高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算学案及答案

5．2.2　导数的四则运算法则

(教师独具内容)

课程标准：能利用导数的四则运算法则，求简单函数的导数．

教学重点：基本初等函数的导数公式和四则运算法则．

教学难点：函数的求导法则及其应用.

知识点　导数的四则运算法则

一般地，对于两个函数f(x)和g(x)的和(或差)的导数，我们有如下法则：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x).

事实上，对于两个函数f(x)和g(x)的乘积(或商)的导数，我们有如下法则：

[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

′＝(g(x)≠0)．

由函数的乘积的导数法则可以得出[cf(x)]′＝c′f(x)＋cf′(x)＝cf′(x)，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即[cf(x)]′＝cf′(x).

1．函数的和(或差)的导数

导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．

2．函数的积的导数

(1)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，其中a，b为常数．

(2)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)·…·w(x)]′＝u′(x)v(x)·…·w(x)＋u(x)v′(x)·…·w(x)＋…＋u(x)v(x)·…·w′(x)．

3．函数的商的导数

(1)注意′≠.

(2)(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，＝，′＝－.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　　)

(2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　　)

(3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cosx.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×

2．做一做

求下列函数的导数：

(1)y＝2x＋sincos；(2)y＝x－log2x；(3)y＝.

答案　(1)y′＝2xln 2＋cosx　(2)y′＝1－

(3)y′＝－

题型一　利用导数的运算法则求函数的导数

例1　求下列函数的导数：

(1)y＝＋；(2)y＝x3·10x；

(3)y＝cosx·ln x；(4)y＝.

[解]　(1)y＝＋＝2x－2＋3x－3，

y′＝－4x－3－9x－4.

(2)y′＝(x3)′·10x＋x3·(10x)′

＝3x2·10x＋x3·10x·ln 10.

(3)y′＝(cosx)′·ln x＋cosx·(ln x)′

＝－sinx·ln x＋.

(4)y′＝＝.

(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导．

(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．

[跟踪训练1]　求下列函数的导数：

(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；

(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．

解　(1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.

(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝x2ex(3＋x)．

(3)∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，

∴y′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.

题型二　导数的应用

例2　设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

[解]　(1)由7x－4y－12＝0得y＝x－3.

当x＝2时，y＝，∴f(2)＝2a－＝，①

又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝a＋＝.②

由①②得解得

故f(x)＝x－.

(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝·(x－x0)，

即y－＝(x－x0)．

令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.

令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

∴点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.

利用导数的几何意义求参时，常根据以下关系列方程：(1)函数在切点处的导数等于切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上；(4)题目所给的其他条件．最后通过解方程(组)确定参数的值．

[跟踪训练2]　已知曲线C1：y＝ax2上点P处的切线为l1，曲线C2：y＝bx3上点P′(1，b)处的切线为l2，且l1⊥l2，垂足为M(2,2)，求a，b的值及P点坐标．

解　设P(t，at2)，∴l1的斜率为k1＝2at，

l1的方程为y－at2＝2at(x－t)．

又l2的斜率为k2＝3bx2|x＝1＝3b，

∴l2的方程为y－b＝3b(x－1)．

∵l1⊥l2且交点为M(2,2)，

∴

∴t＝10，a＝－，b＝，

∴P.

1．下列运算中正确的是(　　)

A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′

B．(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2′(x2)′

C．′＝

D．(cosx·sinx)′＝(sinx)′cosx＋(cosx)′cosx

答案　A

解析　A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，正确；B项中，(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2(x2)′，错误；C项中，′＝，错误；D项中，(cosx·sinx)′＝(cosx)′sinx＋cosx(sinx)′，错误．

2．若函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0等于(　　)

A．a  B．±a

C．－a  D．a2

答案　B

解析　y′＝′＝＝，由x－a2＝0，得x0＝±a.

3．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为(　　)

A．  B．0

C．钝角  D．锐角

答案　C

解析　∵f′(x)＝exsinx＋excosx，∴f′(4)＝e4(sin4＋cos4)．∵π<4<，∴sin4<0，cos4<0，∴f′(4)<0.由导数的几何意义得，切线的倾斜角为钝角．

4．已知函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋2x＋5，则f′(1)＝________，f′(2)＝________.

答案　1　2

解析　由题得f′(x)＝x2－2f′(1)x＋2，所以f′(1)＝1－2f′(1)＋2，所以f′(1)＝1，所以f′(x)＝x2－2x＋2，所以f′(2)＝4－4＋2＝2.

5．求下列函数的导数：

(1)y＝sinx＋x；(2)y＝；

(3)y＝；(4)y＝.

解　(1)y′＝(sinx)′＋x′＝cosx＋1.

(2)y′＝＝.

(3)由于y＝＝3x－x＋5－9x－，

则y′＝3·(x)′－x′＋5′－9(x)′＝3·x－1＋0－9×x－＝－1.

(4)由于y＝＝e2·x－1，则y′＝(e2·x－1)′＝－1×e2×x－1－1＝－.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．已知f(x)＝，则f′＝(　　)

A．－2－ln 2  B．－2＋ln 2

C．2－ln 2  D．2＋ln 2

答案　D

解析　依题意有f′(x)＝·′＝·

，故f′＝2＋ln 2，所以选D．

2．函数f(x)＝xcosx－sinx的导函数是(　　)

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数，又不是偶函数

答案　B

解析　f′(x)＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.令F(x)＝－xsinx，x∈R，则F(－x)＝xsin(－x)＝－xsinx＝F(x)，∴f′(x)是偶函数．

3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(2)＝(　　)

A．  B．1

C．－1  D．－

答案　D

解析　依题意f′(x)＝2f′(1)＋，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)＋1，f′(1)＝－1.所以f′(x)＝－2＋，所以f′(2)＝－2＋＝－，故选D．

4．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为(　　)

A．(0，＋∞)  B．(－1,0)∪(2，＋∞)

C．(2，＋∞)  D．(－1,0)

答案　C

解析　∵f(x)＝x2－2x－4ln x，∴f′(x)＝2x－2－>0，整理得>0，解得－1<x<0或x>2.又x>0，∴x>2.

5．(多选)已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，单位：秒，s表示位移，单位：米)，则瞬时速度为0的时刻可以为(　　)

A．0秒  B．2秒

C．4秒  D．8秒

答案　ACD

解析　s′＝t3－12t2＋32t，令s′＝0，即t3－12t2＋32t＝0，解得t＝0,4,8.故选ACD．

二、填空题

6．已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________.

答案　e

解析　由函数的解析式可得f′(x)＝ex×ln x＋ex×＝ex，则f′(1)＝e1×＝e，即f′(1)的值为e.

7．函数y＝在x＝2处的导数是________.

答案　

解析　y′＝′

＝

＝，

所以y′|x＝2＝.

8．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________.

答案　1

解析　∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx，∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1.∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx，∴f＝1.

三、解答题

9．已知点P是曲线y＝x2－ln x上一点，求点P到直线y＝x－2的最小距离．

解　作直线与直线y＝x－2平行，且与曲线y＝x2－ln x相切，则切点P到直线y＝x－2的距离最小．

设P(x0，x－ln x0)，

则k＝y′|x＝x0＝2x0－＝1，

∴x0＝1或x0＝－(舍去)，

∴点P的坐标为(1,1)．

∴dmin＝＝.

10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0，1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．

解　∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.

又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．

故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.

∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.

∵函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝x－2，

∴切点坐标为(1，－1)．

∴a＋c＋1＝－1.

∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.

∴a＝，c＝－.

∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.

B级：“四能”提升训练

1．求满足下列条件的函数f(x)：

(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；

(2)f′(x)是一次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.

解　(1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，

则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.

由f(0)＝3，得d＝3，由f′(0)＝0，得c＝0，

由f′(1)＝－3，f′(2)＝0可建立方程组

解得

所以f(x)＝x3－3x2＋3.

(2)由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数，

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.

由x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，得

x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，

即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.

要使方程对任意x都成立，则需a＝b，b＝2c，c＝1.

解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.

2．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．

解　(1)f′(x)＝＝.

∵f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，

∴即

∴a＝4，b＝1，

∴f(x)＝.

(2)∵f′(x)＝，

∴直线l的斜率k＝f′(x0)＝＝4.

令t＝，则t∈(0,1]，

k＝4(2t2－t)＝82－，

∴k∈，即直线l的斜率k的取值范围是.