人教A版 (2019)5.1 导数的概念及其意义第2课时学案

第2课时　导数的几何意义

(教师独具内容)

课程标准：1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

教学重点：对导数几何意义的理解及求切线方程．

教学难点：对导数几何意义的理解.

知识点一　割线的斜率

如图，容易发现，平均变化率＝，表示割线P0P的斜率.

知识点二　导数的几何意义

记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝

 ＝f′(x0).这就是导数的几何意义．

“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系

(1)“函数f(x)在点x0处的导数”，就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数．

(2)“导函数”：如果对于函数f(x)在开区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)或y′.

即f′(x)＝y′＝ ＝ .

(3)导函数也简称导数，所以

“导数”个别与一般．

(4)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数f(x)＝0没有导函数．(　　)

(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　)

(3)已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的横坐标为1.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×

2．做一做

(1)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)

A．a＝1，b＝1  B．a＝－1，b＝1

C．a＝1，b＝－1  D．a＝－1，b＝－1

(2)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 ＝________.

(3)若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________.

答案　(1)A　(2)－2　(3)4

题型一　求切线的方程

例1　已知曲线方程y＝x2.

(1)求点A(2,4)处与曲线相切的直线方程；

(2)求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．

[解]　(1)∵A(2,4)在y＝x2上，由y＝x2得，

y′＝ ＝2x.

∴f′(2)＝4.

∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.

(2)设切点坐标为(x0，x)．

由(1)得y′＝2x，∴f′(x0)＝2x0.

∴切线方程为y－x＝2x0(x－x0)．

∵点(3,5)在切线上，

∴5－x＝2x0(3－x0)，

即x－6x0＋5＝0.解得x0＝1或x0＝5，

∴切线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.

利用导数的几何意义求切线方程的分类

(1)当已知的点在曲线上且切于该点时，直接利用导数求切线的斜率，写出直线方程．

(2)当已知点不在曲线上，设出切点，利用导数表示出切线斜率，写出切线方程，代入点的坐标，求出切点坐标，写出直线方程．

[跟踪训练1]　已知曲线C：f(x)＝x3.

(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；

(2)求过点(1,1)与f(x)＝x3相切的直线方程．

解　(1)∵f′(x)＝

＝

＝ [(Δx)2＋3x2＋3x·Δx]＝3x2，

∴f′(1)＝3×12＝3，又f(1)＝13＝1，

∴切线方程为y－1＝3(x－1)，

即3x－y－2＝0.

(2)设切点为P(x0，x)，

由(1)知切线斜率为k＝f′(x0)＝3x，

故切线方程为y－x＝3x(x－x0)．

又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得

1－x＝3x(1－x0)，即2x－3x＋1＝0，

解得x0＝1或x0＝－.

故所求的切线方程为y－1＝3(x－1)或y－1＝(x－1)，

即3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.

题型二　利用导数求切点坐标

例2　在曲线y＝x2上求一点，使得在该点处的切线：

(1)平行于直线y＝4x－5；

(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；

(3)倾斜角为135°.

[解]　设P(x0，y0)是满足条件的点，设y＝f(x)，

则f′(x)＝ ＝ ＝2x.

(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，故y0＝4，即P(2,4)．

(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·＝－1，得x0＝－，故y0＝，即P.

(3)因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－，故y0＝，即P.

利用导数求切点坐标的解题步骤

(1)先设切点坐标(x0，y0)；

(2)求导函数f′(x)；

(3)求切线的斜率f′(x0)；

(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；

(5)由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0得切点坐标．

[跟踪训练2]　已知抛物线y＝2x2＋1，

(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？

(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?

(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?

解　设抛物线上一点的坐标为(x0，y0)，f(x)＝2x2＋1，

∵＝＝4x＋2Δx.

∴f′(x)＝ (4x＋2Δx)＝4x.

∴f′(x0)＝4x0.

(1)∵抛物线在点(x0，y0)处的切线的倾斜角为45°，

∴斜率为tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，

故y0＝2×2＋1＝，该点为.

(2)∵抛物线在点(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y－2＝0，

∴切线的斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，

故y0＝2×12＋1＝3，该点为(1,3)．

(3)∵抛物线在点(x0，y0)处的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，

∴斜率为8.即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，

∴y0＝2×22＋1＝9，该点为(2,9).

题型三　导数几何意义的综合应用

例3　已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值．

[解]　∵曲线y＝ax2＋bx＋c过点P(1,1)，

∴a＋b＋c＝1.　①

∵f′(2)＝ ＝4a＋b，

∴4a＋b＝1.　②

又曲线过点Q(2，－1)，∴4a＋2b＋c＝－1，　③

联立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9.

导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导．利用题目所给的斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等已知条件求解题目．此处常与函数、不等式等知识点结合．

[跟踪训练3]　求曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．

解　联立两曲线方程得解得

即交点坐标为(1,1)．令f(x)＝，g(x)＝x2.

曲线y＝在点(1,1)处的切线斜率为

f′(1)＝ ＝ ＝－1，

所以曲线y＝在点(1,1)处的一条切线方程为

y－1＝－1×(x－1)，即y＝－x＋2.

同理，曲线y＝x2在点(1,1)处的切线斜率为

g′(1)＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2，

所以曲线y＝x2在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.

两条切线方程y＝－x＋2和y＝2x－1与x轴所围成的图形如图所示，

所以S＝×1×＝，故三角形的面积为.

1. 某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝H3(H为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(m3/h)，观察图象可知瞬时融化速度等于(m3/h)的时刻是图中的(　　)

A．t1  B．t2

C．t3  D．t4

答案　C

解析　如图所示，平均融化速度实际上是点A与点B连线的斜率k；瞬时融化速度的几何意义就是曲线V(t)在某时刻的切线斜率，通过对比，t3时刻曲线的切线斜率与k相等，故瞬时融化速度等于(m3/h)的时刻是t3.

2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)

A．不存在  B．与x轴平行或重合

C．与x轴垂直  D．与x轴相交但不垂直

答案　B

解析　函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．

3．下列说法正确的是(　　)

A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线

B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在

C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在

D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线

答案　C

解析　根据导数的几何意义可知，曲线在某点处的切线斜率为该点的导数，因此C正确．

4. 如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝(　　)

A．  B．3

C．4  D．5

答案　A

解析　根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f′(4)＝.

5．已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程．

解　y′＝ ＝

＝ (4x＋2Δx)＝4x.

因为2×32－7＝11≠9，所以点P(3,9)不在曲线上．

设所求切线的切点为A (x0,2x－7)，

则切线的斜率k＝4x0.

又因为点P(3,9)，A(x0,2x－7)都是切线上的点，

所以k＝＝4x0，解得x0＝2或x0＝4.

当x0＝2时，k＝8，切点为(2,1)，

切线方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0；

当x0＝4时，k＝16，切点为(4,25)，

切线方程为y－25＝16(x－4)，即16x－y－39＝0.

故所求的切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则(　　)

A．f′(x0)>0  B．f′(x0)＝0

C．f′(x0)<0  D．f′(x0)不存在

答案　C

解析　根据导数的几何意义，f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点x0处切线的斜率，因为切线斜率k＝－2<0，所以f′(x0)<0.

2．已知曲线y＝x2－2上一点P，则曲线在点P处的切线的倾斜角为(　　)

A．30°  B．45°

C．135°  D．165°

答案　B

解析　因为y＝x2－2，所以y′＝ ＝ ＝x，所以曲线在点P处的切线的斜率为1，所以曲线在点P处的切线的倾斜角为45°.

3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是(　　)

A．(1,1)  B．(－1,1)

C．(1,1)或(－1，－1)  D．(2,8)或(－2，－8)

答案　C

解析　因为y＝x3，所以y′＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)．

4．函数f(x)的图象如图所示，下列排序正确的是(　　)

A．0<f′(2)<f′(3)<f′(4) B．0<f′(3)<f′(4)<f′(2)

C．0<f′(4)<f′(3)<f′(2) D．0<f′(2)<f′(4)<f′(3)

答案　C

解析　由导数的几何意义可知，函数f(x)在点x0处的导数即为曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，又由图象可知曲线f(x)在x＝2,3,4处的切线的斜率逐渐减小，所以0<f′(4)<f′(3)<f′(2)，故选C．

5．(多选)设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标可以为(　　)

A．(1,0)  B．(2,8)

C．(－1，－4)  D．(1,4)

答案　AC

解析　根据导数的定义可求得f′(x)＝3x2＋1，设P0(x0，y0)，因为曲线f(x)＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，所以点P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)，故选AC．

二、填空题

6．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为________.

答案　(1,0)

解析　设点M(x0，y0)，

得k＝

＝2x0＋1，令2x0＋1＝3，得x0＝1，则y0＝0.

7．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________.

答案　2

解析　由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.又切线在y轴上的截距为－1，所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，从而可得切点坐标为(1,3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.

8．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)＝________.

答案　1

解析　由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，

则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴f(2)＋f′(2)＝1.

三、解答题

9．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线平行的直线．

解　设曲线y＝3x2－4x＋2在M(1,1)处的切线的斜率为k，则k＝y′|x＝1

＝

＝ (3Δx＋2)＝2.

设过点P(－1,2)且斜率为2的直线为l，

则由点斜式得l的方程为y－2＝2(x＋1)，

化为一般式为2x－y＋4＝0，

所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.

10．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值和切点的坐标．

解　设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，

因为f′(x)＝

＝

＝3x2－4x，

由题意可知，直线l的斜率k＝4，即3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2，

所以切点的坐标为或(2,3)．

当切点为时，有＝4×＋a，a＝；

当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，a＝－5.

所以当a＝时，切点坐标为；

当a＝－5时，切点坐标为(2,3)．

B级：“四能”提升训练

1．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a>0)．若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．

解　因为＝

＝

＝，

所以 ＝＝，

解得a＝2或a＝－(不符合题意，舍去)．

将a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝，解得b＝－1.

所以a＝2，b＝－1.

2．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.

(1)求直线l2的方程；

(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．

解　(1)y′|x＝1＝ ＝3，

所以l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.

设曲线y＝x2＋x－2在点B(b，b2＋b－2)处的切线为l2，

y′|x＝b＝

＝2b＋1，所以l2的方程为y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)，

即y＝(2b＋1)x－b2－2.

因为l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－，

所以l2的方程为y＝－x－.

(2)由得

即l1与l2的交点坐标为，

l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)，，

所以所求三角形的面积S＝××＝.