2022-2023学年江苏省扬州市邗江区高二（下）期中数学试卷

2022-2023学年江苏省扬州市邗江区高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的展开式中的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知向量共面，则实数的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在棱长为的正方体中，，，分别为，，的中点，则与所成的角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  用，，，，可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 若，则正整数的值是

10.  在中共二十大代表“燃灯校长”张桂梅老师的不懈努力下，云南华坪山区的多名女孩圆了大学梦，她扎根基层教育默默奉献的精神感动了无数人受她的影响，有甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到，，三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是(    )

A. 共有种安排方法
B. 若甲、乙被安排在同一所学校，则有种安排方法
C. 若学校需要两名志愿者，则有种安排方法
D. 若甲被安排在学校，则有安排方法

11.  已知，则(    )

A. 展开式中所有项的系数和为
B. 展开式中二项系数最大项为第项
C.
D.

12.  如图，已知正方体的棱长为，为空间中一点，，则(    )

A. 当，时，异面直线与所成角的余弦值为
B. 当，时，三棱锥的体积为
C. 当，，时，有且仅有一个点，使得平面
D. 当，时，异面直线和所成角的取值范围是
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，则 ______ ．

14.  若的展开式中第项的二项式系数最大，写出一个符合条件的的值是______ 写出一个满足条件的的值即可
 

15.  已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______ ．

16.  如图：正三棱锥中，，分别在棱，上，：：：，且，则的余弦值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
已知，．
若，求，的值；
若，求的值．

19.  本小题分
有男运动员名、女运动员名，其中男、女队长各人现名运动员排成一排．
如果女运动员全排在一起，有多少种不同排法？
如果女运动员都不相邻，有多少种排法？
如果女运动员不站两端，有多少种排法？

20.  本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点，求证：
；
平面；

21.  本小题分
已知的展开式中，第项的系数与倒数第项的系数之比为．
求的值；
求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；
将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．

22.  本小题分
如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点．
求二面角的余弦值；
在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合空间向量的数量积公式，即可求解．
本题主要考查空间向量的数量积公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由二项展开式通项公式知，，所以要得到项，
则，，
故选：．
利用二项展开式通项公式，即可求出结果．
本题考查二项式定理，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为共面，所以存在，，使得，
整理得，
解得，，．
故选：．
根据空间共面向量定理，结合已知向量的坐标，待定系数，求解即可．
本题主要考查了向量共面的坐标表示，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：连接，，
因为，
则与所成的角为或其补角，
又，
则，，，
则，
即与所成的角的余弦值为，
故选：．
由异面直线所成角的求法，结合异面直线所成角的作法求解即可．
本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了异面直线所成角的作法，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
，在个位，在、、、中任选个，安排在千、百、十位上，有个四位偶数，
，不在个位，个位数字可以为或，有种选法，其百位数字有种选法，百位、十位数字有种选法，此时有个四位偶数，
故有个没有重复数字的四位偶数．
故选：．
根据题意，按个位数字不同分种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的线性表示，属于基础题．
类比平面向量的线性表示，结合向量加法的三角形法则可求．

【解答】

解：因为


，
，
．
故答案选：．

7.【答案】 

【解析】解：在正三棱柱中，若，
取的中点，取中点，连接，则平面，
连接，因为是等边三角形，
所以，
因为，平面，
所以，，两两垂直，
所以以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

因为，所以，
故，
，
点到直线的距离为．
故选：．
建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量公式进行求解．
本题考查了点到直线的距离计算，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：分步进行分析：
、先将个歌舞类节目全排列，有种情况，排好后，有个空位，
、因为个歌舞类节目不能相邻，则中间个空位必须安排个节目，
分种情况讨论：
将中间个空位安排个小品类节目和个相声类节目，有种情况，
排好后，最后个小品类节目放在端，有种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是种；
将中间个空位安排个小品类节目，有种情况，
排好后，有个空位，相声类节目有个空位可选，即有种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是种；
则同类节目不相邻的排法种数是，
故选：．
根据题意，分步进行分析：、先将个歌舞类节目全排列，、因为个歌舞类节目不能相邻，则分种情况讨论中间个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．
本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．
 

9.【答案】 

【解析】解：选项A，因为，故A正确；
选项B，，故B正确；
选项C，由，，得，故C正确；
选项D，因为，所以或，即或，故D错误．
故选：．
选项A，根据排列数公式直接判断；
选项B、，根据组合数公式及性质直接求解；
选项C，根据二项式系数和公式，奇数项与偶数项的二项式系数和各占一半得出结果．
本题主要考查组合数与排列数的公式，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到，，三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，
则共有种安排方法，故A错误；
对于，若甲、乙被安排在同一所学校，则有种安排方法，故B正确；
对于，若学校需要两名志愿者，则有种安排方法，故C错误；
对于，若甲被安排在学校，则有种安排方法，故D正确．
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题主要考查排列组合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：令，得所有项系数和为，故A正确，
，展开式中有项，则展开式中二项系数最大项为第项或项，故B错误，
令得，，令得，
，故C正确，
等式两边对求导数得，
令得，故D错误．
故选：．
A.令进行求解．
B.展开式中二次系数最大值的项有两项．
C.令或进行求解．
D.先对等式两边对求导数，然后令进行计算即可．
本题主要考查二项式定理的应用，利用二项式系数的性质，利用赋值法以及求导数法进行计算是解决本题的关键，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于：连接，，由图可知，为的中点，取的中点，

连接，，则，或其补角为异面直线与所成的角，
易得，，，，故A正确；
对于：由条件可知，点的轨迹为线段，，
到平面的距离为，且的面积为，
所以三棱锥的体积为，故B正确；
对于：如图，由条件可知，在线段上分别为，的中点，

平面，平面即平面，点即平面平面与直线的交点，
此交点在的延长线上，故C错误；
对于：由条件可知，可知点的轨迹为线段，
如图，建立空间直角坐标系，得，，设，，

则，，，令，
当时，即时，，，此时异面直线和所成角为；
当时，即时，，，令，
，当，即时，，取得最大值，
异面直线和所成角的最小角为，故D正确．
故选：．
根据正方体的几何性质，结合每个选项的条件计算可判断其正确性．
本题考查异面直线所成的角，考查线面垂直，考查三棱锥的体积，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
则，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合排列数公式，即可求解．
本题主要考查排列数公式，属于基础题．
 

14.【答案】或或都可以 

【解析】解：的展开式中第项的二项式系数最大，
的展开式共有项或项或项，
即，或，
故，或，
故答案为：或或都可以．
根据二项展开式中中间的项的二项式系数最大求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
所以向量在向量上的投影向量为．
故答案为：．
根据投影向量结合向量的坐标运算求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：：：：，
，
，，设，，
，解得．
故答案为：．
根据条件得出，然后可得出，然后进行数量积的运算即可求出的值．
本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量的数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：．
． 

【解析】利用排列数公式求解即可．
本题考查排列数公式的应用，是基础题．
 

18.【答案】解：，，
，．
，
，
解得，．
，，
，
又，，
求得． 

【解析】由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得、的值．
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得值．
本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
 

19.【答案】解：将名女运动员捆绑起来有种方法，与名男运动员排序有种方法，根据乘法分步原理得共有种不同的排法．
先将名男运动员排序有种方法，再将名女运动员插入名男运动员形成的个空中有种方法，根据乘法分步原理得共有种不同的排法．
如果女运动员不站两端，则两端安排男运动员有种方法，其余名运动员在中间任意排序有种方法，根据乘法分步原理得共有种不同的排法． 

【解析】利用捆绑法和乘法分步原理求解；
利用插空法和乘法分步原理求解；
利用优先法和乘法分步原理求解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

20.【答案】证明：因为底面，底面，底面，
所以，，
又，
以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
，
．

平面的法向量为，
，且平面，
平面． 

【解析】以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明．
求出平面的法向量，利用向量法证明平面．
本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
 

21.【答案】解：展开式的通项为，
展开式中第项的系数为，倒数第项的系数为，
，即，．
令，可得展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的二项式系数和为．
展开式共有项，由可得当为整数，即，，，时为有理项，共项，由插空法可得有理项不相邻的概率为． 

【解析】本题主要考查二项式定理，考查展开式的通项公式、展开式系数及二项式系数的性质、古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
求出展开式的通项公式，可得展开式中第项的系数和倒数第项的系数，根据已知可得关于的方程，即可求解；
令，可得展开式中所有项的系数和，由展开式中所有项的二项式系数和为，即可求解；
根据展开式的通项求出有理项个数，利用古典概型的概率公式由插空法即可求解．
 

22.【答案】解：由题意易得，以为坐标原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，，，，
设平面的一个法向量为
，
，，
令，则，
设平面的一个法向量为，，，
，，
令，则，，
，，，．
设二面角为，则．
二面角的余弦值为．
假设存在点，设，，，
，，
因为平面的一个法向量为，
，得．
即，或，或． 

【解析】本题主要考查空间向量及其应用，立体几何中的存在性问题等知识，属于中等题．
以为坐标原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；
假设存在点，设，根据，得到的坐标，结合平面的法向量为列出方程，即可求解．