北师大版 (2019)必修 第二册6.2 柱、锥、台的体积一课一练

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1．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是( )
A．9eq \r(55)π B．9eq \r(55)
C．3eq \r(55)π D．3eq \r(55)
2．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ACD的体积是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D．1
3．棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )
A.eq \f(a3,3) B.eq \f(a3,4)
C.eq \f(a3,6) D.eq \f(a3,12)
4．在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，各侧棱和底面的边长均为a，点D是CC1上任意一点，连接A1B，BD，A1D，AD，则三棱锥A ­ A1BD的体积为( )
A.eq \f(1,6)a3 B.eq \f(\r(3),12)a3
C.eq \f(\r(3),6)a3 D.eq \f(1,12)a3
5．一个长方体的三个面的面积分别是eq \r(2)，eq \r(3)，eq \r(6)，则这个长方体的体积为________．
6．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．
[提能力]
7．[多选题]如图所示，正方体ABCD ­ A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′ ­ EFQ的体积与点E、F、Q的位置关系说法错误的是( )
A．与点E，F的位置有关
B．与点Q的位置有关
C．与点E，F，Q的位置都有关
D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值
8．棱台上、下底面面积之比为1:9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是________．
9．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，求h.
[战疑难]
10．体积为1的正四面体被放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值是________．
课时作业48 柱、锥、台的体积
1．解析：设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝6π，
∴r＝3.设圆锥的高为h，则h＝ eq \r(82－32)＝eq \r(55)，
∴V圆锥＝eq \f(1,3)πr2h＝3eq \r(55)π.故选C.
答案：C
2．解析：三棱锥D1­ADC的体积V＝eq \f(1,3)S△ADC×D1D＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×1＝eq \f(1,6).故选A.
答案：A
3．解析：棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体实际上是两个底面相等的正四棱锥，四棱锥的底面是正方形面积的一半，高为正方体高的一半，故八面体的体积为2×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×a×a×eq \f(1,2)×a＝eq \f(a3,6)，故选C.
答案：C
4．解析：
如图，由条件可得点B到侧面ACC1A1的距离为eq \f(\r(3),2)a，即三棱锥B ­ AA1D的高为eq \f(\r(3),2)a.
∴VA ­ A1BD＝VB ­ AA1D＝eq \f(1,3)·S△AA1D·eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)a2×eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3),12)a3.
答案：B
5．解析：设长方体中从一个顶点出发的三条棱的长分别为a，b，c.
由长方体的三个面的面积分别是eq \r(2)，eq \r(3)，eq \r(6)，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘可得(abc)2＝6，
∴长方体的体积V＝abc＝eq \r(6).
答案：eq \r(6)
6．解析：设圆锥的底面半径为r，母线为l，
则2πr＝eq \f(1,3)πl，得l＝6r.
又S锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，
得r＝eq \r(\f(15,7))，
圆锥的高h＝eq \r(35)·eq \r(\f(15,7))，
V＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)π×eq \f(15,7)×eq \r(35)×eq \r(\f(15,7))＝eq \f(25\r(3),7)π.
7．解析：因为点Q到平面A′EF的距离为正方体的棱长4，A′到EF的距离为正方体的棱长4，所以V三棱锥A′ ­ EFQ＝V三棱锥Q ­ A′EF＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×4×4＝eq \f(16,3)，是定值，因此三棱锥A′ ­ EFQ的体积与点E，F，Q的位置均无关．故选ABC.
答案：ABC
8．解析：设棱台高为2h，上底面面积为S，则下底面面积为9S，中截面面积为4S，
eq \f(V上,V下)＝eq \f(\f(1,3)S＋\r(S·4S)＋4S·h,\f(1,3)4S＋\r(4S·9S)＋9S·h)＝eq \f(7,19).
答案：eq \f(7,19)
9．解析：设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为eq \f(1,3)πR2h，
圆柱形容器内的液体体积为πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2h.
根据题意，有eq \f(1,3)πR2h＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2h，解得R＝eq \f(\r(3),2)a.
再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得eq \f(\f(\r(3),2)a,a)＝eq \f(h,a)，所以h＝eq \f(\r(3),2)a.
10．解析：反向考虑，边长为a的正方体，其最大内接正四面体的顶点由互不共棱的正方体顶点组成，其体积为a3－4×eq \f(1,6)a3＝eq \f(1,3)a3，令eq \f(1,3)a3＝1，得a3＝3，故此正方体体积的最小值是3.
答案：3