2023年上海市普陀区曹杨重点中学高考数学模拟试卷

2023年上海市普陀区曹杨重点中学高考数学模拟试卷

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  记函数的最小正周期为若，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：，，，，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是(    )

 

A.  B.  C.  D.

3.  上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是(    )

A. 总体均值为，中位数为 B. 总体均值为，总体方差大于
C. 总体中位数为，众数为 D. 总体均值为，总体方差为

4.  记函数，，函数，，若对任意的，总有成立，则称函数包裹函数判断如下两个命题真假．
函数包裹函数的充要条件是；
若对于任意，对任意都成立，则函数包裹函数．
则下列选项正确的是(    )

A. 真假 B. 假真 C. 全假 D. 全真

二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）

5.  已知是虚数单位，则复数的虚部是______ ．

6.  数据，，，，，，，的第百分位数为______ ．

7.  不等式的解集是______ ．

8.  二项式展开中，项的系数为______ ．

9.  已知命题：任意正数，恒有，则命题的否定为______ ．

10.  抛物线的准线与圆相交于、两点，则 ______ ．

11.  在平行四边形中，，若，则 ______ ．

12.  已知数列满足，，，则数列的前项积的最大值为______ ．

13.  两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为：，则这两个圆锥的体积之和为______．

14.  在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为          ．

15.  设是双曲线的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为________．

16.  若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图所示，正四棱柱的底面边长，侧棱长，中点为，中点为．
求证：平面平面；
连结，求直线与平面所成的角的正弦值．

18.  本小题分
已知数列，是其前项的和，且满足
Ⅰ求证：数列为等比数列；
Ⅱ记，求的表达式．

19.  本小题分
我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量单位：与遥测雨量单位：的关系，统计得到该地区组雨量数据如表：

求该地区汛期遥测雨量与人工测雨量的样本相关系数精确到，并判断它们是否具有线性相关关系；
规定：数组满足为“Ⅰ类误差”；满足为“Ⅱ类误差”；满足为“Ⅲ类误差”为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为，求的概率分布与数学期望．

20.  本小题分
如图，中心在原点的椭圆的右焦点为，长轴长为椭圆上有两点，，连结，，记它们的斜率为，，且满足．
求椭圆的标准方程；
求证：为一定值，并求出这个定值；
设直线与椭圆的另一个交点为，直线和分别与直线交于点，，若和的面积相等，求点的横坐标．

21.  本小题分
已知函数．
若是定义域上的严格增函数，求的取值范围；
若，，求实数的取值范围；
设、是函数的两个极值点，证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据最小正周期，可得，解得；
又，即是函数的一条对称轴，
所以，，解得，
又，当时，．
故选：．
由最小正周期可得，再由即可得，即可求得．
本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了频率分布直方图的应用及频率的定义与应用，属于基础题．
由频率分布直方图先求频率，再求频数，即评分在区间内的影视作品数量即可．

【解答】

解：由频率分布直方图知，
评分在区间内的影视作品的频率为，
故评分在区间内的影视作品数量是，
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：对于，总体均值为，中位数为，可能出现低于的情况，故A不正确；
对于，当总体方差大于，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确；
对于，中位数和众数也不能确定，故C不正确：
对于，当总体均值为，总体方差为，平均气温会大概会不低于，故D正确．
故选：．
根据总体均值，中位数，众数，总体方差的定义判断即可．
本题考查总体均值，中位数，众数，总体方差，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因数函数包裹函数，
所以，
又因为，
所以，
所以函数包裹函数的充要条件是，故正确；
由，
又因为，当且仅当时，等号成立，
又因为，故对于任意，，可得，
即函数包裹函数，所以正确．
故选：．
根据包裹函数的定义可以得到，由，可得，即正确；
根据包裹函数的定义可以得到，可得函数包裹函数，即正确．
本题属于新概念题，考查了学生的推理能力，理解定义是解答本题的关键，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由复数的概念，知：
复数的虚部是．
故答案为：．
利用复数的概念求解．
本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要熟练掌握复数的概念．
 

6.【答案】 

【解析】解：数据，，，，，，，共有个数据，
按照从小到大排列为：，，，，，，，，
所以，是个小数，
则第百分位数为第个数据为．
故答案为：．
利用百分位数的定义，即可得解．
本题考查百分位数的定义，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：不等式，等价于，且，
或，
解得或，
即不等式的解集为．
故答案为：．
原不等式等价于，且，进而求出不等式的解集即可．
本题主要考查了分式不等式的解法，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由二项式定理的通项公式为，
令，
所以项的系数为．
故答案为：．
利用通项公式来解决，在通项中令的指数幂为可求出含是第几项，由此算出系数．
本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型．
 

9.【答案】存在正数，有 

【解析】解：命题是全称命题，则否定为特称命题：
即存在正数，有．
故答案为：存在正数，有．
根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题进行判断是解决本题的关键，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的准线为，
准线与圆相交于、两点，
则．
故答案为：．
求出抛物线的准线方程，利用直线与圆的位置关系，即可求解．
本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题可作图，如下图，
，
，．
故答案为：．

由题中条件画出图形，再由平面向量的线性运算可将用表示出来即可求得，．
本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
两式相除得，即，
故数列的周期，
又，，则，
设数列的前项积为，
当，时，则；
当，时，则；
当，时，则，
数列的前项积的最大值为．
故答案为：．
由递推式出发，得到数列的周期，再根据被整除的情况讨论即可．
本题考查了数列的递推关系及数列的周期性、单调性，属中档题．注意结果的表示．
 

13.【答案】 

【解析】解：设球的半径为，因为球的体积为，所以有，
设两个圆锥的高分别为，，于是有：：且，

所以有，，设圆锥的底面半径为，
所以有，
因此这两个圆锥的体积之和为，
故答案为：．
根据球的体积公式，结合球的性质、圆锥的体积公式进行求解即可．
本题主要考查空间几何体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角形的面积公式与基本不等式的应用．
根据面积关系建立条件等式，结合基本不等式利用的代换的方法进行求解即可．

【解答】

解：由题意得，
即，
得，
得，
当且仅当，即，亦即，时，取等号，
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．
根据点到直线的距离求出，求出，在三角形中，由余弦定理可得，代值化简整理可得，则的离心率可求．
【解答】
解：双曲线：的一条渐近线方程为，

点到渐近线的距离，即，
，，
，，
在三角形中，由余弦定理可得，
，
即，得，
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：，设切点坐标为，
切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，
，解得或，
即的取值范围是，
故答案为：．
设切点坐标为，利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由即可求出的取值范围．
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
 

17.【答案】解：以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图
则，，，，，，

，，不在平面内，在平面内，
可得与平面平行
同理平面，又与为平面内两条相交直线，
可得平面与平面平行．
同建系，
设平面的一个法向量为，
则，得，
不妨取，则，
又，
设直线与平面所成的角为，
故，
直线与平面所成的角的正弦值为． 

【解析】本题考查面面平行的证明，考查线面角的大小的求法，属中档题．
以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图利用向量法证，同理平面，可证平面平面；
利用向量法可求直线与平面所成的角的正弦值．
 

18.【答案】Ⅰ证明：，
，
两式相减得：，
，
，
又，得，
数列是以为首项，为公比的等比数列；
Ⅱ解：由Ⅰ得，
，
，


． 

【解析】Ⅰ由，类比可得，两式相减，整理即证得数列是以为首项，为公比的等比数列；
Ⅱ由Ⅰ得，，分组求和，利用等比数列与等差数列的求和公式，即可求得的表达式．
本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，突出考查分组求和，熟练应用等比数列与等差数列的求和公式是关键，属于中等题．
 

19.【答案】解；由题意得，，，，，
，
由于样本相关系数非常接近于，可以推断该地区汛期遥测雨量与人工测雨量，两个变量正线性相关，且相关程度很强．
组数据中，“Ⅰ类误差”有组，“Ⅱ类误差”有组，“Ⅲ类误差”有组，
从“Ⅰ类误差”，“Ⅱ类误差”中随机抽取组数据，记抽到“Ⅰ类误差”的数据组数为，则的可取值为，，，，
，
，
，
，

则的分布列为：

所以． 

【解析】根据参考公式和数据，代入求相关系数，即可判断相关性强或弱；
根据条件可知，，，，，再根据超几何分别求分布列和数学期望．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相关系数，是中档题．
 

20.【答案】解：由已知条件，设椭圆：，
则，
椭圆：．
证明：设，，
则，整理得，
由，，
，
解得 ，
代入，为定值．
法一：设直线与椭圆的另一个交点为，直线和分别与直线交于点，，
设，，
由椭圆的对称性可知，，，，
故，，
于是，
又，
若和的面积相等，
代入，再将代入，
得．
若，化简得，方程无解；
若，化简得
解得：舍去，点横坐标为．
法二：设，，由椭圆的对称性可知，，
，，，，
或者，，或者．
，，或者舍，
解得：，
点横坐标为． 

【解析】利用椭圆的长轴长以及焦点坐标，求解，，然后求解，得到椭圆方程．
设，，通过结合得到坐标满足方程，转化求解为一定值即可．
法一：推出，转化求解、的纵坐标，通过，转化求解点横坐标．
法二通过，推出，转化求解点横坐标即可．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

21.【答案】解：根据题意可得：对任意的，恒成立，
对任意的，恒成立，
，，
又，当且仅当时，取得等号，
；
由于，
若，，则须有，
又，，解得，
当时，
在上单调递增，，
当时，由于，存在使得在上，，
单调递减，此时，不成立，
综上所述：实数的取值范围为；
证明：由得，
当时，，在上单调递减，不成立，
当时，，
当，即，，单调递增，不成立，
当，即，，解得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
不妨设，则，
要证明：，
故只需证，
只需证，
需证，
令，
则只需证，
由知，时，，
时，，
则，
又时，，
，
即成立，故原式得证． 

【解析】先求导，再根据题意建立不等式恒成立问题，即可求解；
由已知可得，可得，当时，可得，当时，分析可得不成立；
，分，两种情况，当，即，，解得或，只需证，令，则只需证，由可证结论成立．
本题考查函数的导数的综合应用，考查构造函数法的应用，考查运算求解能力，属难题．