2023年浙江省北斗星盟高考数学联考试卷（5月份）

这是一份2023年浙江省北斗星盟高考数学联考试卷（5月份），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省北斗星盟高考数学联考试卷（5月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  若集合，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  若，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知单位向量满足，其中，则在上的投影向量是(    )A.  B.  C.  D. 4.  九章算术商功刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑，”阳马，是底面为长方形或正方形，有一条侧棱垂直底面的四棱锥在底面，且底面为正方形的阳马中，若，则(    )A. 直线与直线所成角为
B. 异面直线与直线的距离为
C. 四棱锥的体积为
D. 直线与底面所成角的余弦值为5.  临近高考，同学们写祝福卡片许美好愿望某寝室的位同学每人写一张祝福卡片放在一起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有同学拿到自己写的祝福卡，则至少有位同学摸到自己写的祝福卡片的概率为(    )A.  B.  C.  D. 6.  定义设函数，可以使在上单调递减的的值为(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知点是双曲线右支上一点，，分别是的左、右焦点，若的角平分线与直线交于点，且，则的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知，，，且满足，则(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  下列说法正确的是(    )A. 样本数据，，，，，，，的上四分位数为
B. 若随机变量服从两点分布，若，则
C. 若随机变量服从正态分布，且是偶函数，则
D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数的值越接近于10.  直三棱桂中，，，为棱上的动点，为中点，则(    )A.
B. 三棱锥的体积为定值
C. 四面体的外接球表面积为
D. 点的轨迹长度为11.  抛物线：的准线方程为，过焦点的直线交抛物线于，两点，则(    )A. 的方程为
B. 的最小值为
C. 过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有且仅有条
D. 过点，分别作的切线，交于点，则直线，，的斜率满足12.  已知，，，，则(    )A. 对于任意的实数，存在，使得与有互相平行的切线
B. 对于给定的实数，存在、，使得成立
C. 在上的最小值为，则的最大值为
D. 存在、，使得对于任意恒成立三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知的展开式中常数项为，则 ______ ．14.  已知圆：和圆：，则过点且与，都相切的直线方程为______ 写出一条即可15.  已知等差数列的公差为，前项和记为，满足，若数列为单调递增数列，则公差的取值范围为______ ．16.  若函数与函数的图象恰有三个不同的交点，其中交点的横坐标成等差数列，则的取值范围为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前项和
满足．
求数列和的通项公式；
设，数列的前项和，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．18.  本小题分
在现实生活中，每个人都有一定的心理压力，压力随着现代生活节奏的加快、社会竞争日趋激烈等逐渐增大某市研究组为了解该市市民压力的情况，随机邀请本市名市民进行心理压力测试评估，得到一个压力分值，绘制如下样本数据频率分布直方图．
求的值，并估计该市市民压力分值位于区间的概率；
估计该市市民压力分值的平均值；同一组数据用该区间的中点值作代表
若市民的压力分值不低于，则称为“高压市民”研究组对“高压市民”按年龄段进行研究，发现年龄在岁到岁的“高压市民”有人，年龄在岁到岁的“非高压市民”有人，剩余“高压市民”的年龄分散在其它年龄段为研究方便，记年龄在岁到岁为年龄段，其余为年龄段根据所给数据，完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该市“高压市民”与其年龄在岁到岁有关． 压力高压市民非高压市民年龄段  年龄段  附：，其中．  
19.  本小题分
已知四棱锥中，底面为平行四边形，，平面平面，．
若为的中点，证明：平面；
若，，求平面与平面所夹角的余弦值．
20.  本小题分
记锐角内角、、的对边分别为、、已知．
求；
若，求的取值范围．21.  本小题分
已知椭圆：的离心率为，抛物线：的准线与相交，所得弦长为．
求的方程；
若，在上，且，分别以，为切点，作的切线相交于点，点恰好在上，直线，分别交轴于，两点求四边形面积的取值范围．22.  本小题分
己知函数有三个极值点，，，其中．
求的取值范围；
求证：；
求证：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由题意集合，，
则
故选：．
求出集合，，利用并集定义能求出．
本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，
则，
故，．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及复数的四则运算，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：，
，两边同时平方可得，，
，解得，
，
在上的投影向量为：．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量的投影公式，以及数量积公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的投影公式，以及数量积公式，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：如图，

底面，底面为正方形，，
直线与直线所成角为，故A错误；
以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
异面直线与的公垂线的方向向量，
由，取，得．
异面直线与直线的距离为，故B正确；
四棱锥的体积为，故C错误；
为直线与底面所成角，，，
直线与底面所成角的余弦值为，故D错误．
故选：．
由题意画出图形，求出直线与直线所成角判断；利用空间向量求距离判断；求出棱锥体积判断；求出直线与平面所成角的余弦值判断．
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间角与空间距离的求法，是中档题．
 5.【答案】 【解析】解：恰有位同学拿到自己写的祝福卡有种，
恰有位同学拿到自己写的祝福卡有种，
恰有位同学拿到自己写的祝福卡有种，
恰有位位同学拿到自己写的祝福卡有种，
因此有同学拿到自己写的祝福卡的事件含有的基本事件数为个，
至少有位同学摸到自己写的祝福卡的事件有个基本事件，
所以至少有位同学摸到自己写的祝福卡片的概率．
故选：．
根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率作答．
本题主要考查条件概率，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：依题意，
函数的递减区间是，，，
，或，，，
即，，解得，
由，得，无解；
或，，解得，
由，得，则或，
当时，，当时，，选项C满足，选项ABD不满足．
故选：．
分段写成函数解析式，并确定单调递减区间，再借助集合的包含关系能求出结果．
本题考查正弦函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 7.【答案】 【解析】解：作的平分线交的平分线于，过作，，轴，垂足分别为，，，如图，

则点为的内心，有，，，设，
，则，
于是直线与直线重合，而的角平分线与直线交于点，即与重合，则点为的内心，
因此令，由，得，
因此，即有，即，
所以双曲线的离心率为．
故选：．
根据给定条件，结合双曲线定义证明点是的内心，再借助三角形面积公式求解作答．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：已知，，，且满足，
易得，，，
整理得，，，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，，，，
解得．
故选：．
由题意，结合对数的运算性质对，，进行整理，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和对数的运算性质，考查了逻辑推理和运算能力．
 9.【答案】 【解析】解：对于，样本数据，，，，，，，，由，
得上四分位数为，A正确；
对于，，B错误；
对于，由是偶函数，所以，
得，
又，因此，C正确；
对于，两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，
则样本相关系数的绝对值越接近于，D错误．
故选：．
求出上四分位数判断；求出两点分布的方差判断；利用正态分布的对称性求出判断；利用相关系数与相关性强弱的关系判断作答．
本题考查百分位数，正太分布，方差，相关系数，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：如图，

在直三棱桂中，，，，
平面，可得，
又，四边形为正方形，可得，
而，平面，
平面，，故A正确；
当与重合时，为的中点，当与重合时，为的中点，
则的轨迹为线段，长度为，故D正确；
由，可得平面，则到平面的距离为定值，
三棱锥的体积为为定值，故B正确；
四面体的外接球，即三棱锥的外接球，球心为，
半径为，则四面体的外接球表面积为，故C错误．
故选：．
由题意画出图形，证明平面，可得，从而判断；取的中点，的中点，证明的轨迹为线段，即可判断与；再求出四面体的外接球表面积判断．
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，是中档题．
 11.【答案】 【解析】解：对于；依题意，，解得，的方程为，A错误；
对于，由选项A知，，设直线的方程为，由，
消去得，
设，，
则有，，
当且仅当时取等号， B正确；
对于，过点且与抛物线仅有一个公共点的直线不垂直于轴，
设此直线方程为由，消去得：，
当时，，直线与抛物线仅只一个交点，
当时，，解得，
即过点且与抛物线相切的直线有条，
所以过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有条，C错误；
对于，由，求导得，由选项B知，，，
，，
由，两式相减得：，
即，则，
于是，，即点，
所以，，D正确．

故选：．
求出抛物线方程判断；设出直线的方程并与抛物线方程联立，结合抛物线定义及均值不等式计算判断；设出过点的直线方程，与抛物线方程联立求解判断；求导并结合选项B的信息求解判断．
本题考查抛物线的几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
 12.【答案】 【解析】解：对于，，，
当时，，
当时，，
当时，，综上，，
所以对于任意的实数，存在，使与，有交集，
所以对于任意的实数，存在，使得与有互相平行的切线，所以A正确；
对于，由于给定的实数，当给定时，则为定值，
由，得，，所以存在使上式成立，所以B正确；
对于，令，
而，
由题意可知，当时，恒成立，
所以，
所以，即，
若在上单调递增，
因为在上的最小值为，
所以，得，
所以，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则，
所以在上单调递增，
所以，所以，
所以，
若在上不单调，
因为在上的最小值为，所以设为的极小值点，
则，解得，
所以，
令，
则，
由，得，
或，
解得，或舍去，或舍去，或，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
综上，所以C正确；
对于，，当趋于时，趋于，所以D错误，
故选：．
对于，对两函数求导，再求出导函数的值域，由两值域的关系分析判断；
对于，由可得，从而可判断；
对于，令，再由可得，由题意设为的极小值点，然后列方程表示出，，从而可用表示，再构造函数，利用导数可证得结论；
对于，根据函数值的变化情况分析判断．
此题考导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于难题．
 13.【答案】 【解析】解：因为展开式的通项为，
令，不符合题意，
令可得，此时，
令可得，此时，
由题意得展开式中常数项为，
故．
故答案为：．
由已知先求出展开式的通项，结合已知即可求解．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
 14.【答案】或 【解析】解：过点且与相切的直线方程设为，即，
可得，解得，切线方程为：或，
因为与圆：相切，所以满足题意，
又，所以也满足题意．
故答案为：或．
求解经过与圆：相切的直线方程，然后判断与圆：相切的直线方程即可．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，切线方程的求法，是中档题．
 15.【答案】 【解析】解：因为数列是单调递增数列，
则当时，，
而等差数列的公差，
若，由知，数列单调递减，
存在正整数，当时，，从而，
这与数列为单调递增数列相矛盾，
因此，
由可得：
，即，解得，
则，
所以公差的取值范围为．
故答案为：．
根据给定条件，确定恒成立，再分析判断，结合已知等式求解作答．
本题考查了数列的单调性判断及等差数列的通项，属中档题．
 16.【答案】或 【解析】解：依题意，方程，即有三个不等实根，
设两个函数图象的三个交点的横坐标，即方程的三个根为，，，
于是，
整理得，
因此，则，即有，解得或，
所以的取值范围为或
故答案为：或
把两个函数图象有三个交点转化为三次方程有三个根的问题，设出三个根，利用恒等式建立关系并求解作答．
本题考查函数的零点与方程的根，考查运算求解能力，属中档题．
 17.【答案】解：设公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，
故，整理得，解得或舍去，
故，
数列的前项和满足，，
当时，，
当时，，，
得：，故常数，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
所以．
由得：，
故，
故，
设，
所以，故函数在单调递增，
故函数的最小值为，
对于不等式对任意恒成立，
只需满足，解得．
故实数的取值范围为． 【解析】直接利用数列的递推关系式和等比数列的性质求出数列和的通项公式；
利用分组法的求出和函数的单调性及恒成立问题求出实数的取值范围．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，函数的单调性，恒成立问题，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 18.【答案】解：依题意，，解得，
记“该市市民的压力分值在区间”为事件，
则．
由频率分布直方图及知，
所以．
由知，高压市民有人，年龄段的人数有人，年龄段的人数为人，
所以列联表为： 压力高压市民非高压市民合计年龄段年龄段 合计，
所以有的把握认为该市“高压市民”与其年龄在岁到岁有关． 【解析】根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为求出，再由频率估计概率作答．；
利用频率分布直方图估计压力分值的平均值作答；
由及已知完善列联表，求出，与临界值比对作答．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题．
 19.【答案】解：证明：在四棱锥中，为的中点，又，
则，而，，因此，，，平面，
所以平面．
在平面内过点作交直线于，连接，如图，
 
因为平面平面，平面平面，
则平面，而平面，则有，
又，，，平面，
于是平面，平面，则，有≌，得，
，平面，平面，则平面，平面与平面的交线为，
因此，有，，从而为平面与平面所成二面角的平面角，
显然，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为． 【解析】利用等腰三角形的性质及线面垂直的判定推理作答．
根据给定条件，作出平面与平面所成二面角的平面角，再结合对应三角形计算作答．
本题考查线面平行的证明，考查面面角的余弦值的求法，属中档题．
 20.【答案】解：由，故A，
故，
，
故，因是锐角三角形，故，．
故，故，所以．
由正弦定理可知，
故，

．
．
由是锐角三角形，可知，
故，
故． 【解析】利用三角形内角和定理，两角和的余弦公式的得到，进而求解；
利用正弦定理和三角函数的性质即可求解．
本题考查解三角形问题，属中档题．
 21.【答案】解：由题知过点，
则，解得，
：．
设直线的方程为，，，

联立，得，
，，，
则，而，则，
故以为切点的切线为，即，，
同理以为切点的切线为，，则，
由，
故两式作差得：，所以，
两式求和得：，
所以点，由在椭圆上，即，
点到直线的距离，
所以，，
，


，
而在上递增且恒正，
则在上递增，． 【解析】根据题意可得曲线过点，然后根据曲线的离心率和，，之间的关系即可求解；设直线的方程为，，，与曲线方程联立，用韦达定理，利用切线方程求出，两点的坐标，然后将面积的表达式求出来，再根据函数的性质即可求解．
本题考查直线与椭圆的综合问题，属于中档题．
 22.【答案】解：因为，，
所以，
所以有两个不等实根，
令，则由，可得，
所以在上单调递增，上单调递减，且，
所以；
证明：由知，，，是的两个根，
即证，
令，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
又，
所以，从而得证；
证明：因为，所以，
，
所以，
要证，
即证：，
又因为，
即证：，
令，，，
所以，单调递减，，单调递增，
，即，
令，
，，，时，单调递减，
所以，
所以，
即，
即成立，得证． 【解析】对函数求导，将问题等价转化为有两个不等实根，令，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求解；
根据题意，，，是的两个根，将问题等价转化为证明，令，利用函数的单调性进而求证；
根据题意可得，将要问题等价转化为，令，，利用导数与函数的单调性得到，令，，，根据函数的单调性进而求证．
本题考查了转化思想、导数的综合运用，也考查了逻辑思维能力，属于难题．