2022-2023学年辽宁省本溪重点中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年辽宁省本溪重点中学高一（下）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省本溪重点中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  弧度的角是(    )A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角2.  设圆心角为的扇形的弧长为，面积为，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，则函数的一个零点是(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知函数的部分图象如图所示，则(    )A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
 6.  平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，若，且，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 7.  在菱形中，若，则(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是(    )A.  B.
C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  已知向量，，则(    )A.  B.
C. 在上的投影向量是 D. 10.  关于函数，下列说法错误的是(    )A. 是奇函数 B. 在区间上单调递减
C. 为其图象的一个对称中心 D. 最小正周期为11.  在中，角、、的对边分别为、、，下列说法正确的是(    )A. 若，则只有一解
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则
D. 若，则的形状是等腰或直角三角形12.  已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则下列说法正确的有(    )A. 函数图象关于对称
B. 函数的最小正周期为
C. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
D. 若在上恒成立，则的最大值为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知向量，满足，，且，则 ______ ．14.  函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是______ ．
的一个周期为；
的图象关于对称；
是的一个零点；
在上的值域为
 15.  函数的定义域为______ ．16.  若对任意恒成立，则的最大值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
，，为平面内不同的三点，，，．
若，，三点共线，求实数的值；
若，的夹角为钝角，求实数的取值范围．18.  本小题分
已知．
若，且，求的值；
若，且，求的值．19.  本小题分
设函数，其中．
求函数的值域；
若，讨论在区间上的单调性；20.  本小题分
已知的三个内角分别为，，，向量与向量夹角的余弦值为．
求角的大小；
求的取值范围．21.  本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若为的中点，，求面积的最大值．22.  本小题分
如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中为圆心，直径的长为，，两点在半圆弧上，且，设；
当时，求四边形的面积．
若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长最长，并求出的最大值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因为，
所以弧度的角是第二象限的角．
故选：．
直接判断弧度的角的范围，得到所在象限即可．
本题考查角所在象限的求法，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：设扇形的半径为，则，所以，
又，
．
故选：．
根据扇形弧长、面积公式求解即可．
本题主要考查扇形面积公式，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】【分析】本题考查同角三角函数关系式的应用及齐次式的应用，属于基础题．
由同角三角函数关系式化简得，代入求解即可．【解答】解：

．
故选：．  4.【答案】 【解析】解：函数相邻两对称中心之间的距离为，
，又，
，
；
又的图象关于直线对称，
，
，又，
．
，
令，，则，，
当时，，故函数的一个零点是．
故选：．
依题意知，利用周期公式可求，利用函数的图象变换，三角函数的图象和性质可得到，结合范围，于是可求得的值，从而可得函数的零点．
本题考查函数的解析式的确定与函数的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．
 5.【答案】 【解析】解：由图象可知，，
所以，又点在递减区间内，，所以，
由五点作图法可知，解得．
故选：．
由特殊点的坐标求出的值，由五点法作图求出．
本题主要考查参数的求法，求得的值是难点与易错点，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：点在单位圆上，且，
，，
又，且，
，
，

．
故选：．
利用任意角的三角函数的定义求得，同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角差的余弦公式求得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：连接，交于点，则，

易得，则，又，
则．
故选：．
先由向量的平行四边形法则求得，再由数量积的定义得求解即可．
本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：由题意可知，函数的图象如图所示：
根据函数图像，函数在，上单调递增，
在，上单调递减；
故时取最大值，在时取最小值，是该图像的渐近线．
令，则关于的方程即可写成，
此时关于的方程应该有两个不相等的实数根，
设，为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：
当时，此时，则；
当，时，此时，则；
综上可知，实数的取值范围是．
故选：．
确定函数的大致图象，令，则关于的方程即可写成，结合图象分析二次方程的根的取值范围使其满足方程有个不同的根，即可得实数的取值范围．
本题考查函数的零点与方程的根的关系和二次函数的图象与性质，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：，，
，
不与垂直，且，A错误，B正确；
，在上的投影向量为，C正确；
，D错误．
故选：．
可求出与的坐标，然后可得出的值，和的值，从而判断出的正误；根据投影向量的计算公式及向量数量积的坐标运算即可判断的正误；可求出和的值，从而判断出的正误．
本题考查了向量坐标的加法、减法和数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，投影向量的计算公式，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：因为，所以函数是非奇非偶函数，结论错误；
当时，因为在上为增函数，故B结论错误；
当时，，
为其图象的一个对称中心，故C结论正确；
的最小正周期为，结论错误．
故选：．
对：根据函数的奇偶性定义判断；
对：根据范围判断的单调性；
对于：验证是否为的零点；
对于：根据求周期．
本题主要考查正切函数的图象，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：对于，若，
则由正弦定理可得，，即，解得，
又为内角，则，即只有一解，选项A正确；
对于，若，则，
则，则为锐角，即为锐角，
但角，未知，故不能判断为锐角三角形，选项B错误；
对于，若，则由正弦定理可知，，选项C正确；
对于，若，则，
即，即，
化简可得，，则或，
则为等腰三角形或直角三角形，选项D正确．
故选：．
对于，由正弦定理可得，由此可判断选项A；对于，由平面向量的数量积可知为锐角，但不能判断，的大小，由此可判断选项B；由正弦定理可直接判断选项C；根据余弦定理化简可得或，由此判断选项D．
本题考查正余弦定理的运用，考查平面向量的数量积以及命题的真假判断，考查运算求解能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：因为，所以，
所以的图象关于点对称，
又因为，
所以当时，取得最值，即的图象关于直线对称，
又因为在上单调递减，，，
所以点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴，
所以设的最小正周期为，则，所以，所以，
所以，
又因为的图象关于点对称，
所以由正弦函数的性质，，所以，
因为，所以时，，
所以．
对于，函数图象关于对称，故A正确；
对于，函数的最小正周期为，故B错误；
对于，将的图象向左平移个单位长度，得，故C正确；
对于，由，得，所以，
所以，所以，
因为，所以解得，
所以由余弦函数的性质，，
所以，
所以若在上恒成立，
则的最大值为，故D正确．
故选：．
由已知条件，得出图象的对称中心和对称轴，求得解析式，由三角函数的性质，对各选项依次辨析即可．
本题主要考查三角函数的图象与性质，三角函数的平移变换，考查运算求解能力，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，又，，
所以．
故答案为：．
由数量积的性质化简可得，再由数量积的性质求．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
 14.【答案】 【解析】解：，
对：，正确；
对：时，，故的图象关于对称，正确；
对：，正确；
对：，则，故，正确．
故答案为：．
确定，，正确，时，，正确，，正确，，，正确，得到答案．
本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：要使函数有意义，则需，
即，
即，
即，
解得或，
则函数的定义域为．
故答案为：．
根据函数解析式，建立关于的不等式组，解出即可．
本题考查函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：因为，
所以，
所以
所以，
设
因为，
所以，
则，
设
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以在上单调递减，
所以
所以，即的最大值为．
故答案为：．
首先由，辅助角公式及正弦函数的图像得出，则，设，由同角三角形函数的平方关系得出，即可将原不等式变形为，再根据函数在的单调性求出最小值，即可得出的最大值．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
 17.【答案】解：，，
，
，，三点共线，
，
，解得．
，的夹角为钝角，
，且与不共线，
，解得且，
故实数的取值范围为 【解析】根据已知条件，结合共线向量的性质，即可求解．
根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．
 18.【答案】解：．
所以，
因为，
则，或．
由知：，
所以，
即，
所以，
所以，即，
可得或．
因为，则，
所以．
所以，
故． 【解析】利用诱导公式化简函数解析式，结合已知可求，结合范围，即可求解的值；
由知：，利用诱导公式化简已知等式可得，利用同角三角函数基本关系式，结合范围，可求，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解的值．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 19.【答案】解：函数
，其中．
函数的值域为；
若，则，在区间上，
若，则，函数单调递增；
若，则，函数单调递减．
故在区间上的增区间为，减区间为 【解析】由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的值域，得出结论；
由题意，利用正弦函数的单调性，分类讨论，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的值域和单调性，属于中档题．
 20.【答案】解：Ⅰ，，，
分
即．
解得舍分
Ⅱ由Ⅰ可知
分
，．
即分 【解析】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，及三角函数的最值，
由向量与向量夹角的余弦值为我们可以构造一个关于角的三角方程，解方程后，根据为的内角，易得到角的大小．
根据的结论，我们可以将中角消掉，得到一个关于角的正弦型函数，再由结合正弦型函数的性质，易得的取值范围．
这是由向量的数量积表示夹角一唯一公式，也是利用向量求角的唯一公式，希望大家牢固掌握，熟练应用．
 21.【答案】解：解法一：因为，
由正弦定理得：，
所以，
因为，
所以，
为，
所以；
因为为的中点，
所以，
所以，
即，
即，
而，
所以即，当且仅当时等号成立，
所以的面积为，
即的面积的最大值为．
解法二：因为，
由余弦定理得：，
整理得，
即，
又由余弦定理得，
所以，
因为，
所以；
设，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，
所以式得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
联立得：，即，
而，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以的面积为，
即的面积的最大值为． 【解析】解法一：根据正弦定理边化角求解即可；
解法二：利用余弦定理将用边表示再化简即可；
解法一：根据基底向量的方法得，两边平方化简后可得，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可；
解法二：设，再分别在，和中用余弦定理，结合可得，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可．
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
 22.【答案】解：连接，则，，
四边形的面积为；
由题意，，，
，
令，则，，
时，即，的最大值为． 【解析】本题考查解三角形和三角函数的实际应用，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．
连接，则，，即可求出四边形的面积；
利用余弦定理求出，，，可得，利用换元、配方法，即可得出结论．