差为的等差数列．∴a2021＝a1＋2020d＝2＋2020×＝1012.
7．等差数列的前4项依次是a－1，a＋1,2a＋3,2b－3，则a＝________，b＝________.
答案　0　4
解析　依题意可知解得
8．在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2＝________，an＝________.
答案　　
解析　∵a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，∴a2＝＝＝，由an＋1＝(n∈N*)，取倒数得＝＝3＋，得－＝3，即数列是公差d＝3的等差数列，首项为，所以＝＋3(n－1)＝，所以an＝，n∈N*.
三、解答题
9．已知等差数列{an}：3,7,11,15，….
(1)135,4m＋19(m∈N*)是数列{an}中的项吗？试说明理由；
(2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明理由．
解　∵a1＝3，d＝4，∴an＝a1＋(n－1)d＝4n－1，
(1)令an＝4n－1＝135，∴n＝34，
∴135是数列{an}中的第34项，
令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5(n∈N*)，
∴4m＋19是{an}中第m＋5项．
(2)∵ap，aq是{an}中的项，∴ap＝4p－1，aq＝4q－1.
∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝4(2p＋3q－1)－1.
∵2p＋3q－1∈N*，
∴2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项．
10．已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N*时，有＝，设bn＝，n∈N*.
(1)求证：数列{bn}为等差数列．
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．
解　(1)证明：当n>1，n∈N*时，＝⇔＝⇔－2＝2＋⇔－＝4⇔bn－bn－1＝4，且b1＝＝5.
∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.
(2)由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.
∴an＝＝，n∈N*.
∴a2＝，∴a1a2＝.
令an＝＝，∴n＝11，即a1a2＝a11，
∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项．
B级：“四能”提升训练
1．曲线C：xy－2kx＋k2＝0与直线x－y＋8＝0有唯一公共点，数列{an}的首项a1＝2k，且当n≥2时，点(an－1，an)恒在曲线C上，数列{bn}满足关系式bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解　(1)证明：由xy－2kx＋k2＝0，y＝x＋8得x2＋(8－2k)x＋k2＝0.
由条件有Δ＝(8－2k)2－4k2＝0，k＝2，因此曲线方程为xy－4x＋4＝0，点(an－1，an)在曲线上，
故an＝，得an－2＝
∴bn＝＝＝
＝＋＝＋bn－1，
即bn－bn－1＝，
当n＝1时，b1＝＝＝，
∴数列{bn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)由(1)可得bn＝＋(n－1)＝.
由bn＝，解得an＝2＋.
2．已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由．
解　(1)证明：∵an＝2－(n≥2且n∈N*)，bn＝，
∴当n≥2时，bn－bn－1＝－
＝－＝－＝1，
又b1＝＝－.
所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋，
设函数f(x)＝1＋，易知f(x)在区间和上为减函数．
所以当n＝3时，an取得最小值－1；
当n＝4时，an取得最大值3.