19.2 菱形 华东师大版八年级下册同步练习(含解析)

这是一份19.2 菱形 华东师大版八年级下册同步练习(含解析)，共22页。

19.2　菱形
基础过关全练
知识点1　菱形的定义及性质
1.【一题多变】(2022四川凉山州会东参鱼中学期中)如图,若四边形ABCD是菱形,AC=24,BD=10,则菱形ABCD的边长是(　　)

A.13　　　 B.12　　 　C.26　　 　D.52
[变式一](2022河南许昌建安期中)菱形的面积为12 cm2,一条对角线的长为6 cm,那么菱形的另一条对角线的长为(　　)
A.3 cm　　　B.4 cm　　　C.5 cm　　　D.6 cm
[变式二](2022四川眉山期末)如图,在菱形ABCD中,对角线AC=4,BD=5,则△AOD的面积为(　　)

A.52　 　　B.5　　　 C.112　　 　D.6
2.(2022福建福州立志中学期中)如图,在菱形ABCD中,∠DAC=25°,则∠B=(　　)

A.120°　 　　B.125° C.130°　　 　D.150°
3. (2022江苏宿迁宿城期中)如图,四边形ABCD为菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于H,连结OH,若∠CAD=25°,则∠DHO的度数是
(　　)

A.25°　　　B.30°　　　C.35°　　　D.40°
4.(2022广东中考)菱形的边长为5,则它的周长为　　　　. 
5.(2022湖北武汉江岸期中)如图,在菱形ABCD中,过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于点E,若∠A=130°,则∠BEC=　　　　°. 

6.(2022甘肃武威三中期中)如图,在菱形ABCD中,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:AE=CF.







7.(2022湖南长沙麓山国际实验学校期中)如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE.
(1)求证:BD=EC;
(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.






8.(2021福建厦门模拟)如图,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线于点F.
(1)求证:AM=DM;
(2)若DF=3,求菱形ABCD的周长.






知识点2　菱形的定义判定法
9.【教材变式·P118习题T2变式】如图,已知AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于点E,请你添加一个条件:　　　　,使四边形AEDF是菱形. 

10.(2022江苏盐城大丰实验初中月考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC,CE∥DB.求证:四边形OBEC是菱形.




11.(2022广东湛江雷州模拟)如图,点E、F分别在▱ABCD的边BC、CD上,BE=DF,∠BAF=∠DAE.求证:四边形ABCD是菱形.





12.(2022福建泉州科技中学期中)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BA=BC,BD平分∠ABC.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)连结AC,过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E,若BC=5,BD=8,求ED的长.




知识点3　菱形的判定定理1
13.(2022湖南郴州中考)如图,四边形ABCD是菱形,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,连结BF,FD,DE,EB.求证:四边形DEBF是菱形.






14.(2022陕西西安高新区一中期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,F在DE上,且AF=CE=AE,试探索当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形.





15.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,连结BE交AC于F,连结DF.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)试探究BE满足什么条件时,∠EFD=∠BCD,并说明理由.







知识点4　菱形的判定定理2
16.(2022黑龙江齐齐哈尔中考)如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,AB∥CD,要使四边形ABCD为菱形,应添加的条件是　　　　　　　.(只需写出一个条件即可) 

17.(2022江苏连云港中考改编)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到点E,使DE=AD,且BE⊥DC.求证:四边形DBCE为菱形.



18.(2022江苏宿迁宿城期中)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,E是边AC的中点,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连结DE并延长交AF于点F,连结FC.
(1)求证:△AEF≌△CED.
(2)当AB与AC满足什么关系时,四边形ADCF是菱形?并说明理由.

能力提升全练
19.(2022广西河池中考,8,)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是(　　)

A.AB=AD　　　B.AC⊥BD
C.AC=BD　　　D.∠DAC=∠BAC
20.(2022四川乐山中考,13,)已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8 cm和6 cm,则菱形的面积为　　　　cm2. 
21.(2022北京中考,21,)如图,在▱ABCD中,AC,BD交于点O,点E,F在AC上,AE=CF.
(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;
(2)若∠BAC=∠DAC,求证:四边形EBFD是菱形.





22.(2022浙江舟山中考,18,)小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD.求证:四边形ABCD是菱形.”并将自己的证明过程与同学小洁交流.
小惠:
证明:∵AC⊥BD,OB=OD,
∴AC垂直平分BD.
∴AB=AD,CB=CD,
∴四边形ABCD是菱形.

小洁:
这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明.
若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.







23.(2022湖南岳阳中考,19,)如图,点E,F分别在▱ABCD的边AB,BC上,AE=CF,连结DE,DF.请从以下三个条件:①∠1=∠2;②DE=DF;
③∠3=∠4中,选择一个合适的作为已知条件,使▱ABCD为菱形.
(1)你添加的条件是　　　　(填序号); 
(2)添加了条件后,请证明▱ABCD为菱形.





24.(2021山东聊城中考,21,)如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,且AO=CO,点E在BD上,满足∠EAO=∠DCO.
(1)求证:四边形AECD是平行四边形;
(2)若AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形AECD的面积.





素养探究全练
25.【推理能力】(2020广东阳江阳西期末)如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连结MD、AN.
(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.
(2)①当AM的值为　　　　时,四边形AMDN是矩形; 
②若AM=6,求证:四边形AMDN是菱形.


答案全解全析
基础过关全练
1.A　∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,
∵AC=24,BD=10,∴OA=12,OB=5,
在Rt△AOB中,由勾股定理得,AB=OA2+OB2=122+52=13,
故菱形ABCD的边长为13,故选A.
[变式一]B　设另一条对角线的长为x cm,则12×6x=12,解得x=4.故选B.
[变式二]A　∵四边形ABCD是菱形,AC=4,BD=5,
∴AO=12AC=2,DO=12BD=52,AC⊥BD,
∴∠AOD=90°,
∴S△AOD=12AO·DO=12×2×52=52.故选A.
2.C　∵四边形ABCD是菱形,∠DAC=25°,
∴∠DAB=2∠DAC=50°,AD∥BC,
∴∠DAB+∠B=180°,∴∠B=130°,故选C.
3.A　∵四边形ABCD是菱形,∠CAD=25°,
∴BO=OD,∠DAO=∠BAO=25°,AC⊥BD,
∴∠ABD=90°-∠BAO=65°,
∵DH⊥AB,BO=DO,
∴∠BDH=90°-∠ABD=25°,HO=12BD=DO,
∴∠DHO=∠BDH=25°,故选A.
4.答案　20
解析　菱形的四条边都相等,故它的周长为4×5=20.
5.答案　65
解析　∵四边形ABCD是菱形,
∴∠DBC=12∠ABC,AD∥BC,
∴∠A+∠ABC=180°,∵∠A=130°,
∴∠ABC=180°-130°=50°,
∴∠DBC=12×50°=25°,∵CE⊥BC,
∴∠BEC=90°-25°=65°.
6.证明　∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD,∠A=∠C,
∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠AED=∠CFD=90°,
在△ADE和△CDF中,∠AED=∠CFD,∠A=∠C,AD=CD,
∴△ADE≌△CDF(A.A.S.),
∴AE=CF.
7.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD,AB∥CD,
又∵BE=AB,∴BE=CD,
∴四边形BECD是平行四边形,∴BD=EC.
(2)∵四边形BECD是平行四边形,∴BD∥CE,
∴∠ABO=∠E=50°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∴∠BAO=90°-∠ABO=40°.
8.解析　(1)证明:连结BD,如图所示,

∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,AB∥CD,∴∠EAM=∠FDM,
∵EF⊥AC,∴EF∥BD,∴四边形EFDB是平行四边形,∴DF=EB,
∵E是AB的中点,∴AE=EB,∴AE=DF,在△AEM和△DFM中,
∠AME=∠DMF,∠EAM=∠FDM,AE=DF,∴△AEM≌△DFM(A.A.S.),
∴AM=DM.
(2)∵AE=DF,DF=3,∴AE=3,∵E是AB的中点,∴AB=2AE=6,
∴菱形ABCD的周长为4×6=24.
9.答案　DF∥AB(答案不唯一)
解析　添加条件:DF∥AB.∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形,∠EAD=∠ADF,∵AD是△ABC的角平分线,∴∠EAD=∠FAD,∴∠ADF=∠FAD,∴FA=FD,∴四边形AEDF是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).(答案不唯一)
10.证明　∵BE∥AC,CE∥DB,∴四边形OBEC是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OC,∴四边形OBEC是菱形.
11.证明　∵∠BAF=∠DAE,∴∠BAE=∠DAF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABE=∠ADF,
在△ABE和△ADF中,
∠BAE=∠DAF,∠ABE=∠ADF,BE=DF,
∴△ABE≌△ADF(A.A.S.),∴AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
12.解析　(1)证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,
∴AB=AD,又∵BA=BC,∴AD=BC,
∴四边形ABCD为平行四边形,∵AB=AD,
∴四边形ABCD为菱形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
∵DE∥AC,∴DE⊥BD,
∵AD∥BC,DE∥AC,
∴四边形ACED为平行四边形,∴CE=AD=BC=5,
∴BE=BC+CE=10,在Rt△BDE中,由勾股定理得,
DE=BE2-BD2=6.
13.证明　∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠DAB=∠DCB,AC平分∠DAB,CA平分∠DCB,
∴∠DAC=∠BAC=12∠DAB,∠DCA=∠ACB=12∠DCB,
∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠ACB,
∵AE=CF,
∴△ADE≌△ABE≌△CBF≌△CDF(S.A.S.),
∴DE=BE=BF=DF,
∴四边形DEBF是菱形.
14.解析　当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠EAC=60°,
∵ED垂直平分BC,
∴∠BDE=90°,
∴∠BED=60°,
∴∠FEA=60°,
∵AF=CE=AE,
∴△AEF、△EAC都是等边三角形,
∴AF=EF=EC=CA,
∴四边形ACEF是菱形.
15.解析　(1)证明:在△ABC和△ADC中,AB=AD,CB=CD,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(S.S.S.),
∴∠BAC=∠DAC,
∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠ACD,
∴∠DAC=∠ACD,
∴AD=CD.
∵AB=AD,CB=CD,
∴AB=CB=CD=AD.
∴四边形ABCD是菱形.
(2)当BE⊥CD时,∠EFD=∠BCD,理由如下:
由(1)知四边形ABCD为菱形,
∴∠BCF=∠DCF,
在△BCF和△DCF中,BC=DC,∠BCF=∠DCF,CF=CF,
∴△BCF≌△DCF(S.A.S.),
∴∠CBF=∠CDF.
∵BE⊥CD,
∴∠BEC=∠DEF=90°,
∴∠BCD+∠CBF=∠EFD+∠CDF=90°,
∴∠EFD=∠BCD.
16.答案　AB=CD(答案不唯一)
解析　若添加AB=CD,因为AB∥CD,AB=CD,所以四边形ABCD为平行四边形.因为AC⊥BD,所以四边形ABCD为菱形.(答案不唯一)
17.证明　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,且AD=BC,
∵DE=AD,∴DE=BC.
∵点E在AD的延长线上,∴DE∥BC,
∴四边形DBCE为平行四边形,
又∵BE⊥DC,∴四边形DBCE为菱形.
18.解析　(1)证明:∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠CDE,
∵E是AC的中点,
∴AE=CE,
在△AEF和△CED中,∠AFE=∠CDE,∠AEF=∠CED,AE=CE,
∴△AEF≌△CED(A.A.S.).
(2)当AB=12AC时,四边形ADCF是菱形.
理由:由(1)知,△AEF≌△CED,
∴AF=CD,
∵AF∥CD,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠EAD=∠BAD,
∵AE=12AC,AB=12AC,
∴AE=AB,
在△AED和△ABD中,AE=AB,∠EAD=∠BAD,AD=AD,
∴△AED≌△ABD(S.A.S.),
∴∠AED=∠B=90°,即DF⊥AC.
∴四边形ADCF是菱形.
能力提升全练
19.C　菱形的四条边相等,对角线互相垂直且平分对角,故A、B、D选项不符合题意;菱形的对角线不一定相等,故C选项符合题意.
20.答案　24
解析　∵菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8 cm和6 cm,
∴菱形的面积为8×62=24 cm2.
21.证明　(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF,
∴AO-AE=CO-CF,
即OE=OF,
∴四边形EBFD是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,
∴∠BAC=∠DCA,
∵∠BAC=∠DAC,
∴∠DCA=∠DAC,
∴DA=DC,
∴四边形ABCD是菱形.
∴BD⊥AC,
又∵四边形EBFD是平行四边形,
∴四边形EBFD是菱形.
22.解析　赞成小洁的说法.
补充AB=CB(补充的条件不唯一).
证明:∵AC⊥BD,OB=OD,
∴AC垂直平分BD,
∴AB=AD,CB=CD,
∵AB=CB,
∴AB=AD=CB=CD.
∴四边形ABCD是菱形.
23.解析　(1)①或③(填一个即可).
(2)添加①:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,
在△ADE和△CDF中,∠1=∠2,∠A=∠C,AE=CF,
∴△ADE≌△CDF(A.A.S.),
∴AD=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
添加③:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,
在△ADE和△CDF中,∠A=∠C,AE=CF,∠3=∠4,
∴△ADE≌△CDF(A.S.A.),
∴AD=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
24.解析　(1)证明:在△AOE和△COD中,
∠EAO=∠DCO,AO=CO,∠AOE=∠COD,
∴△AOE≌△COD(A.S.A.),∴OD=OE.
又∵AO=CO,
∴四边形AECD是平行四边形.
(2)∵AB=BC,AO=CO,
∴直线BO为线段AC的垂直平分线,
∴BO⊥AC,
∴平行四边形AECD是菱形.
∵AC=8,∴CO=12AC=4,
在Rt△COD中,OD=CD2-CO2=52-42=3,
∴DE=2OD=6,
∴S菱形AECD=12DE·AC=12×6×8=24,
即四边形AECD的面积为24.
素养探究全练
25.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,∴∠DNE=∠AME,
∵点E是AD边的中点,∴AE=DE,
在△NDE和△MAE中,∠DNE=∠AME,∠DEN=∠AEM,DE=AE,
∴△NDE≌△MAE(A.A.S.),
∴NE=ME,∴四边形AMDN是平行四边形.
(2)①当AM的值为3时,四边形AMDN是矩形.
详解:∵四边形ABCD为菱形,∴AB=AD=6,
∵点E是AD边的中点,
∴AE=12AD=3,∴AM=AE,
∵∠DAB=60°,∴△AEM是等边三角形,∴EM=AE,
∵NE=ME=12MN,∴MN=AD,
∴平行四边形AMDN是矩形.
②证明:∵AB=AD=6,AM=6,M在AB上,∴点M与点B重合,AD=AM,
∵∠DAB=60°,∴△AMD是等边三角形,∴ME⊥AD,
∴平行四边形AMDN是菱形.