2023年湖北省黄冈市浠水县高考数学五模试卷

这是一份2023年湖北省黄冈市浠水县高考数学五模试卷，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省黄冈市浠水县高考数学五模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数(    )A.  B.  C.  D. 3.  如图，底面同心的圆锥高为，，在半径为的底面圆上，，在半径为的底面圆上，且，当四边形面积最大时，点到平面的距离为(    )A.
B.
C.
D. 4.  已知函数，若，则的单调递增区间为(    )A.  B.  C.  D. 5.  关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲：是第三象限角，乙：丙：，丁：不小于，若这人只有一人判断错误，则此人是(    )A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁6.  已知椭圆：，过中心的直线交于，两点，点在轴上，其横坐标是点横坐标的倍，直线交于点，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 7.  设，，，则(    )A.  B.  C.  D. 8.  如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列．已知数列的项数为，记事件：集合，事件：为“局部等差”数列，则条件概率(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  下列命题正确的是(    )A. 对于事件，，若，且，，则
B. 若随机变量，，则
C. 相关系数的绝对值越接近，两个随机变量的线性相关程度越强
D. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差10.  如图，在中，，，，点，分别在，上且满足，，点在线段上，下列结论正确的有(    )
 A. 若，则
B. 若，则
C. 的最小值为
D. 取最小值时，11.  点是直线上的一个动点，，是圆上的两点则(    )A. 存在，，，使得
B. 若，均与圆相切，则弦长的最小值为
C. 若，均与圆相切，则直线经过一个定点
D. 若存在，，使得，则点的横坐标的取值范围是12.  在四棱锥中，底面是矩形，，，平面平面，点在线段上运动不含端点，则(    )A. 存在点使得
B. 四棱锥外接球的表面积为
C. 直线与直线所成角为
D. 当动点到直线的距离最小时，过点，，作截面交于点，则四棱锥的体积是三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知函数为偶函数，则 ______ ．14.  已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，设直线，的斜率分别为，，则 ______ ．15.  已知函数，若存在实数使得函数有个不同的零点，则实数的取值范围是______．16.  格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”如：，则点到原点的格点距离为格点距离为定值的点的轨迹称为“格点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径当格点半径为时，格点圆的半径有______ 条用数字作答．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知数列满足，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．18.  本小题分
技术对社会和国家十分重要从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命某科技集团生产，两种通信基站核心部件，下表统计了该科技集团近几年来在部件上的研发投入亿元与收益亿元的数据，结果如下： 研发投入亿元收益亿元利用样本相关系数说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；
求出关于的经验回归方程，并利用该方程回答下列问题：
若要使生产部件的收益不低于亿元，估计至少需要投入多少研发资金？精确到亿元
该科技集团计划用亿元对，两种部件进行投资，对部件投资元所获得的收益近似满足，则该科技集团针对，两种部件各应投入多少研发资金，能使所获得的总收益最大．
附：样本相关系数，
回归直线方程的斜率，截距．19.  本小题分
记的内角，，的对边分别为，，已知．
证明：；
若，求边长，．20.  本小题分
如图，在三棱台中，，，，，．
证明：平面平面；
设是的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
21.  本小题分
已知双曲线：经过点，右焦点为，且，，成等差数列．
求的方程；
过的直线与的右支交于，两点在的上方，的中点为，在直线：上的射影为，为坐标原点，设的面积为，直线，的斜率分别为，，证明：是定值．22.  本小题分
已知函数．
若在区间内存在极值点，求实数的取值范围；
在的条件下，求证：在区间内存在唯一的零点，并比较与的大小，说明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由已知，
故选：．
根据集合交集定义计算．
本题考查交集的定义，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：因为，且复数，在复平面内对应的点关于轴对称，
所以，
所以．
故选：．
由题意求得，利用复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：由题意知，，，则矩形的面积为的倍，
，最大时，，所以，
所以，
所以，，，
以、和为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，；
设平面的法向量为；所以，即，
令，则，又，则，
所以点到平面的距离为．
故选：．
由题意知，，矩形的面积为的倍，当最大时，，由此求出，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，用向量法求出点到平面的距离．
本题考查了点到平面的距离计算问题，也考查了空间中的位置关系应用问题，以及运算求解能力，是中档题．
 4.【答案】 【解析】解：依题意，解得，
故，
可知在上单调递增，
故选：．
先根据题目条件求出的值，再根据二次函数的性质求出的单调递增区间．
本题考查了分段函数的求值以及二次函数的单调区间，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：由，所以乙和丁的判断只有一个正确，且，
若丁的判断正确，即，则，
此时丙的判断错误，不符合题意；
若乙的判断正确，即，此时满足，且，
此时甲、丙都正确，符合题意．
故选：．
根据题意得到乙和丁的判断只有一个正确，分丁的判断正确和乙的判断正确，结合三角函数的符号和正切的倍角公式，即可求解．
本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：设，，则，，
设、、，分别为直线、、的斜率，
则，，，
因直线是以为直径的圆的切线
所以，，
所以，
又在直线上，所以，
因、在上，
根据点差法可得，
整理得，
故，即，
，
故，
故选：．
利用三条直线的斜率关系，结合点差法可得．
本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，属中档题．
 7.【答案】 【解析】解：由，，，
得，，，
构造函数，则，
当时，，
时，，单调递减；
时，，单调递增，
在处取最小值，
，时，，即，
取，得，
，，即；
设，
则，
令，，
当时，令，
，单调递减，
又时，，则，即，
，
当时，，
当时，，函数单调递增，
又，，即，
当时，函数单调递增，
，即，
，即，
．
故选：．
构造函数，根据导数探究单调性，即可判断和的大小；构造函数，再令，通过二次求导探究单调性，即可判断和的大小．
本题考查构造函数，利用导函数探究单调性来比较大小，考查求导运算，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】【分析】本题考查了对新定义的理解及条件概率，属中档题．
事件共有个基本事件，事件“局部等差”数列共有个基本事件，计算即可．【解答】解：由题意知，事件共有个基本事件，事件“局部等差”数列共有以下个基本事件，
其中含，，的局部等差的分别为，，，和，，，和，，，共个，
含，，的局部等差数列的同理也有个，共个
含，，的和含，，的与上述相同，也有个
含，，的有，，，和，，，共 个，含，，的同理也有个，共个
含，，的有，，，和，，，和，，，和，，，共个，含，，的也有个，共个；
综上共个，．
故选C．  9.【答案】 【解析】解：对于，由于，即发生必定有发生，根据条件概率的定义，故A正确；
对于，根据正态分布密度函数的性质知，
，
，故B错误；
对于，根据相关系数的性质知：约接近于，表示线性相关程度越强，故C正确；
对于，残差点分布的带状区域越宽说明线性回归时的误差越大，即回归效果越差，故D正确．
故选：．
根据统计学和概率论的相关定义逐项分析．
本题主要考查了条件概率公式，考查了正态分布曲线的对称性，以及相关系数的性质，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：对于选项A，点在线段上，则，使得，
则，
又，，，
又，，不共线，
可得，，
，A错误；
对于选项B，根据的分析，若，，
此时，
，，
于是，
由，，，则，
，即，B正确；
对于选项C，取中点，则，
由，，于是，
由，，
为等边三角形，，根据中位线可知，，于是，
在中根据余弦定理可得，，
，为锐角，又，
过作的高线时，垂足点落在线段上，
由题意垂足点为时，最小．最小值为，C正确；
对于选项D，，
在中，根据余弦定理可求得，即，
根据选项可知，最小时也最小，
根据，根据的分析，，，
注意到，

，D正确．
故选：．
选项，根据平面向量基本定理和向量共线的性质求解；
选项，结合选项，用，来表示出，然后由数量积的计算进行说明；
选项，取中点，则，问题转化成定点到线段上动点的距离最小值；
选项，通过转化先推出取得最小值时，也取最小值，然后用面积的割补计算．
本题主要考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积运算，向量的模的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：当直线，均与圆相切，且是点到直线的距离最大，最大，
此时，所以为锐角，
所以不存在，，，使得，故A错误；
若，均与圆相切，，又，
，当最小时，最小，
又的最小值即为到直线的距离，的最小值为，故B正确；
设，由，，，四点共圆可得以为直线径的圆的方程为，
即，公共弦所在直线方程为，
直线过定点，故C正确；
若存在，，使得，则需，均与圆相切时，，
则，可得，则，
设，可得，解得，
所以点的横坐标的取值范围是，故D正确．
故选：．
根据每个选项的条件结合圆的几何性质逐项计算可求解．
本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的几何性质，考查转化思想与运算能力，属中档题．
 12.【答案】 【解析】解：如图，取的中点，连接，，，，则，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，则．
又，，
又，，平面，平面．
平面，平面，不成立，A错误．

为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面作为底面一部分，补成棱长为的正方体．
如图，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，其半径，即四棱锥外接球的表面积为，B正确．
如图，直线与直线所成角即为直线与直线所成角，为，C正确．
如图，平面，当动点到直线的距离最小时，
由上推导知，，，，，，，
因此为的中点．如图，由为的中点，即为中点，
平面即平面与的交点也即为与的交点，可知为的中点，
故，D正确．
故选：．
取的中点，证明平面，然后由线面垂直的性质定理判断，把四棱锥补形成一个如图的正方体，根据正方体的性质判断，由平面，当动点到直线的距离最小时，从而得为的中点，为的中点，再由体积公式计算后判断．
本题主要考查棱锥体积的求法，多面体外接球问题，考查空间直线、平面位置关系的判断，空间异面直线所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：由题设，，
所以，得，得对均成立．
所以，解得．
经检验，满足要求．
故答案为：．
根据偶函数的性质即可得到对均成立，从而求出参数的值．
本题主要考查了函数奇偶性的应用，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：由题可知抛物线：的准线为，又直线，
设直线过抛物线的准线与轴的交点为，如图，过点作准线的垂线，垂足为，

由直线的斜率为，易得，
故，
由抛物线的性质可得，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以，
同理可得，
故，所以．
故答案为：．
由题可知直线过抛物线的准线与轴的交点，利用抛物线的定义，正弦定理结合图形及条件可得，进而即得．
本题考查抛物线的几何性质，化归转化思想，属中档题．
 15.【答案】 【解析】解：当时，，；
当时，，单调递减，当时，，单调递增，故时，；
当时，，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，有极大值，
当时，，
作出的大致图象如图，

由题意知，
即有个不同的实根，
当有三个根，有四个实根，
此时或，得或；
当有四个根时，有三个实根，
此时，得，
所以．
故答案为：．
利用导数研究函数的性质，得单调性和极值，并作出函数的大致图象，由得或，然后分类讨论，它们一个有个根，一个有个根，由此可得参数范围．
本题考查了函数的零点及数形结合思想，作出图象是解答本题的关键，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：设格点为，格点半径为，则，
所以对应格点圆图象如下，每条边上有不含端点个格点，
以第一象限为例，格点有，，，，，
其中的半径有条，的半径有条，的半径有条，的半径有条，的半径有条，
所以共有条，即对于任意格点，其半径条数有条，
所以四个象限共有条半径，另外数轴上有，，，四个点，半径共有条，
综上，格点半径为时，格点圆的半径有条，
故答案为：．
格点圆上的格点都在上，其中每个象限有个，且互相关于、轴或原点对称，分析可得每个格点半径条数，进而可求出所以格点的半径条数．
本题主要考查了新定义，解题的关键是确定各象限中格点坐标，同时考查了逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于中档题．
 17.【答案】解：由题意易得，由，可得，
所以数列是公差为的等差数列，
故，即．
由知，，
所以的前项和

． 【解析】将两边取倒数后，构造等差数列即可；
将奇偶分开，分组求和即可．
本题主要考查数列的求和，数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题．
 18.【答案】解：，，
，，，
．
可以用线性回归模型拟合与的关系．
，
，
关于的经验回归方程为，
令，得，解得，
若要使生产部件的收益不低于亿元，估计至少需要投入亿元研发资金．
设部件的研发投入为亿元，则部件的研发投入为亿元，
总收益，
，
令得，
当时，，单调递增；当，，单调递减，
所以当时，取得最大值亿元．
所以该科技集团在，两种部件上分别投入亿元，亿元的研发资金，可使所获得的总收益最大． 【解析】先计算出，再根据公式计算出，再由即可判断；
根据公式先求出回归直线方程，令，解不等式即可求解；根据题意，写出总收益的函数表达式，对函数求导，得出函数的单调性，然后利用函数的单调性求出最值即可．
本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题．
 19.【答案】证明：因为，则，
即，由正弦定理可得

，
因此，；
解：因为，由正弦定理可得，
由平面向量数量积的定义可得，
所以，，可得，
即，所以，，则． 【解析】由二倍角公式和正弦定理可得答案；
由正弦定理可得，由平面向量数量积的定义可得，再由余弦定理可得答案．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
 20.【答案】证明：由三棱台知：，
在梯形中，取的中点，连接，

，
故A，四边形是平行四边形，
，
，
，
，即，
，，
又，，
又，平面，
平面，
平面平面；
解：取的中点，的中点，连接，，则，
，，
由条件知：四边形是等腰梯形，，
平面平面，
平面，
平面平面，
平面，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，

则在等腰梯形中，由平面几何知识可得：，
，，，，，
设为平面的法向量，
则由 得，
令，平面的法向量，
又平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为． 【解析】由线面垂直证面面垂直，根据题中条件，在平面中，垂直于两平面的交线，只需再证其与平面内的另外一条与相交的直线垂直即可．
建立空间直角坐标系，两平面法向量的夹角余弦值的绝对值即为平面与平面夹角的余弦值．
本题主要考查面面垂直的证明，平面与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 21.【答案】解：因为，，成等差数列，所以，
又，所以．
将点的坐标代入的方程得，解得，
所以，所以的方程为．
证明：依题意可设：，
由，得，

设，，，则．
，，
则，
而，
所以，
所以是定值． 【解析】根据题意和可得，然后根据点在双曲线上即可求解；
依题意可设：，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到，利用韦达定理和已知条件求出的表达式，然后求出的表达式，化简即可求证．
本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
 22.【答案】解：，
因为在区间内存在极值点，
所以在内有解，
令，则，
所以在上单调递减，
又，，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
，
由知，在时，，单调递减，
在时，，单调递增，
又，，
所以函数在内无零点，在内存在唯一，
由可知，，
所以，，
令，，
则，，且，
令，，
则，
所以函数在上为增函数，
所以当时，，
所以当时，，在上为增函数，
因为时，，，
所以，
因为在上为增函数，且，，
所以． 【解析】求导得，若在区间内存在极值点，则在内有解，即可得出答案．
求导得，分析的符号，的单调性，计算，，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．