2023年辽宁省锦州市高考数学最后一模试卷

2023年辽宁省锦州市高考数学最后一模试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，，则(    )

A.  B.  C. ， D.

2.  已知，是空间两个不同的平面，命题：“”，命题：“平面内有无数条直线与平行”，则是的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  已知复数为虚数单位，为纯虚数，则在复平面内，对应的点的轨迹为(    )

A. 圆 B. 一条线段
C. 两条直线 D. 不含端点的条射线

4.  已知直线的倾斜角为，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，则该杯盏的高度为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在中，，点在线段上，，，，点是外接圆上任意一点，则最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  甲、乙二人在相同条件下各射击次，每次中靶环数情况如图所示：下列说法正确的是(    )

A. 从环数的平均数看，甲、乙二人射击水平相当
B. 从环数的方差看，甲的成绩比乙稳定
C. 从平均数和命中环及环以上的频数看，乙的成绩更好
D. 从二人命中环数的走势看，甲更有潜力

10.  函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是(    )

A. 的最小正周期是
B. 的值为
C. 在上单调递增
D. 若为偶函数，则最小值为
 

11.  若，是函数为自然对数的底数图象上的任意两点，且函数在点和点处的切线互相垂直，则下列结论中正确的是(    )

A.  B. 最小值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为

12.  如图，正方体的棱长为，点、、分别在棱、、上，满足，记平面与平面的交线为，则(    )

A. 存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形
B. 当时，三棱锥的外接球表面积为
C. 当时，三棱锥体积为
D. 当时，与平面所成的角的正弦值为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  某考生回答一道有个选项的选择题，设会答该题的概率是，并且会答时一定能答对，若不会答，则在个答案中任选个已知该考生回答正确，则他确实会答该题的概率是______ ．

14.  设为定义在上的可导函数，其导函数为偶函数，若对任意有，且，则 ______ ．

15.  已知正项等差数列，公差为，前项和为，若也是公差为的等差数列，则 ______ ．

16.  已知、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，则当最大时，的面积为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在直角梯形中如图一，，，将沿折起，使如图二．

求证：平面平面；
设为线段的中点，求点到直线的距离．

18.  本小题分
在中，角是锐角，角，，所对的边分别记作，，，满足，．
求；
若，求的值．

19.  本小题分
记为数列的前项和，已知，．
求的通项公式；
设单调递增的等差数列满足，且成等比数列．
求的通项公式；
设，证明：．

20.  本小题分
据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标如肺活量、柔韧度、力量、速度、耐力等自年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到年中小学生在肺活量、柔韧度、力量、速度、耐力等多项指标出现好转，但肥胖、近视等问题依然严重，体育事业任重道远某学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取名女生的成绩单位：秒作为样本，整理得到如图所示的频率分布直方图．
估计样本中女生短跑成绩的平均数；同一组的数据用该组区间的中点值为代表
由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩，其中近似为女生短跑平均成绩，近似为样本方差，经计算得，若从该校女生中随机抽取人，记其中短跑成绩在内的人数为，求结果保留位有效数字．
参考数据：随机变量服从正态分布，则，，，，，，，．

21.  本小题分
已知，为双曲线：的左、右焦点，的离心率为，为上一点，且．
求的方程；
设点在坐标轴上，直线与交于异于的，两点，且点在以线段为直径的圆上，过作，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标以及的长度；若不存在，请说明理由．

22.  本小题分
已知函数，其中，为自然对数的底数．
若，求实数的值；
证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：所求中的元素需满足或，
解得或，
所以共有两个元素，满足．
故选：．
根据集合的交并运算得出元素需要满足的特征性质进而求得元素，或利用集合中元素的几何意义数形结合得出答案．
本题主要考查了集合的交集及并集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：若，则平面内的任意一条直线平行于另一个平面，故平面内有无数条直线与平行，所以可以推出，
根据面面平行的判定定理，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，
若平面内有无数条直线与平行，则与可能相交，不一定平行，所以不能推出，
所以是的充分不必要．
故选：．
利用面面平行的性质和判定定理即可求得结果．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意可知，复数在复平面内对应的点，
所以，
因为为纯虚数，
所以，解得或，
故在复平面内，对应的点的轨迹为不含端点的条射线．
故选：．
利用复数的分类及复数的几何意义，结合复数的乘法法则即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及纯虚数的定义，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为直线的倾斜角为，
所以．
所以．
故选：．
利用直线的斜率的定义及二倍角的余弦公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
依题意可得，设抛物线的标准方程为，
则，解得，所以抛物线的标准方程为，
可设，代入抛物线方程，可得，
所以该杯盏的高度为．
故选：．
以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，可得点坐标及抛物线的标准方程，设代入抛物线方程求出后可得答案．
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设，
，
，
可得：
，
，
，即，
，即，
，即，

，即，
，
，
由此可知，，
且数列，，，，是以为公差的等差数列，
所以，，，
所以．
故选：．
将展开与比较系数发现数列，，，，是以为公差的等差数列，进而可求得结果．
本题考查数列以及二项式定理相关知识，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，

在中，由余弦定理得，
，
又因为，所以，解得，
从而，．
设外接圆的半径为，由正弦定理得，
故．
所以，
当与同向时，取得最大值为．
故选：．
先根据余弦定理求出线段，，的长度，再根据正弦定理求出外接圆的半径，最后将写成后再求，当与同向时，取得最大值．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了对数函数的单调性、对数的运算性质，属于中档题．
利用对数函数的单调性、对数的运算性质即可得出．

【解答】

解：，
，
又，最大，
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：由题意及图得，
甲射击  次中靶环数由小到大排列为，，，，，，，，，．
乙射击  次中靶环数由小到大排列为，，，，，，，，，．
甲平均值：环，
乙平均值：环，
甲方差：，
乙方差：，
项，甲平均值等于乙平均值，故A正确；
项，，甲的成绩比乙稳定，B正确；
项，甲乙平均数均为，甲命中环及环以上的频数为，乙命中环及环以上的频数为，故乙的成绩更好，C正确；
项，从二人命中环数的走势看，甲成绩逐渐平稳，乙成绩仍有上升趋势，故乙更有潜力，D错误．
故选：．
求出甲乙的平均数和方差，即可得出结论．
本题主要考查平均数，方差的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可知，，该三角函数的最小正周期，故A错误；
由于，则，由图知，
所以该函数的一条对称轴为．
将代入得出，解得，
所以，
所以，故B正确；
令解得．
当时，在上单调递减，故C错误；
若为偶函数，则为偶函数，
所以，解得，
则当时，取最小值，最小值为，故D正确．
故选：．
对于选项A，看图求周期即可；对于选项B，先求出解析式，再求；对于选项C，先求出的减区间，再做出判断即可；对于选项D，求出为偶函数时的取值，进而求出最小值．
本题考查了三角函数解析式的求解，三角函数的周期性、单调性、奇偶性以及最值的求解，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：当时，，当时，．
因为函数在点和点处的切线互相垂直，
所以，
即可得．
因为，可得故A正确．
由，设，，
当时，，在上单调递增，
所以在上无最小值．故B错误．
由，设，，
当时，，在上单调递减，
所以在上有最小值故C正确．
由，设，，
当时，，在上单调递增，
所以在上有最大值，故D正确．
故选：．
先分段求导，利用导数的几何意义得出，通过构造新函数，利用导数的正负求得函数的单调性，再利用单调性求出最值即可．
本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查两直线垂直的条件，考查构造函数法和运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．
正方体的棱长为，当时，平面截正方体所得截面图形为四边形，
当时，平面截正方体所得截面图形为五边形或六边形，如图：

故A错误；
当时，，三棱锥的外接球的球心在过线段的中点，
且垂直于平面的直线上，记的中点为，，球心，
由，得，解得，可得．
三棱锥的外接球表面积为，故B错误；
当时，，可得，可得平面，
又平面，
，故C正确；
当时，，，，，，

，，．
设平面的一个法向量为，则，
取，得；
由平面知，平面的法向量为．
记平面与平面的交线的一个方向向量，
则，取，得．
取平面的一个法向量为，
设与平面所成的角为，则，故D正确．
故选：．
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．
当时，画出平面截正方体所得截面图形判断；当时，找出三棱锥的外接球的球心，求出半径，可得三棱锥的外接球表面积判断；利用等体积法求三棱锥的体积判定；当时，利用空间向量求解与平面所成的角的正弦值判断．
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设考生会答该题为事件，不会答为事件，该考生回答正确为事件；
则：，，
，
，
故答案为：．
利用条件概率和全概率公式即可．
本题考查条件概率相关知识，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：导函数为偶函数，
所以，
，为常数；
，
，即，
所以，即，
，
两式相减得：，故函数周期为，
，
，
，
，
，；
；
．
故答案为：．
导函数为偶函数可知有对称中心，可知有对称轴，所以是周期函数，然后根据周期性和对称性求解即可．
本题主要考查导数的运算，考查转化能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为是公差为的正项等差数列，则，
因为是等差数列的前项和，所以，
又因为也是公差为的等差数列，则，
从而有，两边平方得，
即，
由多项式相等，得出，
解得．
故答案为：．
利用等差数列的通项公式和前项和公式，结合多项式相等即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据椭圆的方程可知，，连接，，
则，
所以当、、三点共线时，的值最大，
此时，．
又因，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，
解得，
．
故答案为：．
将对称性和椭圆的定义结合起来，得到，的和为定值，从而知当、、三点共线时，的值最大，然后通过几何关系求出，结合余弦定理即可求出三角形的面积．
本题考查椭圆的几何性质，余弦定理的应用，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 

17.【答案】证明：取的中点，连接，如图所示：

因为，，
则四边形为正方形，所以，
因为，所以．
因为，，，，平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
因为，，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
解：取，的中点，，连接，，，

因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以．
因为，，所以．
因为，，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以．
因为，，且，
所以，
即点  到直线  的距离为． 

【解析】首先取的中点，连接，根据题意易证平面，从而得到，即可得到平面，再根据面面垂直的判定即可证明平面平面．
首先取，的中点，，连接，，，易证平面，从而得到，再计算的长度即可．
本题主要考查平面与平面垂直的判定，考查转化能力，属于难题．
 

18.【答案】解：因为，
又因为角是锐角，即，
所以，
所以，故；
因为，
又，所以，
因为，，
由正弦定理，得，
所以，
由余弦定理得，，得，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
所以． 

【解析】利用辅助角公式和三角函数关系式的变换求角；
利用正弦定理和余弦定理及三角函数关系式的变换求出结果．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于难题．
 

19.【答案】解：因为，可得，，
两式相减可得，即，
则，，
又因为，可得，
所以当时，，即，
当时，不满足上式，
所以数列的通项公式为
设数列的公差为，
因为成等比数列，且，，，
所以，，
整理得，解得或，
因为，可得，
又因为，所以数列的通项公式为．
证明：由知，，
可得，
当时，；
当时，，
综上可得，对于任意，都有． 

【解析】由数列的递推关系式得到，，再根据等比数列的通项公式，即可求解；
设数列的公差为，根据题意，结合等比中项公式列出方程，求得，再利用等差数列的通项公式，即可求解；
由得到，利用放缩法和裂项求和，即可求解．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，数列与不等式的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：平均数；
由题意可知，该校女生的短跑成绩，
，，
，，
成绩在内的概率，
，
，，
． 

【解析】利用频率分布直方图求解平均数即可；
根据可求出成绩在内的概率，再利用二项分布的概率公式求解即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布曲线的对称性，以及二项分布的概率公式，属于中档题．
 

21.【答案】解：双曲线的离心率为，
，
又，解得，
则，
，
故双曲线的方程为；
由得在双曲线：中，，
则点在双曲线的左支上，点在坐标轴上，即点的坐标为，
设，，
当的斜率存在时，设的方程为，
联立，整理得，
，则，
则，，
在以为直径的圆上，，
则，
，
整理得，解得或，
经检验均满足，
当时，直线的方程为，则直线过点，不合题意，舍去；
当时，直线的方程为，则直线过定点，符合题意．
当直线的斜率不存在时，由，
可设直线的方程为，联立，解得，，
直线的方程为，则直线过定点，
，是以为斜边的直角三角形，
点在以为直径的圆上，
则当为该圆的圆心时，为该圆的半径，即，
故存在点，使得为定值． 

【解析】根据双曲线的离心率和双曲线的定义求出、，即可得出答案；
分类讨论的斜率存在与不存在两种情况，联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理和求出直线方程，求解即可得出答案．
本题考查直线与双曲线的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：，令，．
则等价于，对任意恒成立，令，
当时，，与恒成立矛盾，不合题意；
当时，，，与恒成立矛盾，不合题意；
当时，，在上递减，在上递增，
的最小值为．
令，则，知在上递增，在上递减，
，要使，当且仅当．
综上，实数的值为；
证明：由知，当时，，即，
，
下面证明，即证：．
令，．
当时，显然单调递增，，
在上单调递减，，
当时，显然，即．
故对一切，都有，即．
故原不等式成立． 

【解析】，令，，则等价于，对任意恒成立，令，可知当时不恒成立；当时，利用导数求其最大值，由最大值等于求得值；
由知，当时，，即，可得，把问题转化为证明，即证：，构造函数，再由导数证明即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查化归与转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．