高中人教A版 (2019)5.1 导数的概念及其意义学案

5．1.1　变化率问题

(教师独具内容)

课程标准：通过实例，领悟由平均速度到瞬时速度刻画实际的变化的过程．

教学重点：瞬时速度的求法．

教学难点：求瞬时速度的极限方法.

知识点一　高台跳水运动员的平均速度

在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11.

一般地，在t1≤t≤t2这段时间里，

＝＝－4.9(t1＋t2)＋4.8.

知识点二　高台跳水运动员的瞬时速度

为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity)．

知识点三　高台跳水运动员在t＝1 s时瞬时速度的求法

Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.

数学中，我们把－5叫做“当Δt无限趋近于0时，＝的极限”，记为 ＝－5.从物理的角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝1时的瞬时速度．因此，运动员在t＝1 s时的瞬时速度v(1)＝－5 m/s.

知识点四　抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线

与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线，我们通常在点P0(1,1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)＝x2的割线P0P的变化情况．

我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线．

知识点五　抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率

k＝＝＝Δx＋2.

我们发现，当Δx无限趋近于0时，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k都无限趋近于2.

事实上，由k＝＝Δx＋2可以直接看出，当Δx无限趋近于0时，Δx＋2无限趋近于2.我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时，k＝的极限”，记为 ＝2.

对瞬时速度的理解

(1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率．

(2)Δt是时间的改变量，Δt趋近于0是指时间间隔Δt越来越短，能越过任意小的时间间隔，但始终不能为0.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)自变量的改变量Δx是一个较小的量，Δx可正可负，但不能为0.(　　)

(2)高台跳水运动员的瞬时速度是刻画跳水高度在时间区间[t1，t2]上变化快慢的物理量．(　　)

(3)高台跳水运动员的平均速度可正可负．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)√

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)若h＝－3t2＋2，当t由2变为1时，h的变化量为________.

(2)一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s＝5t2，则该物体从1 s到3 s这段时间内的平均速度是________m/s.

(3)抛物线y＝x2在x＝2处的切线斜率为________.

(4)在高台跳水运动中，t s时相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则该高台跳水运动员在t＝1 s时的瞬时速度为________.

答案　(1)－9　(2)20　(3)4　(4)－3.3 m/s

题型一　求平均速度与瞬时速度

例1　一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.

(1)求t＝0到t＝2时的平均速度；

(2)求此物体的初速度；

(3)求此物体在t＝2时的瞬时速度．

[解]　(1)＝＝＝＝1.

所以在t＝0到t＝2时的平均速度为1.

(2)当t＝0时的速度为初速度．

在0时刻取一时间段[0，Δt]，

则＝＝＝3－Δt，

所以 (3－Δt)＝3.

所以物体的初速度为3.

3)取一时间段[2,2＋Δt]，

则＝＝＝－1－Δt，

所以 (－1－Δt)＝－1.

所以t＝2时，物体的瞬时速度为－1.

要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt，求出相应的位移的改变量Δs，再求出平均速度＝，最后计算当Δt趋近于0时，趋近于的常数，就是物体在该时刻的瞬时速度．

[跟踪训练1]　若一物体的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s＝f(t)＝

求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；

(2)物体的初速度v0；

(3)物体在t＝1时的瞬时速度．

解　(1)＝＝＝3(t2＋t1)＝3×(5＋3)＝24 m/s.

(2)求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．

因为物体在t＝0附近的平均速度为

＝＝3Δt－18.

所以物体在t＝0时的瞬时速度为 (3Δt－18)＝－18.

即物体的初速度为－18 m/s.

(3)物体在t＝1附近的平均速度为

＝＝3Δt－12，

所以物体在t＝1时的瞬时速度为

 (3Δt－12)＝－12 m/s.

题型二　求抛物线在某一点处切线的斜率

例2　已知函数y＝f(x)＝求抛物线在x＝1和 x＝4处的切线斜率．

[解]　抛物线在x＝1附近割线的斜率为

k＝＝

＝＝3＋Δx，

所以抛物线在x＝1处的切线斜率为 (3＋Δx)＝3.

抛物线在x＝4附近割线的斜率为

k＝＝

＝＝12＋2Δx，

所以抛物线在x＝4处的切线斜率为 (12＋2Δx)＝12.

求抛物线y＝f(x)在某点处的切线斜率，可先表示出在此点附近通过该点的割线的斜率，再求此斜率的极限即可．

 [跟踪训练2]　求抛物线y＝－x2＋3x在x＝2处的切线斜率．

解　令y＝f(x)，则抛物线y＝－x2＋3x在x＝2处的切线斜率为 ，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－2＝－(Δx)2－Δx，

所以抛物线f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的切线斜率为

 ＝ (－Δx－1)＝－1.

1．已知抛物线y＝x2和这条曲线上的一点P，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为(　　)

A．  B．

C．  D．

答案　C

解析　抛物线y＝x2上在点P附近的Q点的横坐标为1＋Δx，则其纵坐标为＋Δy＝(1＋Δx)2.

2．一质点做直线运动，其位移s与时间t之间的关系为s＝3－2t2，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)

A．－1  B．－2

C．－3  D．－4

答案　D

解析　＝＝＝－2Δt－4.则 (－2Δt－4)＝－4.故选D．

3．抛物线y＝2x2－4的图象上一点(1，－2)处的切线斜率为(　　)

A．0  B．1

C．4  D．－2

答案　C

解析　k＝＝＝＝4＋2Δx，当Δx→0时，4＋2Δx→4，所以抛物线y＝2x2－4的图象上一点(1，－2)处的切线斜率为4.

4．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2，其中路程s的单位：m，时间的单位：s，则当t＝2 s时，汽车的瞬时速度是________.

答案　4 m/s

解析　v＝

＝ (4＋7Δt＋2(Δt)2)＝4(m/s)．

5．一质点做直线运动，其位移s与时间t之间的关系为s＝8－4t2.

(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；

(2)求质点在t＝1时的瞬时速度．

解　(1)质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为

＝＝－8－4Δt.

(2)由(1)知＝－8－4Δt， (－8－4Δt)＝－8，所以质点在t＝1时的瞬时速度为－8.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的瞬时速度为(　　)

A．4＋4t0  B．0

C．8t0＋4  D．4t0＋4t

答案　C

解析　Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4(Δt)2＋4Δt＋8t0Δt，＝4Δt＋4＋8t0， ＝ (4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.

2．若抛物线y＝2x2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则这两点所在割线的斜率为(　　)

A．2＋Δx  B．2－2Δx

C．4＋2Δx  D．4

答案　C

解析　这两点所在割线的斜率为k＝＝4＋2Δx.

3．一质点沿直线运动，位移s与时间t之间的关系为s(t)＝t2，质点在t0到t0＋Δt之间的平均速度为1，在t0－Δt到t0之间的平均速度为2，则1，2的大小关系是(　　)

A．1<2  B．1>2

C．1＝2  D．无法确定

答案　D

解析　1＝＝2t0＋Δt，2＝＝2t0－Δt，而Δt可正可负，故1，2的大小关系不确定．

4．一质点M沿直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s(t)＝at2＋1，若质点M在t＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s，则常数a的值为(　　)

A．1  B．2

C．4  D．6

答案　B

解析　质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．∵质点M在t＝2附近的平均速度＝＝＝4a＋aΔt，∴ (4a＋aΔt)＝4a＝8，即a＝2.

5．(多选)如图所示是物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是(　　)

A．在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度

B．在0到t0范围内甲的平均速度等于乙的平均速度

C．在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度

D．在t0到t1范围内甲的平均速度等于乙的平均速度

答案　BC

解析　在0到t0范围内甲、乙的平均速度均为＝，所以A错误，B正确；在t0到t1范围内甲的平均速度为，乙的平均速度为，很明显>，所以C正确，D错误．故选BC．

二、填空题

6．已知物体运动的速度与时间之间的关系是v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间t＝1处的瞬时加速度为________.

答案　4

解析　由平均变化率的定义可知，该物体在[1,1＋Δt]内的平均加速度为＝Δt＋4，当Δt趋近于0时，Δt＋4趋近于4，所以在时间t＝1处的瞬时加速度为4.

7．曲线f(x)＝x－在x＝1处的切线的斜率为________.

答案　2

解析　＝

＝＝1＋，所以 ＝2.

8．一物体的位移s与时间t之间的关系为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________.

答案　1

解析　∵＝

＝＝14t0－13＋7Δt.

v＝ (14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1.∴t0＝1.

三、解答题

9．某质点A从时刻t＝0开始沿某方向运动的位移为s(t)＝比较质点A在时刻t＝3与t＝5的瞬时速度的大小．

解　当0≤t<4时，s(t)＝t3－6t2＋9t＝t(t－3)2，所以当t＝3时，

1＝＝

＝Δt(3＋Δt)．

v1＝[Δt(3＋Δt)]＝0.

当t≥4时，s(t)＝t2－10t＋28，所以当t＝5时，

2＝

＝

＝＝Δt.

所以v2＝ (Δt)＝0.

所以质点A在时刻t＝3与t＝5的瞬时速度都为0，故大小相等．

10．航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.

(1)h(0)，h(1)分别表示什么；

(2)求第1 s内航天飞机的平均速度；

(3)求第1 s末航天飞机的瞬时速度，并说明它的意义．

解　(1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度，h(1)表示航天飞机发射1 s后的高度．

(2)＝＝80(m/s)，即第1 s内航天飞机的平均速度为80 m/s.

(3)v＝ ＝[5(Δt)2＋45Δt＋120]＝120，

即第1 s末航天飞机的瞬时速度为120 m/s.

它说明在第1 s末附近，航天飞机的高度大约以120 m/s的速度在增加．

B级：“四能”提升训练

1．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动．子弹运动的时间t与位移s满足s＝2.5×105t2，其中s的单位是m，t的单位是s.子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．

解　设子弹从枪口射出时刻为t0，

∵＝

＝

＝5×105t0－2.5×105Δt，

∴v＝ (5×105t0－2.5×105Δt)＝5×105t0.

又t0＝1.6×10－3 s，

∴v＝5×105t0＝8×102＝800(m/s)．

所以子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.

2．若抛物线f(x)＝2x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为8，求在x＝x0处的切线方程．

解　抛物线f(x)＝2x2＋4x在x＝x0附近且通过该点的割线斜率为k＝＝

＝2Δx＋4x0＋4，所以 (2Δx＋4x0＋4)＝4x0＋4＝8，即x0＝1，所以f(x0)＝f(1)＝2×12＋4×1＝6.

所以所求切线方程为y－6＝8(x－1)，即8x－y－2＝0.