高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算导学案及答案

5．2.1　基本初等函数的导数

(教师独具内容)

课程标准：1.会应用导数的定义推导五种常见函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数公式.2.掌握基本初等函数的导数公式．

教学重点：基本初等函数的导数公式．

教学难点：基本初等函数的导数公式的运用.

知识点一　几个常见函数的导数

知识点二　基本初等函数的导数公式

1．若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝0.

2．若f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，则f′(x)＝αxα－1.

3．若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx.

4．若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx.

5．若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝axln_a；特别地，若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex.

6．若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝；特别地，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝.

基本初等函数的四类求导公式

(1)第一类为幂函数，y′＝(xα)′＝α·xα－1(注意幂指数α可推广到全体实数)．对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数．

(2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号．

(3)第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝ax·ln a，当a＝e时，ex的导数是(ax)′的一个特例．

(4)第四类为对数函数，y′＝(logax)′＝，也可记为(logax)′＝·logae，当a＝e时，ln x的导数也是(logax)′的一个特例．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若y＝，则y′＝×2＝1.(　　)

(2)若f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx.(　　)

(3)若f(x)＝，则f′(x)＝.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)′＝________.

(2)(2x)′＝________.

(3)若f(x)＝x3，g(x)＝log3x，则f′(x)－g′(x)＝________.

(4)已知函数f(x)＝logax，若f′(1)＝1，则a＝________.

答案　(1)－　(2)2xln  2　(3)3x2－　(4)e

题型一　利用求导公式直接求导

例1　求下列函数的导数：

(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝log5x.

[解]　(1)y′＝(x12)′＝12x11.

(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.

(3)y′＝()′＝′＝x－＝.

(4)y′＝(log5x)′＝.

求简单函数的导函数的方法

(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂．

(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．

[跟踪训练1]　求下列函数的导数：

(1)y＝3x；(2)y＝x；(3)y＝2－x；

(4)y＝cos2－sin2.

解　(1)y′＝(3x)′＝3xln 3.

(2)y′＝(x)′＝(x)′＝x＝x.

(3)∵2－x＝x，

∴y′＝′＝xln ＝－xln 2.

(4)∵y＝cos2－sin2＝cosx，

∴y′＝(cosx)′＝－sinx.

题型二　利用导数公式求曲线的切线方程

例2　(1)求过曲线y＝sinx上点P且与在这点的切线垂直的直线方程；

(2)已知点P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．

[解]　(1)∵y＝sinx，∴y′＝cosx，

曲线在点P处的切线斜率是

y′|x＝＝cos＝.

∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－，

故所求的直线方程为y－＝－，

即2x＋y－－＝0.

(2)∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，

则y′|x＝x0＝2x0，

又PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，

∴k＝2x0＝1，即x0＝，∴切点为M.

∴所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.

根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．

[跟踪训练2]　(1)曲线y＝在点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(　　)

A．  B．或

C．  D．

(2)P是抛物线y＝x2上的点，若过点P的切线方程与直线y＝－x＋1垂直，则过点P的切线方程是________.

答案　(1)B　(2)2x－y－1＝0

解析　(1)y′＝′＝－＝－4，x＝±.B正确．

(2)2x0＝2，∴x0＝1，∴点P(1,1)，方程2x－y－1＝0.

题型三　导数运算的应用

例3　已知某质点的运动方程为s(t)＝t2(s单位：m，t单位：s)，求质点在t＝10时的：(1)瞬时速度；(2)加速度；(3)动能；(4)动量(设物体的质量为m kg)．

[解]　(1)vt＝10＝s′(t)|t＝10＝(2t)|t＝10＝20 m/s.

(2)a＝v′＝(2t)′＝2 m/s2.

(3)E动＝mv2＝m×202＝200m J.

(4)动量＝mv＝20m kg·m/s.

导数不仅在数学中有着广泛的应用，在物理、化学等自然与社会科学中同样拥有广泛的应用．要学会通过导数的概念的学习，更深刻全面地认识所学的所有内容．

[跟踪训练3]　质点运动方程是s＝(s单位：米，t单位：秒)，求质点在t＝2时的速度．

解　s＝＝t－5，s′＝－5·t－6，s′|t＝2＝－.

质点在t＝2时的速度为－米/秒．

1．给出下列结论：

①(sinx)′＝－cosx；②′＝cos；

③若y＝，则y′＝－；④′＝－.

其中正确的个数是(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

答案　B

解析　因为(sinx)′＝cosx，所以①错误；因为′＝′＝0，所以②错误；因为′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误；因为′＝(x)′＝－x－＝－，所以④正确．

2．已知函数f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于(　　)

A．4  B．－4

C．5  D．－5

答案　A

解析　∵f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，∴a＝4.

3．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于的点为(　　)

A．

B．或

C．(k∈Z)

D．或(k∈Z)

答案　D

解析　设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cosx0＝，∴x0＝2kπ＋或x0＝2kπ－(k∈Z)，∴y0＝或－.

4．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为________.

答案　ln 2－1

解析　∵y＝ln x的导数y′＝，∴令＝，得x＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)．代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.

5．若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．

解　∵y＝x，∴y′＝－x－，

∴曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，

∴切线方程为y－a＝－a－(x－a)．

令x＝0得y＝a；

令y＝0得x＝3a.

∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

S＝·3a·a＝a＝18，

∴a＝64.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．若函数f(x)＝x2020，则f′＝(　　)

A．0  B．1

C．2019  D．2020

答案　B

解析　函数f(x)＝x2020，∴f′(x)＝2020x2019，

∴f′＝20202019＝2020×＝1，故选B．

2．给出下列结论：

①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；

③若y＝，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.

其中正确的个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

答案　C

解析　①y＝＝x－3，则y′＝－3x－4＝－；②y＝＝x，则y′＝x≠；③y＝＝x－2，则y′＝－2x－3；④由f(x)＝3x，知f′(x)＝3，∴f′(1)＝3.∴①③④正确．

3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)

A．  B．2e2

C．e2  D．

答案　D

解析　y′＝ex，y′|x＝2＝e2.∵切线方程为y－e2＝e2(x－2)，∴y＝e2x－e2.令x＝0得y＝－e2；令y＝0得x＝1.∴S＝×1×e2＝.

4．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为(　　)

A．  B．

C．  D．1

答案　B

解析　对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn.令x＝1，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B．

5．(多选)过点(1,1)作曲线y＝x3的切线，则切线方程可能是(　　)

A．3x＋y－2＝0  B．3x－y－2＝0

C．3x－4y＋1＝0  D．3x＋4y－1＝0

答案　BC

解析　y＝x3，y′＝3x2.①若(1,1)为切点，则k＝3，切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0；②若(1,1)不是切点，则设切点Q(x0，x)，k＝3x＝⇒2x－x0－1＝0⇒x0＝1(舍去)或x0＝－.所以切线方程为y－1＝(x－1)，即3x－4y＋1＝0.故选BC．

二、填空题

6．曲线y＝在x＝1处的切线的倾斜角为________.

答案　

解析　y′＝′＝－，∴当x＝1时，y′＝－1＝k，∴倾斜角为.

7．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)的值等于________.

答案　3

解析　由已知得，f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝，f(1)＋f′(1)＝＋＝3.

8．函数f(x)＝ 的导数是________.

答案　f′(x)＝·x－

解析　f(x)＝ ＝x，∴f′(x)＝·x－.

三、解答题

9．求与曲线y＝在点P(8,4)处的切线垂直于点P的直线方程．

解　∵y＝，

∴y′＝()′＝(x)′＝x－，

∴当x＝8时，y′＝×8－＝.

即曲线在点P(8,4)处的切线的斜率为.

∴所求直线的斜率为－3.

直线方程为y－4＝－3(x－8)，即3x＋y－28＝0.

10．已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m,4(1<m<4)，当△ABC的面积最大时，求m的值．

解　如图，在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过B点的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大．

∵y′|x＝m＝，A点坐标为(1,1)，C点坐标为(4,2)，

∴kAC＝＝，∴＝，∴m＝.

B级：“四能”提升训练

1．已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．

解　假设存在这样的公共点，并设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，

∴两条曲线在P(x0，y0)处的切线斜率分别为

k1＝y′|x＝x0＝cosx0，k2＝y′| x＝x0＝－sinx0.

若使两条切线互相垂直，必须有cosx0·(－sinx0)＝－1，

即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，

∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．

2．已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A，B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP的面积最大．

解　设P(x0，y0)，过点P与直线AB平行的直线为l，如图．因为直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A，B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到直线AB的距离最大，而P点是抛物线的弧上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，

y＝，y′＝，由题意知kAB＝.

所以kl＝＝，即x0＝1，所以y0＝1.

所以P(1,1)．