2023年上海市七宝重点中学高考数学二模试卷

这是一份2023年上海市七宝重点中学高考数学二模试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年上海市七宝重点中学高考数学二模试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  设，是两个不同的平面，直线，则“对内的任意直线，都有”是“”的(    )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件2.  已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是(    )A. 数列的最大项为 B. 数列的最小项为
C. 数列为严格递增数列 D. 数列为严格递增数列3.  某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示则下列正确的命题是(    )
A. 在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱
B. 在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱
C. 在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标
D. 甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强4.  已知定义在上的函数，对于给定集合，若，，当时都有，则称是“封闭”函数已知给定两个命题：
：若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数；
：若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数．
则下列判断正确的为(    )A. 对，对 B. 不对，对 C. 对，不对 D. 不对，不对二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5.  已知集合，集合，则          ．6.  在复平面内，点对应的复数，则______．7.  若不等式的解集为，则实数等于______ ．8.  在中，，，，将绕边旋转一周，所得到几何体的体积为______ ．9.  已知随机变量服从正态分布，若，则______．10.  若，则 ______ ．11.  已知函数，则曲线在处的切线方程为______．12.  若函数的最小值为，则常数的一个取值为______ ．13.  某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程单位：万千米对应维修保养费用单位：万元的四组数据，这四组数据如表： 行驶里程万千米维修保养费用万元若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为万千米时的维修保养费是______ ．14.  已知单位向量，若对任意实数，恒成立，则向量的夹角的最小值为______ ．15.  不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点，关于对称，中点的横坐标为，若，则的值为______ ．16.  对于一个有穷正整数数列，设其各项为，，，，各项和为，集合，中元素的个数为，对所有满足的数列，则的最大值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知
求；
是线段上的点，若，，求的面积．18.  本小题分
已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
证明：点为的中点；
若点为棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
19.  本小题分
随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解、两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于旅游景点的问卷份，关于旅游景点的问卷份问卷中，对景点的满意度等级为：非常满意、满意、一般、差评，对应分数分别为：分、分、分、分，数据统计如表：  非常满意满意一般差评景点景点假设用频率估计概率，且游客对，两个旅游景点的满意度评价相互独立．
从所有人数足够多在旅游景点的游客中随机抽取人，从所有人数足够多在旅游景点的游客中随机抽取人，估计这人中恰有人给出“非常满意”的概率；
根据上述数据，你若旅游，你会选择、哪个旅游景点？说明理由．20.  本小题分
已知椭圆：过点记椭圆的左顶点为，右焦点为．
若椭圆的离心率，求的范围；
已知，过点作直线与椭圆分别交于，两点异于左右顶点连接，，试判定与是否可能垂直，请说明理由；
已知，设直线的方程为，它与相交于，若直线与的另一个交点为证明：．21.  本小题分
已知关于的函数，与在区间上恒有，则称满足性质
若，，，，判断是否满足性质，并说明理由；
若，，且，求的值并说明理由；
若，，，，试证：是满足性质的必要条件．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】根据线面垂直与面面垂直定义可解．
本题考查线面垂直与面面垂直定义，属于基础题．【解答】解：根据题意，因为，是两个不同的平面，直线，若对内的任意直线，都有，根据线面垂直的定义可知，
，，
所以，“对内的任意直线，都有”“”即充分性成立，
若，因为，对内的任意直线，与的位置关系不确定，
所以，“对内的任意直线，“””即必要性不成立，
故“对内的任意直线，都有”是“”的充分不必要条件，
故选：．  2.【答案】 【解析】解：对于，由题意知：当为偶数时，，
当为奇数时，，，最大；
综上所述：数列的最大项为，A正确；
对于，当为偶数时，，，最小；
当为奇数时，；
综上所述：数列的最小项为，B正确；
对于，，，
，
，，，
数列为递增数列，C正确；
对于，，，
；
，，，又，
，数列为递减数列，D错误．
故选：．
分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知正误；利用和可知正误．
本题考查命题真假的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 3.【答案】 【解析】解：设甲企业的污水排放量与时间的关系为，乙企业的污水排放量与时间的关系为，
对于选项，在这段时间内，甲企业的污水治理能力，
乙企业的污水治理能力由图可知，，
所以，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误；
对于选项，由图可知，在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率，
但两切线斜率均为负值，故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误；
对于选项，在时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误；
对于选项，由图可知，甲企业在，，这三段时间中，
在时的污水治理能力最强，故D选项正确，
故选：．
根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力．
本题考查利用数学解决实际生活问题，考查读图和识图能力，属于中档题．
 4.【答案】 【解析】解：对命题：对于集合，，使，则，而是“封闭”函数，
则，即都有，
对于集合，，使，则，
而，，，，
所以，
即，故，一定是“封闭”函数，正确；
对命题，其逆否命题为，若是“封闭”函数，则不是“封闭”函数，
只需判断出其逆否命题的正误即可，，使，则，
若，则，由解得，因为，所以，
即，使，则，
满足是“封闭”函数，
所以命题的逆否命题为假命题，则原命题也为假命题，错误．
故选：．
根据定义可得都有，都有，再判定所给定区间里是否有，成立即可判断作答．
本题考查函数性质及命题真假判断，递推关系及函数新定义，属于中档题．
 5.【答案】 【解析】【分析】本题考查了并集及其运算，属基础题．
由并集及其运算求解即可．【解答】解：已知集合，集合，
则，
故答案为：．  6.【答案】 【解析】解：在复平面内，点对应的复数，则．
故答案为：．
求出复数，然后求解复数的模．
本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．
 7.【答案】 【解析】解：不等式，化为，
因此不等式的解集为，
依题意，，于是，解得，，
所以实数等于．
故答案为：．
求出绝对值符号的不等式解集，再比对作答．
本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：因为在直角三角形中，，，，
所以绕直线旋转一周所得几何体是底面是以为半径的圆，高为的圆锥，示意图如下图所示：

所以绕直线旋转一周所得几何体的体积为．
故答案为：．
绕直线旋转一周，所得几何体是底面是以为半径的圆，高为的圆锥，由此根据圆锥的体积公式能求出其体积．
本题主要考查了圆锥的结构特征，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】解：随机变量服从正态分布，
正态曲线关于对称，
，
，
，
故答案为：．
根据正态曲线关于对称，得到两个概率相等的区间关于对称，得到关于的方程，解方程即可．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查关于直线对称的点的特点，是基础题．
 10.【答案】 【解析】解：依题意，，
所以．
故答案为：．
把表示成的二项式形式，再根据二项式定理求解作答．
本题考查二项式定理相关知识，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】【分析】
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，则答案可求．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
【解答】
解：，，
，
则曲线在处的切线方程为．
故答案为：．  12.【答案】答案不唯一 【解析】解：因为

，
其中，，且，
即，即，
所以，则，．
当时，，即的一个取值为．
故答案为：答案不唯一．
根据题意，由三角恒等变换公式进行化简，然后由函数的最小值为，列出方程，即可得到结果．
本题主要考查三角函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题．
 13.【答案】 【解析】解：由表中数据可得，，，
样本中心点为，
回归直线方程为，
，解得，
故回归直线方程为，
当时，，
故估计该款汽车行驶里程为万千米时的维修保养费是万元．
故答案为：．
根据已知条件，求出，的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解线性回归方程，再将代入，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：设向量的夹角为，，
对任意实数，恒成立，
恒成立，
即恒成立，
则，解得，
故夹角的取值范围是，
向量的夹角的最小值为．
故答案为：．
由平面向量的数量积运算，得到恒成立，进而得到，求解即可．
本题考查平面向量的数量积运算，不等式恒成立问题的求法，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：设，，，
则，两式相减得，即，
，即，
是垂直平分线，，
，即，整理得，
故，解得．
故答案为：．
由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：存在大于的项，否则此时有；
，否则将拆分成个后变大；
当，，，时，有，否则交换，顺序后变为，
进一步有，否则有，此时将改为，并在数列末尾添加一项，此时变大；
各项只能为或，否则由可得数列中有存在相邻的两项，，
设此时中有项为，则将改为，并在数列末尾添加一项后，
的值至少变为；
由上可得数列为，，，，，，的形式，设其中有项为，有项为，
则有，从而有，
由二次函数的性质可得，当且仅当时，最大为．
故答案为：．
根据给定条件，分五步证明对所有满足的数列，求出的最大值作答．
本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于难题．
 17.【答案】解：由正弦定理可得，
则有，化简可得，
可得，
因为，
所以．
设，，由题意可得，，，，
在中，，则，
所以，可得，
又因为，可得，，
则，
所以． 【解析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围，可求的值．
设，，由题意可得，，，，在中，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，可求，，利用二倍角的正弦函数公式可求，进而根据三角形的面积公式可求的值．
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 18.【答案】证明：在正方体中，，
又平面，且平面，
则平面，而交平面于点，即平面，，
又平面，有平面，因此平面平面，
于是，
又因为为中点，
所以为的中点；
以为坐标原点，分别以，，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：

不妨设正方体的棱长为，设，
则，
从而，
设平面的一个法向量为，则，
即，取，解得，所以，
又因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，解得，
所以． 【解析】由可得平面，再利用线面平行的性质定理可得，从而证得为的中点；
以为坐标原点，，，方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，设，求出相应点的坐标，进而求出相应向量的坐标，再利用线面夹角的向量公式求解即可．
本题主要考查了线面平行的判定定理，考查了利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．
 19.【答案】解：设“这人中恰有人给出“非常满意”的评价”为事件，
由表中数据可知，游客在景点给出“非常满意”评价的概率为，
游客在景点给出“非常满意”评价的概率为，
则；
设一位游客对景点的满意度评分为，一位游客对景点的满意度评分为，
由数表中数据得的分布为： 的分布为： 则，
，
，
，
显然，，所以选择景点． 【解析】求出游客在，景点给出“非常满意”评价的概率，再利用互斥事件、独立重复事件的概率公式计算作答；
列出游客对，景点评分的分布列，并求出期望和方差，再比较大小作答．
本题主要考查了互斥事件、独立重复事件的概率公式，考查了期望和方差的计算，属于中档题．
 20.【答案】解：在椭圆上，
，可得，


；
垂直，理由如下：
且椭圆过，
，因此椭圆方程为，
由题意得，假设，
设，
则，
由，得 ，
即，
又点在椭圆上，则，
联立消去，得，
则 为左顶点不符合题意舍，，
所以与垂直．
证明：设，，，
由知椭圆方程为，与直线的方程 联立消去，
并整理得，
可得，
又点 在直线上，
，
，
，
又直线  的方程为与椭圆方程为联立消去，
，整理得，
所以，于是可得，即，
从而， 两点关于  轴对称，因此． 【解析】先根据在椭圆上，得到，的关系，再结合离心率的范围可以求得的范围；
假设，向量数量积为，可以求得点坐标，可以确定与垂直；
设点后联立直线和椭圆方程，再消参数得出横坐标关系，即可得出结论．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 21.【答案】解：满足，理由如下：
因为，，，
所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，取到最小值，故，
又，
综上，满足性质；
，理由如下：
设，，则，
由条件知，则是的极小值点，
所以，即，
当时，，，
当时，；当时，；
所以，
即恒成立当且仅当时取等号，
因此；
证明：设，，
由所证的当且仅当时取等号知：
，当时取等号，
设，，则，
所以在上单调递增，
又，，
所以存在使得，
即，则，，
又，则，
结合条件可得，
所以，
设，，
则，，
又由已知，则是的极小值点，
所以，即，
结合，，可得，故，
所以是满足性质的必要条件． 【解析】结合题意，利用配方法与二次函数的性质，分别证明，即可；
先根据题意得到是的极小值点，从而求得，再进行检验即可；
构造函数，求得的隐零点，结合题意得到，与，从而得证．
本题考查了函数与方程的综合运用、利用转化思想解决恒成立问题、导数的综合运用，属于难题．