压轴题07二次函数与线段最值定值问题（八大类型）-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

2023年中考数学压轴题专项训练

压轴题07二次函数与线段最值定值问题（八大类型）

题型一： 二次函数与单线段最值问题

例1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点G的坐标．

题型二： 二次函数与将军饮马型问题

例2．如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y＝kx分别与y轴及抛物线交于点C，D．

（1）求直线和抛物线的表达式；

（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；

（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

题型三： 二次函数与胡不归型线段最值问题

例3．已知抛物线yx2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧）．与y轴相交于点C，顶点为D．

（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）若点P是y轴上一点，连接BP，当PB＝PC，OP＝2时，求b的值；

（Ⅲ）若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为（4，0），对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点N为线段AB上一点，且AN＝2BN，连接NQ，求DQNQ的最小值．

题型四： 二次函数与三线段和最值问题

例4．如图1，已知一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．

（1）求b、c的值；

（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE＝2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；

（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR

①求证：PG＝RQ；

②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．

题型五： 二次函数与线段倍分关系最值问题

例5．抛物线y＝﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．

（1）a时，求抛物线的解析式和BC的长；

（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值；

（3）是否存在实数a，使？若存在，求出a的值，如不存在，请说明理由．

题型六： 二次函数与线段乘积问题

例6．已知直线yx+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线yx2+mx﹣2经过点A，和x轴的另一个交点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；

（3）如图2，经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF的值．

题型七： 二次函数与线段比值问题

例7．抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方．

（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．

①求该抛物线的解析式；

②若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；

（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

题型八： 二次函数与倒数和定值问题

例8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，且OB＝OC．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点D是抛物线顶点，点P（m，n）是在第二象限抛物线上的一点，分别连接BD、BC、BP，若∠CBD＝∠ABP，求m的值；

（3）如图1，过B、C、O三点的圆上有一点Q，并且点Q在第四象限，连接QO、QB、QC，试猜想线段QO、QB、QC之间的数量关系，并证明你的猜想；

（4）如图2，若∠BAC的角平分线交y轴于点G，过点G的直线分别交射线AB、AC于点E、F（不与点A重合），则的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值．