2023年四川省名校联考高考数学模拟试卷（文科）（二）

2023年四川省名校联考高考数学模拟试卷（文科）（二）

一、单选题（本大题共11小题，共55.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，若，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “”是“，是假命题”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  在各项均为正数的等比数列中，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在区间内随机取一个数，使得的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  函数在区间上的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，在长方体中，底面为正方形，，分别为，的中点，直线与平面所成角为，给出下列结论：
平面；
；
异面直线与所成角为；
三棱锥的体积为长方体体积的．
其中，所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为，则空白处应填入的条件是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  设，，，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知中，，，与交于点，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知双曲线：，其焦点到渐近线的距离为，则下列说法错误的是(    )

A.  B. 双曲线的渐近线方程为：
C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线上的点到焦点距离的最小值为

二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）

12.  已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知复数满足，则的最小值是______ ．

14.  函数在上单调递增，则的最大值为______．

15.  过抛物线：的焦点且倾斜角为锐角的直线与交于两点，横坐标分别为，，点在第一象限，为的准线，过点与垂直的直线与相交于点若，则 ______ ．

16.  已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为______．

四、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，在平面四边形中，．
若，求的面积；
若，求．

18.  本小题分
年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛某学校统计了该校名学生观看世界杯比赛直播的时长情况单位：分钟，将所得到的数据分成组：，，，，，，观看时长均在内，并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图．
求的值，并估计样本数据的中位数；
采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取人现从这人中随机抽取人分享观看感想，求抽取的人中恰有人的观看时长在的概率．

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面，梯形中，，，是的中点．
求证：平面平面；
若，求到平面的距离．

20.  本小题分
已知椭圆的短轴长为，左顶点到右焦点的距离为．
求椭圆的方程及离心率；
设直线与椭圆交于不同两点，不同于，且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程．

21.  本小题分
已知函数．
Ⅰ是否存在实数使得在上有唯一最小值，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由；
Ⅱ已知函数有两个不同的零点，记的两个零点是，
求证：；
求证：．

22.  本小题分
在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为为直线的倾斜角．
求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
设，直线与曲线相交于，两点，求的最大值．

23.  本小题分
不等式对于恒成立．
求证：；
求证：

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，又，且，
，
故选：．
先化简两集合，再由建立不等式即可得解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查集合的包含关系与充分条件，必要条件的等价对应法的应用，以及存在量词命题的否定，属于中档题．
先求出“，是假命题“对应的的范围，
再根据集合的包含关系与充分条件，必要条件的等价对应，即可求出．

【解答】

解：“，是假命题“，即，，
所以或，解得．
而，
所以“”是“，是假命题”的必要不充分条件．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：是等比数列，
，，，
，又，
．
故选：．
根据是等比数列可得，进一步结合即可求出的值．
本题考查等比数列的性质，考查学生逻辑推理与运算求解的能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为单调递增，，
所以，解得，
由几何概型的定义可得在区间内随机取一个数，使得的概率为，
故选：．
利用对数函数的单调性求出的范围，再根据几何概型的计算公式求解即可．
本题主要考查了与长度有关的几何概率的求解，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项C，，
当时，，，，故排除．
故选：．
根据函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断．
本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：取中点为，连接，．
对于，因为，，分别是，，的中点，所以，，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面D.
因为平面，平面，，所以平面平面，
又平面，所以平面，所以正确；
对于，由已知可得四边形是正方形，，
又平面，平面，所以，
因为平面，平面，，所以平面，
又平面，所以，故正确；
对于，取中点为，连结，，，．
因为，，，，所以，所以且，
所以四边形是平行四边形，则，所以异面直线与所成角即等于直线与所成角，
因为直线与平面所成角为，平面，所以，所以，
设，则，则，
所以为等边三角形，所以，故正确；
对于，设长方体体积为，则．
因为平面，则，故正确．
故正确．
故选：．
取中点为，可证明平面平面，根据面面平行的性质即可判断；可证明平面，即可判断；可证明四边形是平行四边形，即可得到，进而可得即等于所求角，求出该角即可判断；以为底，即可求出三棱锥的体积，进而判断．
本题主要考查空间线、面的位置关系的判断，异面直线所成角的求法，棱锥体积的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，不满足输出条件，执行循环体后，，，
当时，不满足输出条件，执行循环体后，，，
当时，不满足输出条件，执行循环体后，，，
当时，不满足输出条件，执行循环体后，，，
当时，不满足输出条件，执行循环体后，，，
当时，不满足输出条件，执行循环体后，，，
当时，不满足输出条件，执行循环体后，，，
当时，不满足输出条件，执行循环体后，，，
当时，不满足输出条件，执行循环体后，，，
当时，满足输出条件，
故空白处的条件为：，
故选：．
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：构建，则，
当时，则，故在上单调递增，
，则，即，
，即，
构建，则，
当时，则，故在上单调递减，
，则，即，
，
又，则，
，故，即，
综上所述：．
故选：．
构建，求导，利用导数判断单调性，结合单调性可证，再构建，求导，利用导数判断单调性，结合单调性可证，再证，即可得．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造函数的数学思想，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，
又，
所以，
解得，．
所以．
故选：．
由已知结合向量的线性表示分别以，为基底表示，然后结合平面向量基本定理可求．
本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查球的体积的求法，涉及到余弦定理，属于基础题．
设，，，根据余弦定理以及勾股定理证明三条侧棱两两互相垂直，即可求出球的体积．

【解答】

解：

设，，，
因为，分别是，的中点，所以，，
在中，，
在中，，
整理得，
因为是边长为的正三角形，所以，
又，则，，
由得，
所以，
所以，即，
同理可得，，则、、两两垂直，
则球是以为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为，
所以球的体积为．
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：已知双曲线：，其焦点到渐近线的距离为，
所以双曲线的标准方程：中，，  ，
故A不正确；
双曲线：的渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为，所以，所以，
由可得：，
所以双曲线：的渐近线方程为，故B正确；
所以双曲线的，，，
双曲线的离心率为，故C正确；
双曲线上的点到焦点距离的最小值为故D正确．
故选：．
将双曲线方程转化为标准方程，根据双曲线方程可得，故A不正确；
根据点到直线的距离公式，可得焦点到渐近线的距离等于，即可求得和的值，求得双曲线的方程为：，即可得，，，所以渐近线方程为：，故B正确；
由双曲线的方程可得双曲线的离心率为，故C正确；
由双曲线上的点到焦点距离的最小值为，故D正确．
本题考查双曲线的性质，双曲线的标准方程，渐近线方程，离心率公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：依题意，的图象与直线有两个不同的交点，
作出函数的图象及直线如图所示，

由图象可知，当直线介于轴与直线之间时，必有两个交点，
而，则；
由于直线的方程为，而当时，恒成立，当且仅当时等号成立，则直线为所在直线时仅有一个交点，
当直线位于直线下方时，由图象可知，此时仅有一个交点，不合题意；
综上，实数的取值范围为．
故选：．
问题等价于的图象与直线有两个不同的交点，作出函数的图象及直线，观察图象，即可得到的取值范围，进而得解．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想和运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：复数满足，
则复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
的最小值，
故答案为：，
复数满足，可得复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．的最小值．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，则，
，若在上单调递增，
需满足，且，，
解得：，，
，解得 ，
，，
，，
则的最大值是．
故答案为：．
根据已知的范围，找到整体的范围，再与的单调增区间做比较，列出不等式即可．
本题考查三角函数的单调性，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由抛物线定义知而，
为等边三角形，，
故直线的倾斜角为，所以的方程为．
由，得，
即，
则，故．
故答案为：．
先判断出直线的倾斜角为，求出的方程，与抛物线联立，解出，即可得到答案．
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又，所以时，；时，；时，，
同时注意到，
所以若存在，，使得成立，
则且，
所以，所以，
所以构造函数，而，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，即．
故答案为：．
把转化为，即可得到，所以，构造函数，进而可求得的最小值．
本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化与化归的数学思想，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于难题．
 

17.【答案】解：由，，
可得，
又，，
故AB，
故；
设，因为，
则，
，
在中，由正弦定理可得 ，
因为，，
即，
所以，即，
所以，
设，
可得，可得，
所以，
即，
中，由正弦定理，
即，
所以可得． 

【解析】本题考查正弦定理的应用及诱导公式的应用，以及三角恒等变换，属于较难题．
根据求得，再结合求解即可；
设，再在中利用正弦定理得出关于的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可．
 

18.【答案】解：由频率分布直方图性质得：
，
解得．
的频率为，
估计样本数据的中位数为．
采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，
则中抽取人，分别记为，，，，
中抽取人，分别记为，，
现从这人中随机抽取人分享观看感想，包含的基本事件有个，分别为：
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
抽取的人中恰有人的观看时长为包含的基本事件有个，分别为：
，，，，，，
，，，，，，
抽取的人中恰有人的观看时长在的概率为． 

【解析】由频率分布直方图的性质列方程，能求出的值，利用直方图能估计样本数据的中位数；
采用分层抽样的方法能求出观看时长在和内应抽取人数，然后利用古典概型的概率计算公式求解即可．
本题考查频率、中位数，概率、列举法、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

19.【答案】证明：平面，平面，．

取的中点，连接，
，，
，，
四边形为平行四边形．
，
平行四边形为菱形，
．
，，
四边形为平行四边形，
，
．
又有，，平面，
平面平面，
平面平面．
解：，，，，
又有，，，
．，
为的中点，
，
在中，．
由，
得，解得．
在中，，则，的面积．
设到平面的距离为，又，解得． 

【解析】利用线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理证明求解；
利用体积公式求点到平面的距离．
本题主要考查点、线、面间的距离计算，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意可得，
解得，
所以椭圆方程为，
离心率，
证明：当直线的斜率存在时，可设：，
代入椭圆方程，
得，
设，，
所以，
由可知，点，离心率，
因为直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，
所以，
所以，
把代入，整理得，
即，
所以或，
由直线：，
当时，经过定点，与重合，舍去，
当时，，经过定点，
因为，，
所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心坐标为，半径为，
所以点的轨迹为． 

【解析】用待定系数法求出椭圆的方程；
运用“设而不求法“，结合韦达定理和直线恒过定点的求法，可得直线经过定点 ，所以点的轨迹是以为直径的圆，从而求出点的轨迹方程．
本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的综合，考查了直线过定点问题，属于中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ，，则，，
当时，恒成立，函数单调增，没有最值；
当时，令，解得，负值舍去，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取到最小值，，解得，
所以存在满足条件的；
证明：Ⅱ由，得，
令，则，
令，解得，
函数在上单调递减，在单调递增，
故在上有唯一最小值点，
若方程有两个不同的零点，，
则，且，，
函数的图象在点，处的切线方程分别为和，
且在内，在上，
先证：即，即，，
，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以；
再证：，即，
令，则恒成立，
所以在上单调递减，所以，
令，，
即可得，，即；
，则，
所以若证，即证，
即，即，即证，
即，
令，即证明，
令，显然，
，
令，
，，，
故G在区间，上单调递减，
在区间，上单调递增，
又因，所以在区间上单调递增，
故G，
所以在区间上单调递增，
所以，则不等式得证． 

【解析】Ⅰ求导，根据的取值范围讨论函数的单调性与最值情况；
Ⅱ分离参数，根据函数有两个零点，可转为两函数有两个公共点，进而确定，且，，
先证：，再证：，进而得证；
若证，即证，设，构造，根据导数判断函数单调性与最值，即可得证．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的零点，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．
 

22.【答案】解：由，得，
由，，得直线的直角坐标方程为，
由为参数，两式相除得，
所以，整理得曲线的普通方程为；
因为直线经过点，所以直线的参数方程为为参数，
代入中，得，
由，得，又，故，
所以，，
所以，
因为，所以，故，则，
所以，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为． 

【解析】利用，与正弦的和差公式可求得直线的直角坐标方程；利用消参法可求得曲线的普通方程；
先由条件得到直线的参数方程，再联立直线与曲线的方程，利用参数的几何意义得到，从而得解．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
 

23.【答案】证明：对于恒成立，
且，
当且仅当，即时等号成立．
．
，
当且仅当时等号成立．
，
；
，，
，
同理可得：，，
，
由知，，
． 

【解析】利用含绝对值的三角不等式求得，再由不等式的性质证明；
由，结合基本不等式证明．
本题考查不等式的证明，考查含绝对值的三角不等式的应用，是中档题．