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选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用导学案及答案
展开5.3.1 函数的单调性
(教师独具内容)
课程标准:1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
教学重点:利用导数求函数的单调区间和判断函数的单调性.
教学难点:根据函数的单调性求参数的取值范围.
知识点一 函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间的关系
一般地,函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系:
在某个区间(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;
在某个区间(a,b)上,如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.
知识点二 判断函数y=f(x)的单调性的步骤
一般情况下,我们可以通过如下步骤判断函数y=f(x)的单调性:
第1步:确定函数的定义域;
第2步:求出导数f′(x)的零点;
第3步:用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
知识点三 函数图象的平缓与陡峭的判断方法
一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”.
1.函数的单调性与导数
(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时,应先确定函数的定义域,解决问题时在定义域内通过导数的符号来得出函数的单调区间.
(2)一般利用使导数等于0的点来划分函数单调区间.
(3)若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)在该区间仍为增函数.
在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件,而不是充要条件.(例如f(x)=x3)
2.求函数单调区间的方法
求函数的单调区间,就是解不等式f′(x)>0或f′(x)<0,这些不等式的解就是所求的单调区间,其步骤如下:
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求出f′(x);
(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)可得函数的增区间(或减区间).
3.已知函数y=f(x),x∈[a,b]的单调性,求参数的取值范围的步骤
(1)求导数y=f′(x);
(2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a,b]上恒成立问题;
(3)由不等式恒成立求参数范围;
(4)验证等号是否成立.
4.“函数变化快慢与其导数的关系”
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则函数f(x)在定义域上单调递增.( )
(2)函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”.( )
(3)函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大.( )
答案 (1)× (2)× (3)√
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数y=x3+x在(-∞,+∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的.
(2)若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在R上为增函数,则a,b,c的关系式为________.
(3)函数y=x3+x2-5x-5的单调递增区间是________.
答案 (1)上升 (2)a>0,且b2≤3ac (3),(1,+∞)
题型一 求函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x2-ln x;(2)f(x)=;
(3)f(x)=-x3+3x2;(4)f(x)=-ax3+x2+1(a≤0).
[解] (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=2x-=.
因为x>0,所以x+1>0,所以由f′(x)=0,
得x=.
因为当x>时,f′(x)>0,
所以函数f(x)的单调递增区间为;
因为当0
f′(x)==.
令f′(x)=0,得x=3.
因为x∈(-∞,2)∪(2,+∞),
所以ex>0,(x-2)2>0.
所以当x>3时,f′(x)>0,所以函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞);当x<3时,f′(x)<0,又函数f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,2)和(2,3).
(3)f(x)=-x3+3x2的定义域为(-∞,+∞).
f′(x)=-3x2+6x=-3x(x-2).令f′(x)=0,得x=0或x=2.
因为当0
因为当x<0或x>2时,f′(x)<0,所以函数在区间(-∞,0)和(2,+∞)上是单调递减的.
故函数f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(-∞,0)和(2,+∞).
(4)解法一:f′(x)=-ax2+2x(a≤0).
①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
②当a<0时,令f′(x)=0,得x=0或x=.
因为-a>0,<0,所以当x>0或x<时,f′(x)>0;当
解法二:f′(x)=-ax2+2x(a≤0).
①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
②当a<0时,令f′(x)>0,所以(-ax+2)x>0,即x>0,得x>0或x<,由f′(x)<0,得
(1)利用导数求函数f(x)的单调区间,可以利用判断函数单调性的步骤来求,也可以转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0来求.
(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时,应用“及”“和”等连接或直接用逗号隔开,不能写成并集的形式.
(3)要特别注意函数的定义域.
[跟踪训练1] 求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=(1-x)ex;
(2)f(x)=x3-2x2+x;
(3)f(x)=x+sinx,x∈(0,π);
(4)f(x)=(x>0且x≠1).
解 (1)因为f(x)=(1-x)ex,所以f′(x)=-xex,因为x<0时,f′(x)>0,x>0时,f′(x)<0,所以所求函数的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).
(2)解法一:因为f(x)=x3-2x2+x,所以f′(x)=3x2-4x+1,x∈R.
令f′(x)=0,得3x2-4x+1=0,解得x=或x=1.
因为当x<或x>1时,3x2-4x+1>0,当
①令3x2-4x+1>0,得x>1或x<.
②令3x2-4x+1<0,得
(3)因为f(x)=x+sinx,所以f′(x)=+cosx,
①令f′(x)>0,得cosx>-,又因为x∈(0,π),
所以0
又因为x∈(0,π),所以
(4)解法一:函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞),
f′(x)=-,令f′(x)=0得x=.
列表如下:
x
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
-
所以f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是,(1,+∞).
解法二:函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞),f′(x)=-,
由f′(x)>0得ln x+1<0,所以0
又因为x≠1,所以
所以f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是和(1,+∞).
题型二 原函数与其导函数图象之间的关系
例2 f′(x)是函数y=f(x)的导函数,若y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )
[解析] 由导函数的图象可知,当x<0时,f′(x)>0,即函数f(x)为增函数;当0
[答案] C
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
[跟踪训练2] 设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为( )
答案 D
解析 应用函数的单调性与其导数的正负之间的关系来判断导函数的图象.
题型三 应用函数单调性求参数范围
例3 已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x,a≠0.若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.
[解] h(x)=ln x-ax2-2x,x∈(0,+∞),
所以h′(x)=-ax-2.
因为h(x)在[1,4]上单调递减,
所以x∈[1,4]时,h′(x)=-ax-2≤0恒成立,
即a≥-恒成立,设G(x)=-,
所以a≥G(x)max,而G(x)=2-1.
因为x∈[1,4],所以∈,
所以G(x)max=-(此时x=4),
所以a≥-.
当a=-时,
h′(x)=+x-2==.
因为x∈[1,4],
所以h′(x)=≤0,
即h(x)在[1,4]上为减函数.
故实数a的取值范围是.
已知f(x)在区间(a,b)上的单调性求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理:f(x)在(a,b)上单调递增(减),则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)利用不等式的恒成立处理:f(x)在(a,b)上单调递增(减),则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.
(3)对于探索性问题,一般先对结论肯定存在的假设,然后由此假设出发,根据已知条件进行推理论证.
[跟踪训练3] 已知函数f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R).若函数f(x)在x∈[2,+∞)上是单调递增的,求a的取值范围.
解 f′(x)=2x-=.
要使f(x)在[2,+∞)上是单调递增的,则f′(x)≥0在x∈[2,+∞)时恒成立,
即≥0在x∈[2,+∞)时恒成立.
∵x2>0,∴2x3-a≥0,
∴a≤2x3在x∈[2,+∞)上恒成立,
∴a≤(2x3)min.
∵x∈[2,+∞),y=2x3是单调递增的,
∴(2x3)min=16,∴a≤16.
当a=16时,f′(x)=≥0(x∈[2,+∞))有且只有f′(2)=0,
∴a的取值范围是a≤16.
题型四 利用导数证明不等式
例4 求证:当n∈N*,且n≥3时,2n>2n+1.
[证明] 设f(x)=2x-2x-1(x≥3),
则f′(x)=2xln 2-2(x≥3).
因为x≥3,
所以f′(x)≥23·ln 2-2>0.
所以f(x)在[3,+∞)上是增函数.
所以f(x)的最小值为f(3)=23-2×3-1=1>0.
所以当n∈N*,且n≥3时,f(n)≥f(3)>0,
即2n-2n-1>0恒成立.
故当n∈N*,且n≥3时,2n>2n+1成立.
利用导数证明此类不等式,可以作不等式两边的差构造函数f(x).因此,要证不等式成立,只需证f(x)>0在其定义域内恒成立即可.
[跟踪训练4] 已知函数f(x)=ln x-.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)证明:当x>1时,f(x)
f′(x)=-x+1=,x∈(0,+∞).
令f′(x)=0,得x=或x=(舍去).
因为当0
所以函数f(x)的单调递增区间是.
(2)证明:令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞).
则有F′(x)=.
当x∈(1,+∞)时,F′(x)<0,
所以F(x)在[1,+∞)上单调递减,
故当x>1时,F(x)
1.已知函数y=xf′(x)的图象如下图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中y=f(x)的图象大致是( )
答案 C
解析 由题图可得,当x<-1时,xf′(x)<0,∴f′(x)>0,∴x<-1时,函数y=f(x)单调递增;当-1
2.在区间(0,+∞)上,函数y=ex-x( )
A.单调递增
B.单调递减
C.先单调递增后单调递减
D.先单调递减后单调递增
答案 A
解析 因为y′=ex-1,x∈(0,+∞),所以ex-1>0,所以函数在(0,+∞)上单调递增.故选A.
3.(多选)将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不正确的是( )
答案 ABD
解析 对于A,由函数y=f′(x)的图象可知,f′(0)=0,但函数y=f(x)在x=0处的切线斜率不存在,不符合题意;对于B,由函数y=f′(x)的图象可知函数y=f(x)存在增区间,但图中函数y=f(x)为减函数,不符合题意;对于C,由函数y=f′(x)的图象可知函数y=f(x)在R上为增函数,符合题意;对于D,由函数y=f′(x)的图象可知函数y=f(x)有两个单调区间,但图中函数y=f(x)有三个单调区间,不符合题意.故选ABD.
4.已知函数f(x)=x3-3x,则f(x)在x=0处的切线方程为________,单调递减区间是________.
答案 y=-3x (-1,1)
解析 依题意f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).f′(0)=-3,f(0)=0,故所求切线方程为y=-3x.令f′(x)=0,得x=-1或x=1.因为当-1
若b>0,则f′(x)<0,函数f(x)在(0,1)上单调递减;
若b<0,则f′(x)>0,函数f(x)在(0,1)上单调递增.
又函数f(x)是奇函数,而奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性.
所以当b>0时,函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当b<0时,函数f(x)在(-1,1)上单调递增.
A级:“四基”巩固训练
一、选择题
1.函数f(x)=x3-3x+1的单调递减区间为( )
A.(-1,1) B.(1,2)
C.(-∞,-1) D.(-∞,-1),(1,+∞)
答案 A
解析 f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0,得x=1或x=-1.因为当-1
答案 A
解析 因为导函数f′(x)是增函数,所以切线的斜率随着切点横坐标的增大,逐渐增大.故选A.
3.函数y=x2ex的大致图象为( )
答案 A
解析 y′=2xex+x2ex=x(x+2)ex,故y=x2ex在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,且当x<0时,y=x2ex>0.故选A.
4.已知f′(x)是f(x)的导函数,若f′(x)的图象如图所示,则f(x)的图象可能是( )
答案 D
解析 从f′(x)的图象可以看出,在区间(a,b)内,导函数大于0,且在区间内,导函数单调递增;在区间内,导函数单调递减.所以函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,且f(x)的图象在区间内越来越陡峭,在区间内越来越平缓,由此可知,只有D符合.
5.(多选)若函数exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中,具有M性质的函数为( )
A.f(x)=2-x B.f(x)=3-x
C.f(x)=x3 D.f(x)=x2+2
答案 AD
解析 对于A,f(x)=2-x,则g(x)=exf(x)=ex·2-x=x为实数集上的增函数;对于B,f(x)=3-x,则g(x)=exf(x)=ex·3-x=x为实数集上的减函数;对于C,f(x)=x3,则g(x)=exf(x)=ex·x3,g′(x)=ex·x3+3ex·x2=ex(x3+3x2)=ex·x2·(x+3),当x<-3时,g′(x)<0,当x>-3时,g′(x)>0,∴g(x)=exf(x)在定义域R上先单调递减后单调递增;对于D,f(x)=x2+2,则g(x)=exf(x)=ex(x2+2),g′(x)=ex(x2+2)+2xex=ex(x2+2x+2)>0在实数集R上恒成立,∴g(x)=exf(x)在定义域R上是增函数.故选AD.
二、填空题
6.函数f(x)=的单调递增区间为________.
答案 (0,e)
解析 f′(x)=,令f′(x)=0,得x=e.因为当0
7.若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是________.
答案 (0,+∞)
解析 y′=-x2+a,若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则方程-x2+a=0应有两个不相等的实根,故a的取值范围是(0,+∞).
8.函数f(x)=的单调递增区间是________,曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程是________.
答案 (0,1) y=1
解析 因为函数f(x)=,x>0,f′(x)=-,显然当0
三、解答题
9.设f(x)=-x3+x2+2ax.若f(x)在上存在单调递增区间,求a的取值范围.
解 f′(x)=-x2+x+2a=-2++2a,当x∈时,f′(x)的最大值为f′=+2a.
函数f(x)在上存在单调递增区间,即在上导函数大于零有解,令+2a>0,得a>-.所以a的取值范围是.
10.已知a是实数,函数f(x)=x3-ax2-4x+4a.
(1)若f′(-1)=0,求实数a的值;
(2)若函数f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上都是单调递增的,求实数a的取值范围.
解 (1)由f(x)=x3-ax2-4x+4a,得f′(x)=3x2-2ax-4.由f′(-1)=0,得a=.
(2)f′(x)=3x2-2ax-4的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线.
因为f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上都是递增的,
所以方程3x2-2ax-4=0的两解必在[-2,2]内,
故f′(-2)≥0,且f′(2)≥0.
即所以-2≤a≤2,
所以实数a的取值范围为[-2,2].
B级:“四能”提升训练
1.当x>0时,证明:不等式ln (x+1)>x-x2.
证明 设f(x)=ln (x+1),g(x)=x-x2,
F(x)=f(x)-g(x),
则F(x)=ln (x+1)-x+x2.
函数F(x)的定义域为(-1,+∞),
F′(x)=-1+x=.
当x>0时,F′(x)>0恒成立,
所以函数F(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,
故当x>0时,F(x)>F(0)=0,从而f(x)>g(x),
即ln (x+1)>x-x2.
2.已知函数f(x)=ln x+ax+-1.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)当-≤a≤0时,讨论f(x)的单调性.
解 (1)当a=1时,f(x)=ln x+x+-1,
此时f′(x)=+1-,f′(2)=+1-=1.
又因为f(2)=ln 2+2+-1=ln 2+2,
所以切线方程为y-(ln 2+2)=x-2,
整理得x-y+ln 2=0.
(2)f′(x)=+a-=
=.
当a=0时,f′(x)=.
此时,在(0,1)上,f′(x)<0,f(x)单调递减;
在(1,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单调递增.
当a=-时,f′(x)=-≤0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.
当- ->1,此时在(0,1)和上,
f′(x)<0,f(x)单调递减;
在上,f′(x)>0,f(x)单调递增.
综上,当a=0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;
当- 当a=-时,f(x)在(0,+∞)上单调递减.
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