2023年四川省成都重点中学高考数学热身试卷（文科）

这是一份2023年四川省成都重点中学高考数学热身试卷（文科），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省成都重点中学高考数学热身试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  设集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  在统计学中，月度同比是指本月和上一年同月相比较的增长率，月度环比是指本月和上一个月相比较的增长率，如图是我国年月至年月居民消费价格月度涨跌幅度统计图，则以下说法正确的是(    )

 A. 在这个月中，我国居民消费价格月度同比数据的众数为
B. 在这个月中，我国居民消费价格月度环比数据的众数为
C. 在这个月中，我国居民消费价格最低是月
D. 在这个月中，我国居民消费价格最高是月3.  实数，满足，则下列不等式成立的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  早在公元世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积、总相等，则这两个几何体的体积、相等根据“祖暅原理”，“”是“”的(    )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5.  已知向量，，且则的值为(    )A.  B.  C.  D. 不存在6.  设是等比数列，且，，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知两个平面，，及两条直线，则下列命题错误的是(    )A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，，则
D. 若，是异面直线，，，，，则8.  已知函数，其在一个周期内的图象分别与轴、轴交于点、点，并与过点的直线相交于另外两点、设为坐标原点，则(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于的概率为(    )
A.  B.  C.  D. 10.  设、是椭圆的左、右焦点，点是直线上一点，则的最大值是(    )A.  B.  C.  D. 11.  某人从年起，每年月日到银行新存入万元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到年月日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为单位：万元参考数据：，，(    )A.  B.  C.  D. 12.  如图，球的半径为，球面上的三个点，，的外接圆为圆，且，若，则三棱锥的体积是(    )A.
B.
C.
D.
 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知复数满足，则______．14.  已知变量、满足约束条件，则的最小值是______ ．15.  某地铁换乘站设有编号为，，，的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需时间如下表：安全出口编号，，，，疏散乘客用时秒则疏散乘客最快的一个安全出口的编号为______． 16.  等比数列的公比为，其前项和为，且，若仍为等比数列，则 ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，．
求角的大小；
已知，的面积为，求的值．18.  本小题分
在正六棱柱中，，，为侧棱的中点，为棱上一点，为下底面的中心．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求四棱锥的体积．
19.  本小题分
环保部门随机调查了某市年中天中每天的空气质量等级和当天到江边绿道锻炼的人次，整理数据得到下表单位天： 锻炼人次
空气质量等级优良轻度污染中度污染若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量不好”．
估计该市年天“空气质量好”的天数结果四舍五入保留整数；
根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到江边绿道锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？  人次人次空气质量好  空气质量不好  附：．  20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，过右侧的点作，垂足为，且．
求点的轨迹的方程；
过点的动直线交轨迹于，，设，证明：为定值．
21.  本小题分
已知函数有两个极值点，
求实数的取值范围；
证明：．22.  本小题分
如图所示形如花瓣的曲线称为四叶玫瑰线，在极坐标系中，其极坐标方程为．
若射线与相交于异于极点的点，求；
若，为上的两点，且，求面积的最大值．
23.  本小题分
已知函数的最大值为．
求的值；
求证：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因为，
又，
所以．
故选：．
根据交集的定义计算可得．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：在这个月中，我国居民消费价格月度同比数据的众数为，错；
我国居民消费价格月度环比数据的众数为，错；
根据环比数据知：我国居民消费价格最低是月，我国居民消费价格最高是月，错，对．
故选：．
根据统计图分别求出消费同比数据，求出月度环比数据的众数，即可得答案．
本题考查统计图相关知识，属于中档题．
 3.【答案】 【解析】解：取，，满足，但，所以A错误；
取，满足，但，所以B错误；
若，则，，所以C正确；
取，则，所以D错误．
故选：．
举反例即可判定，由，得出，利用指数函数的性即可判定．
本题主要考查了不等式的性质，考查了对数函数的性质，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：根据祖暅原理可知，当时，一定有成立，
反之，当成立时，不一定有成立，
比如两个完全相同的三棱锥，正置和倒置时，，不一定相等，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
根据祖暅原理，判断“”与“”之间的逻辑推理关系即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：因为，，且，
所以，即，
即，因为，所以，
所以，又，所以．
故选：．
根据向量共线得到，利用二倍角正弦公式得到，再根据平方关系计算可得．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：设等比数列的公比为，
则，解得：，，
所以．
故选：．
根据条件，求首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：对于，若，，，，根据面面垂直的性质定理可得，A正确；
对于，若，，则，又，则，B正确；
对于，若，，，，则与可以相交或平行，C错误；
对于，因为，，所以存在直线，，
因为，是异面直线，所以与相交，
因为，，，所以，
又因为，，所以，D正确，
故选：．
根据面面垂直的性质定理判断，根据线面垂直的性质判断，根据面面的位置关系判断，根据面面平行的判定定理及异面直线的概念判断．
本题考查空间中各要素的位置关系，属中档题．
 8.【答案】 【解析】解：已知函数，其在一个周期内的图象分别与轴、轴交于点、点，
则，，
又过点的直线相交于另外两点、，
则为的中点，
则．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合三角函数图象的性质求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数图象的性质，属基础题．
 9.【答案】 【解析】解：依题意得所拨数字共有种可能，即样本空间中共含个样本点，
要使所拨数字大于，则：
上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于，有种；
上珠拨是十位档或个位档，则再随机选择两个档位必有千位档，有种，
则所拨数字大于的概率为．
故选：．
由条件确定随机试验的样本空间中的样本点的个数，再求事件所拨数字大于所包含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求其概率．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】解：由题意得：，，则，
所以，．
因为点是直线上一点，不妨设，
设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
则，，
于是
，
当且仅当时等号成立，
因为在上单调递增，
所以的最大值是．
故选：．
由题意方程求得，，设，利用倾斜角的概念以及两角差的正切公式，基本不等式，正切函数的性质即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，属中档题．
 11.【答案】 【解析】解：由题意，年存的万元共存了年，本息和为万元，
年存的万元共存了年，本息和为万元，，
年存的万元共存了年，本息和为万元，
所以到年月日将之前所有存款及利息全部取回，
他可取回的钱数约为万元．
故选：．
复利计息问题，逐年分析寻找规律，根据等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查数列的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：设，
由，可得，
因为，，为的外心，
所以，，
所以，故，
由已知，，，
所以，
所以，，，
由球的截面性质可得平面，
所以三棱锥的体积．
故选：．
设，由条件结合正弦定理求，根据球的截面的性质列方程求，结合锥体体积公式求三棱锥的体积．
本题考查三棱锥的体积的求解，三棱锥的外接球问题，化归转化思想，属中档题．
 13.【答案】 【解析】解：设，，，
则，
因为，
所以，
所以，
所以，即，
所以．
故答案为：．
设，，，根据复数的模及复数相等的充要条件得到方程组，解得、，即可求出，从而得解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
令，得，
由图可知，当直线过时，有最小值为．
故答案为：．
由约束条件作出可行域，令，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 15.【答案】 【解析】解：同时开放，两个安全出口，疏散名乘客需要时间为，
同时开放，两个安全出口，疏散名乘客需要时间为，得比快，
同时开放，两个安全出口，疏名乘客需要时间为，
同时开放，两个安全出口，疏散名乘客需要时间为，得比快，
同时开放，两个安全出口，疏名乘客需要时间为，
同时开放，两个安全出口，疏散名乘客需要时间为，得比快，
综上所述：疏散乘客用时最短的一个安全出口的编号是．
故答案为：．
由题意可得同时开放，两个安全出口和同时开放，两个安全出口所用时间比较可得比快，若同时开放，两个安全出口和同时开放，两个安全出口的用时间比较可得比快，若同时开放，两个安全出口和同时开放，两个安全出口所用时间比较可得比快，从而可得结论．
本题主要考查了简单的合情推理，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：由得：，
则，所以，
又，所以，又，
所以，所以，
因为，，，
所以，解得：，
当时，是等比数列．
故答案为：．
由题意求得，再由等比数列的前项和公式求出，进而求得，因为仍为等比数列，则，代入求解即可得出答案．
本题主要考查了等比数列的通项公式和前项和公式，属于中档题．
 17.【答案】解：由题意得，
即，则，
又，则；，
由题意得，解得，
由余弦定理得，即，
由正弦定理得，即，解得． 【解析】根据两角和与差的三角函数，可得，即可得出答案；
首先根据面积公式求，再根据余弦定理和正弦定理，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 18.【答案】Ⅰ证明：连接，
为下底面的中心，为的中点，
连接，又为 的中点，连接，
为的中位线，则，
平面，平面，
平面；
Ⅱ解：连接，则，
正六棱柱中，，，
，到的距离为，
则．
由正六棱柱的结构特征可知，，
又平面平面，且平面平面，
平面，
在中，求得．
． 【解析】Ⅰ连接，则为的中点，连接，，可得，再由直线与平面平行的判定可得平面；
Ⅱ连接，由，求解四棱锥的体积．
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
 19.【答案】解：依题意可得，该市一天的空气质量等级为的概率为，
等级为的概率为，
所以“空气质量好”的概率为，
所以该市年天“空气质量好”的天数为天．
依题意列联表如下所示： 人次人次合计空气质量好空气质量不好 合计 所以，
因此没有的把握认为一天中到江边绿道锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 【解析】由频数分布表得到空气质量等级为或的概率，从而得到“空气质量好”的概率，即可估计天数；
根据题干数据完善列联表，计算出卡方，即可判断．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题．
 20.【答案】解：由题意，直线：与轴交于点，过右侧的点作，
可得，，
设，则，
因为，
可得，即，
整理得．
证明：当直线的斜率存在，可设直线：，
联立方程组，
整理得，
设，，
因为直线与曲线交于两点，
则，
且，
因为，
可得，
所以


；
当直线的斜率不存在，此时直线：，
联立方程组，解得，
不妨设，，
此时，
可得，
综上可得，为定值． 【解析】根据提意思，设，得到，结合，利用距离公式化简，即可求解曲线的方程；
当直线的斜率存在，可设：，联立方程组，设，，求得，化简，代入求得；当直线的斜率不存在，此时：，求得，，得到，即可求解．
本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题．
 21.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
因为函数有两个极值点，，
所以有两个两侧异号的零点，，
又，
所以，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，，在区间上单调递减，
此时，
当时，，在区间上单调递增，
又，
所以当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
又，
当时，，当时，，
所以，
则实数的取值范围为；
 证明：因为，
所以，，
所以，
整理得，
下证，
需证，
不妨令，，
要证，
即证，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以在定义域上单调递增，
则，
此时，
所以，
则，
由知，
故． 【解析】由题意，对进行求导，将有两个极值点，，转化成有两个两侧异号的零点，，即，设，对进行求导，构造函数，对进行求导，利用导数反推出函数的单调性，即可得到答案；
 结合中所得，得到，需证，利用换元法，令，，即证，设，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，进而即可得证．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
 22.【答案】解：在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，
若射线与极坐标方程相交于点，
所以，
故．
设，，且，
故，
当，，整理得，，
故面积的最大值为． 【解析】直接利用曲线与直线的位置关系求出极径的长；
利用三角形的面积公式和三角函数的关系式的变换及正弦型函数的性质求出三角形面积的最大值．
本题考查的知识要点：极坐标方程的应用，三角形的面积公式，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 23.【答案】解：，
当且仅当时等号成立，
又的最大值为，
则；
证明：，
当且仅当，即时等号成立． 【解析】利用绝对值不等式的性质可得，结合的最大值为，即可得解；
利用基本不等式直接求证即可．
本题考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．