2022-2023学年福建省南平市建阳区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省南平市建阳区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  要使在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式中，不能再化简的二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  小华想用老师提供的三条线段首尾相连围成一个直角三角形，则他应该选择的三条线段长度是(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

5.  下列命题中正确的是(    )

A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

6.  如图，为测量池塘边、两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得、的中点分别是点、，且，则、间的距离是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，菱形中，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  在中，、、的对边分别记为、、，下列结论中不正确的是(    )

A. 如果，那么是直角三角形
B. 如果，那么是直角三角形
C. 如果：：：：，那么是直角三角形
D. 如果：：：：，那么是直角三角形

9.  如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，，，则矩形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，，点是斜边上的一个动点，把沿直线翻折，使点落在点处，当平行于的一条直角边时，的长为(    )

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  ______．

12.  命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是______ ．

13.  如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则菱形的面积为        ．

14.  如图，在中，，，，点为的中点，则______．

15.  当时，代数式 ______ ．

16.  如图是的高，，若，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
计算：．

18.  本小题分
已知，，求下列式子的值：
；
．

19.  本小题分
如图，正方形网格中的每个小正方边长都是，则图中线段 ______ ；
以线段为边画一个边长均为无理数的直角三角形说明：直角三角形的顶点均为小正方形的顶点
 

20.  本小题分
已知：如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两个点，且求证：．

21.  本小题分
如图，在中，是的垂直平分线，其中，，，证明：是直角三角形．

22.  本小题分
如图，在中，，分别为，的中点，延长到，使，连接，，，
求证：四边形为平行四边形；
当时，判断平行四边形为那种特殊四边形，并说明理由．

23.  本小题分
如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．
求证：≌；
若，，求的长．

24.  本小题分
如图，在矩形中，，，，分别是，边上的点，且，，，分别是对角线上的四等分点，顺次连接，，，，．
求证：四边形是平行四边形；
填空：当______时，四边形是矩形；
当______时，四边形是菱形；
求四边形的周长的最小值．

25.  本小题分
数学活动课上，老师给出如下定义：如果一个矩形的其中一边是另一边的倍，那么称这个矩形为“和谐矩形”如图，在矩形中，，则矩形是“和谐矩形”是边上任意一点，连接，作的垂直平分线分别交，于点，，与的交点为，连接和．

试判断四边形的形状，并说明理由；
如图，在“和谐矩形”中，若，且，是边上一个动点，把沿折叠．点落在点处，若恰在矩形的对称轴上，则的长为______；
如图，记四边形的面积为，“和谐矩形”的面积为，且，若为常数，且，求的长．用含有的代数式表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在实数范围内有意义，
，
．
故选：．
根据二次根式中的被开方数是非负数，列出不等式，解之即可得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出被开方数的取值范围是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不能再化简，故符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：．
利用二次根式的性质化简后即可判断．
此题考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据二次根式的性质化简即可．
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故选项A不符合题意；
，故选项B符合题意；
，故选项C不符合题意；
，故选项D不符合题意；
故选：．
根据三边的长，运用勾股定理的逆定理进行分析解答即可．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
 

5.【答案】 

【解析】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是假命题；
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题；
D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，是假命题，
故选：．
根据矩形、菱形、平行四边形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

6.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
故选：．
根据、分别是、的中点，可得出是的中位线，得出，即可求解．
本题主要考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，
，，
，
故选：．
由菱形的性质得到，，利用等边对等角和三角形内角和即可得到答案．
此题考查了菱形的性质、等边对等角等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
，
，
如果，那么是直角三角形，故选项A不符合题意；
如果，那么是直角三角形，故选项B不符合题意；
如果：：：：，则最大的内角，则该三角形为锐角三角形，故选项C符合题意；
如果：：：：，则，故选项D不符合题意；
故选：．
根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形内角和，解答本题的关键是可以判断出各选项中结论是否正确．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，如图：

是的垂直平分线，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
矩形的面积为，
故选：．
连接，由线段垂直平分线的性质得出，，证明≌得出，得出，，由勾股定理求出，即可求得矩形的面积．
本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，
，
由翻折性质得：，，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，，
，
，
，
；
当时，如图所示：

由翻折性质可得：，
，
，
，
，
，，
，
，
；
故选：．
分两种情况：当时，根据翻折的性质得到即可求解；当时，求出即可求得答案．
本题考查了直角三角形的性质和翻折性质，灵活运用所学知识是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确开平方是解题的关键．
将被开方数分解为，进而开平方即可得出答案．
【解答】
解：，
故答案为：．  

12.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 

【解析】解：“平行四边形对角线互相平分”的条件是：四边形是平行四边形，结论是：四边形的对角线互相平分．
所以逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
把一个命题的题设和结论互换就可得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

13.【答案】 

【解析】解：在菱形中，对角线，交于点，，，
，，
菱形的面积为．
故答案为：．
根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．
此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形面积．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
由勾股定理可知：，
点为的中点，

故答案为：
根据勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及直角三角形斜边上的中线，本题属于基础题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：时，
，
，
，
，
原式
．
故答案为：．
根据完全平方公式以及二次根式的性质即可求出答案．
本题考查了二次根式的化简求值，根据代数式的特点利用完全平方公式化简是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图以为边作正方形，在上截取，

和中：，，，
≌，
，，
，
，
，
和中：，，，
≌，
，
设，
则，，
在直角中由勾股定理得：，

解得：，
故答案为：；
以为边作正方形，在上截取，由≌求得，，进而可得，再由正方形的性质可得≌，于是，设，在直角中利用勾股定理建立方程求解即可；
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理；正确作出辅助线是解题关键．
 

17.【答案】解：

；



． 

【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，




；
，





． 

【解析】根据完全平方公式分解因式，然后再代入数值计算即可；
直接代入数据，再利用平方差公式进行计算即可．
本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式，准确计算．
 

19.【答案】 

【解析】解：；
故答案为：；
如图，即为所求作答案不唯一．

利用勾股定理进行求解即可．
根据直角三角形的定义及无理数的定义画出图形即可答案不唯一．
本题考查勾股定理的逆定理，正确理解无理数的概念和应用勾股定理是解题关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】先根据平行四边形的性质得到，，再利用证明≌即可证明．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知平行四边形对边相等且平行是解题的关键．
 

21.【答案】证明：是的垂直平分线，
，
，，
，
是直角三角形，
是直角三角形． 

【解析】根据线段垂直平分线得出，利用勾股定理的逆定理解答即可．
此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据线段垂直平分线得出解答．
 

22.【答案】证明：点是的中点，
，
，
四边形为平行四边形；
解：当时，四边形为矩形；
，点为的中点，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为矩形． 

【解析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明结论；
根据等腰三角形的三线合一的性质可得，当时，可证明，从而四边形为矩形．
本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
 

23.【答案】证明：
四边形，是正方形，
，，，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
四边形是正方形，，
，，
，，
，
，
，
． 

【解析】由正方形，正方形可得，，，后利用即可证明结论；
由则可得，后在中，利用勾股定理可得的长，进而求得的长．
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

24.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，分别是对角线上的四等分点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
；；
解：过作于，延长到点，使得，连接，，过作于点，如下图，

则，，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
当、、三点共线，的值最小，其值为，
四边形的周长的最小值为：． 

【解析】见答案；
解：当时，四边形是矩形．理由如下：
连接，如下图，

，，
，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，分别是对角线上的四等分点，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
故答案为：；
当时，四边形是菱形．理由如下：
连接、、，如下图，

，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
四边形是菱形，
，即，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
故答案为：；
见答案．
证明≌，进而得，，便可得结论；
连接，证明四边形为平行四边形，得，进而得四边形是矩形；
连接、、，证明四边形是菱形，得，便可得四边形是菱形；
过作于，延长到点，使得，连接，过作于点，求得的最小值为，进而便可求得四边形的周长的最小值．
本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质与判定，含角的直角三角形的性质，菱形的判定和性质，轴对称最短路径问题，关键是综合应用矩形、菱形的性质，含角的直角三角形的性质，将军饮马原理等知识解决问题．
 

25.【答案】或 

【解析】解：四边形是菱形．
理由：如图，，
，；
垂直平分，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形；
，
四边形是菱形．
如图，设矩形的对称轴交于点，交于点，点在上，连结，，
由折叠得，垂直平分，，
垂直平分，
，
四边形是矩形，
由得，四边形是菱形，
；
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，且，
，
；
如图，矩形的对称轴交于点，交于点，点在上，
垂直平分，
，
，
四边形是正方形，
，
，
等于点到直线的距离，
点与点重合，
，
与重合，点与点重合，
，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
如图，由得，四边形是菱形，
设，
四边形是“和谐矩形”，且，
，
，，
，
，
，
，
，
，
由得，，

由矩形的性质及全等三角形的性质先证明四边形是平行四边形，再由证明四边形是菱形；
当点在经过、中点的对称轴上时，可证明是等边三角形；当点在经过、中点的对称轴上时，可证明点为边的中点，分别求出相应的的长即可；
由可知四边形是菱形，设，四边形是“和谐矩形”，且，则，由勾股定理分别求出、、的长，再由面积等式列方程求出的长即可．
此题重点考查矩形的性质、菱形的判定与性质、轴对称的特征、勾股定理、二次根式的化简、分类讨论数学思想的应用等知识与方法，此题综合性较强，计算较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题．