19.2 菱形 华东师大版八年级下册阶段强化专训(含答案) 试卷

这是一份19.2 菱形 华东师大版八年级下册阶段强化专训(含答案)，共7页。
专训1　矩形性质与判定的灵活运用名师点金：矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质．它的性质可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．判定一个四边形是矩形可从两个角度考虑：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等． 利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想)1．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求AD的长．(第1题)  利用矩形的性质与判定判断线段的数量关系2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AC上的一点，BD＝DC，P是BC上的任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F为垂足．试判断线段PE，PF，AB之间的数量关系，并说明理由．(第2题)    利用矩形的性质与判定证明角相等3．(中考·北京)如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连结AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.(第3题)   利用矩形的性质与判定求面积4．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连结AE并延长交DC的延长线于点F.(1)连结AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．(第4题)   专训2　菱形性质与判定的灵活运用名师点金：菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等． 利用菱形的判定与性质证明角的关系1．(中考·秦安)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．(第1题) 利用菱形的判定和性质判定两线段的位置关系2．如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：AD⊥EF.(第2题)   利用菱形的判定和性质解折叠问题3．(中考·漳州)如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连结DG.(1)求证：四边形DEFG为菱形；(2)若CD＝8，CF＝4，求的值．(第3题)   利用菱形的判定与性质解决面积问题4．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，在线段AD上任取一点P(点A除外)，过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作PM∥AC，交AB于点M，连结ME.(1)求证：四边形AEPM为菱形．(2)当点P在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？请说明理由．(第4题) 答案1．解：由折叠的性质知AH＝HM，∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM＋∠FEM＝×180°＝90°.同理可得∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，∴四边形EFGH为矩形．∴HG∥FE，HG＝FE.∴∠GHN＝∠EFM.又∵∠HNG＝∠FME＝90°，∴△HNG≌△FME.∴HN＝MF.又∵HN＝HD，∴HD＝MF.∴AD＝AH＋HD＝HM＋MF＝HF.∵HF＝＝＝5(cm)，∴AD＝5 cm.点拨：此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH为矩形，然后利用三角形全等来证明HN＝MF，进而证明HD＝MF，从而将AD转化为直角三角形EFH的斜边HF，进而得解，体现了转化思想． (第2题)2．解：PE＋PF＝AB.理由：过点P作PG⊥AB于G，交BD于O，如图所示．∵PG⊥AB，PF⊥AC，∠A＝90°，∴∠A＝∠AGP＝∠PFA＝90°.∴四边形AGPF是矩形．∴AG＝PF，PG∥AC.∴∠C＝∠GPB.又∵BD＝DC，∴∠C＝∠DBP.∴∠GPB＝∠DBP.∴OB＝OP.∵PG⊥AB，PE⊥BD，∴∠BGO＝∠PEO＝90°.在△BGO和△PEO中，∴△BGO≌△PEO.∴BG＝PE.∴AB＝BG＋AG＝PE＋PF.3．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BE∥DF.又∵BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.∴四边形BFDE是矩形．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD＝BC.∴∠DFA＝∠FAB.由(1)易得△BCF为直角三角形，在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC＝＝＝5，∴AD＝BC＝DF＝5.∴∠DAF＝∠DFA.∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.4．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC.∴∠ABE＝∠ECF.又∵点E为BC的中点，∴BE＝CE.在△ABE和△FCE中，∵∴△ABE≌△FCE.∴AB＝CF.又AB∥CF，∴四边形ABFC为平行四边形．∴AE＝EF.∵∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC＝∠ABE＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABE，∴∠ABE＝∠EAB.∴AE＝BE.∴AE＋EF＝BE＋EC，即AF＝BC.∴四边形ABFC为矩形．(2)解：∵四边形ABFC是矩形，∴AC⊥DF.又∵△AFD是等边三角形，∴CF＝CD＝＝2.∴AC＝＝.∴S四边形ABFC＝×2＝2.     1．(1)证明：∵在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC.∵在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB＝∠AFD.∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE.(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形．(3)解：当EB⊥CD时，∠EFD＝∠BCD.理由：由(2)易知BC＝DC，∠BCF＝∠DCF.在△BCF和△DCF中，∴△BCF≌△DCF(S.A.S.)，∴∠CDF＝∠CBF.∵BE⊥CD，∴∠DEF＝∠BEC＝90°，∴∠EFD＝∠BCD.2．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形．又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAF.∵DE∥AC，∴∠DAF＝∠ADE，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，∴四边形AEDF为菱形，∴AD⊥EF.点拨：菱形的对角线互相垂直是证明线段垂直关系的重要方法．3．(1)证明：如图，由折叠可得：∠1＝∠2，ED＝EF，GD＝GF.∵FG∥CD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴FE＝FG.(第3题)方法一：∴ED＝EF＝GD＝GF，∴四边形DEFG为菱形．方法二：∴ED＝FG.又∵ED∥FG，∴四边形DEFG为平行四边形．又∵FE＝FG，∴四边形DEFG为菱形．(2)解：设DE＝x，则FE＝DE＝x，EC＝8－x.在Rt△EFC中，FC2＋EC2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2.解得：x＝5，∴CE＝8－x＝3.∴＝.4．(1)证明：∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形AEPM为平行四边形．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD.∵EP∥AB，∴∠BAD＝∠EPA，∴∠CAD＝∠EPA，∴EA＝EP，∴四边形AEPM为菱形．(第4题)(2)解：当点P为EF的中点时，S菱形AEPM＝S四边形EFBM.理由如下：∵四边形AEPM为菱形，∴AP⊥EM.∵AB＝AC，∠CAD＝∠BAD，∴AD⊥BC，∴EM∥BC.又∵EF∥AB，∴四边形EFBM为平行四边形．过点E作EN⊥AB于点N，如图，则S菱形AEPM＝AM·EN＝EP·EN＝EF·EN＝S四边形EFBM.