初中数学华师大版八年级下册第19章 矩形、菱形与正方形19.3 正方形复习练习题

这是一份初中数学华师大版八年级下册第19章 矩形、菱形与正方形19.3 正方形复习练习题，共19页。试卷主要包含了下列说法不正确的是等内容，欢迎下载使用。

19.3　正方形
基础过关全练
知识点1　正方形的定义及性质
1.(2022福建泉州七中期中)平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是(　　)
A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.对角形互相垂直平分
2.(2022福建厦门思明双十中学期中)如图,E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,且CE=AC,则∠E=(　　)

A.90°　　　B.45°　　　C.30°　　　D.22.5°
3.(2022河南漯河郾城期末)如图,已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点,且AB=AE,则∠DBE的度数是(　　)

A.15°　　　B.32.5°　　　C.22.5°　　　D.30°
4.(2022河南安阳林州期中)如图,在正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC于点F,连结BE,则∠BEF的度数是(　　)

A.30°　　　B.45° C.55°　　　D.60°
5.【教材变式·P125T11变式】(2022山东泰安新泰期中)如图,在正方形ABCD中,点O是对角线AC、BD的交点,过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F,且∠EOF=90°,OC、EF交于点G.给出下列结论:①△COE≌△DOF;②△OBE≌△OCF;③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14;④DF2+CE2=EF2.其中正确的为　　　　.(填序号) 

6.【教材变式·P121习题T1变式】(2022福建莆田八中期末)如图,已知正方形ABCD中,点E在边BC上,点F在CD的延长线上,且DF=BE.求证:AF⊥AE.




7.(2022吉林长春八十七中月考)如图,在正方形ABCD中,点F为对角线AC上一点,连结BF,DF.求证:BF=DF.


8.(2022湖北随州中考)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边AB,CD上,且四边形BEDF为正方形.
(1)求证:AE=CF;
(2)已知平行四边形ABCD的面积为20,AB=5,求CF的长.





知识点2　正方形的判定
9.(2022湖南长沙明德教育集团期末)下列说法不正确的是(　　)
A.有一个角是直角的平行四边形是矩形
B.有一组邻边相等的菱形是正方形
C.有三个角是直角的四边形是矩形
D.对角线相等的菱形是正方形
10.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,给出四个条件:
①AB=BC;②∠ABC=90°;③OA=OB;④AC⊥BD,从所给的四个条件中任选两个为一组,能判定▱ABCD是正方形的组数为(　　)

A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6
11.【新独家原创】如图,在四边形ABCD中,OA=OC,OB=OD,且
∠ABC=90°,若使四边形ABCD是正方形,还需要添加条件　　　　. 

12.(2022河南三门峡灵宝期中)已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
CD为∠ACB的平分线,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.求证:四边形CEDF为正方形.




13.(2022湖南邵阳中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.






14.(2022广东汕头潮南期中)如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边CD、AD上的点,AE⊥BF,且AE=BF.求证:矩形ABCD是正方形.







15.(2018浙江舟山中考)如图,等边△AEF的顶点E、F分别在矩形ABCD的边BC、CD上,且∠CEF=45°.求证:矩形ABCD是正方形.






能力提升全练
16.(2022湖南衡阳中考,10,)下列命题为假命题的是(　　)
A.对角线相等的平行四边形是矩形
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C.有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D.有一组邻边相等的矩形是正方形
17.【方程思想】(2022江苏无锡中考,16,)如图,正方形ABCD的边长为8,点E是CD的中点,HG垂直平分AE,且分别交AE、BC于点H、G,则BG=　　　　. 

18.(2022湖北恩施州中考,18,)如图,已知四边形ABCD是正方形,G为线段AD上任意一点,CE⊥BG于点E,DF⊥CE于点F.求证:DF=BE+EF.





19.【一题多变】(2022山东青岛期中,27,)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E.
(1)求证:四边形ADCE为矩形.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是正方形?请给出证明.





[变式](2022湖北十堰郧阳期末,24,)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,O是AC的中点,过A作AE∥BC,交DO的延长线于点E,连结EC.
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形.
(2)能否添加一个条件,使四边形ADCE是正方形?若能,请添加条件并证明;若不能,请说明理由.





素养探究全练
20.【推理能力】如图,正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1>0,h2>0,h3>0),若h1=5,h2=2,则正方形ABCD的面积S等于(　　)

A.34　　　B.89　　　C.74　　　D.109
21.【推理能力】(2021福建福州一中期中)如图,在正方形OABC中,A(0,1),B(1,1),C(1,0),D为OB延长线上的一动点,以AD为一边在直线AD下方作正方形ADEF,AF交OC于点G.
(1)若S△AOD=1,求D点的坐标.
(2)①求证:点E始终落在x轴上;
②若S四边形ABCG=a·S△ABE,1


答案全解全析
基础过关全练
1.A　矩形、菱形、正方形、平行四边形都具有对角线互相平分的性质,故选A.
2.D　∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCA=∠ACD=45°,∵CE=CA,
∴∠CAE=∠E,∵∠BCA=∠E+∠CAE,∴∠E=∠CAE=22.5°,故选D.
3.C　∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAE=∠ABD=45°,又AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB=(180°-45°)÷2=67.5°,
∴∠DBE=∠ABE-∠ABD=22.5°,
故选C.
4.B　∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∵AE=AB,
∴AE=AB=AD,∴∠ABE=∠AEB,∠AED=∠ADE,∵∠ABE+∠AEB+
∠AED+∠ADE=360°-∠BAD=270°,∴∠AEB+∠AED=135°,
即∠BED=135°,∴∠BEF=180°-135°=45°.故选B.
5.答案　①②③
解析　①在正方形ABCD中,OC=OD,∠COD=90°,∠ODC=
∠OCB=45°,
∴∠DOF=90°-∠COF,∵∠EOF=90°,
∴∠COE=∠EOF-∠COF=90°-∠COF,
∴∠COE=∠DOF,
∴△COE≌△DOF(A.S.A.),故①正确;
②在正方形ABCD中,OC=OB,∠COB=90°,∠OBC=∠OCB=45°,
∵∠EOF=90°,∴∠BOE=∠COF,
∴△OBE≌△OCF(A.S.A.),故②正确;
③由△COE≌△DOF可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等,
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14,故③正确;
④∵△COE≌△DOF,∴CE=DF,
∵四边形ABCD为正方形,∴BC=CD,∴BE=CF,
在Rt△ECF中,CE2+CF2=EF2,
∴DF2+BE2=EF2,故④错误.
综上所述,正确的是①②③.
6.证明　∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=∠ADF=∠BAD=90°,
在△ABE和△ADF中,AB=AD,∠B=∠ADF,BE=DF,
∴△ABE≌△ADF(S.A.S.),∴∠BAE=∠FAD,
∵∠BAE+∠EAD=90°,∴∠FAD+∠EAD=90°,
即∠EAF=90°,∴AF⊥AE.
7.证明　∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠DCA=∠BCA,
在△CDF和△CBF中,
DC=BC,∠DCF=∠BCF,CF=CF,∴△CDF≌△CBF(S.A.S.),
∴BF=DF.
8.解析　(1)证明:∵四边形BEDF为正方形,
∴DF=EB,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC=AB,
∴DC-DF=AB-EB,即AE=CF.
(2)∵四边形BEDF为正方形,∴∠DEB=90°,DE=EB,
∵平行四边形ABCD的面积为20,AB=5,
∴5DE=20,∴DE=EB=4,∴AE=AB-EB=5-4=1,由(1)知,AE=CF,∴CF=1.
9.B　菱形的四条边都相等,有一组邻边相等的菱形不一定是正方形,故选B.
10.B　∵AB=BC,∴▱ABCD是菱形,∵∠ABC=90°,
∴菱形ABCD是正方形,故①②为一组,能判定▱ABCD是正方形;
∵∠ABC=90°,AC⊥BD,∴▱ABCD是正方形,
故②④为一组,能判定▱ABCD是正方形;
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC=2OA,BD=2OB,∵OA=OB,
∴AC=BD,∴▱ABCD是矩形,∵AC⊥BD,∴矩形ABCD是正方形,
故③④为一组,能判定▱ABCD是正方形;
∵OA=OB,∴AC=BD,∴▱ABCD是矩形,∵AB=BC,
∴矩形ABCD是正方形,故①③为一组,能判定▱ABCD是正方形.
综上,共有4组,故选B.
11.答案　AB=BC(答案不唯一)
解析　添加条件AB=BC.∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形.
∵AB=BC,∴四边形ABCD是正方形.(答案不唯一)
12.证明　∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠DFC=90°,∠DEC=90°,
又∵∠ACB=90°,
∴四边形DECF是矩形,
∵DE=DF,
∴矩形DECF是正方形.
13.证明　∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.
∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF,
∴四边形AECF是菱形.
∵OE=OA,∴EF=AC,∴四边形AECF是正方形.
14.证明　∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠ADE=90°,
∴∠ABF+∠AFB=90°,
∵AE⊥BF,
∴∠DAE+∠AFB=90°,
∴∠ABF=∠DAE,
在△ABF和△DAE中,∠BAF=∠ADE=90°,∠ABF=∠DAE,BF=AE,
∴△ABF≌△DAE(A.A.S.),
∴AB=AD,
∴矩形ABCD是正方形.
15.证明　∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=∠C=90°,
∵△AEF是等边三角形,∴AE=AF,∠AEF=∠AFE,
∵∠CEF=45°,∴∠CFE=45°=∠CEF,
∴∠AFD=∠AEB,
∴△ABE≌△ADF(A.A.S.),∴AB=AD,
∴矩形ABCD是正方形.
能力提升全练
16.C　有一个内角是直角的平行四边形是矩形,不一定是正方形,故原命题是假命题,故选C.
17.答案　1
解析　连结AG,EG,如图,

∵HG垂直平分AE,∴AG=EG,∵四边形ABCD是正方形,且边长为8,∴∠B=∠C=90°,AB=BC=CD=8,
∵点E是CD的中点,∴CE=4.
设BG=x,则CG=8-x,由勾股定理得,
EG2=CG2+CE2=(8-x)2+42,AG2=AB2+BG2=82+x2,
∴(8-x)2+42=82+x2,解得x=1,故BG=1.
18.证明　∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCD=90°,
∵CE⊥BG,DF⊥CE,
∴∠BEC=∠DFC=90°,
∴∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+∠DCF,
∴∠CBE=∠DCF,
在△CBE和△DCF中,
∠BEC=∠CFD,∠EBC=∠FCD,BC=CD,
∴△CBE≌△DCF(A.A.S.),
∴CF=BE,CE=DF,
∵CE=CF+EF,
∴DF=BE+EF.
19.解析　(1)证明:∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠CAD=12∠BAC,
∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,
∴∠CAE=12∠CAM.
∵∠BAC+∠CAM=180°,
∴∠CAD+∠CAE=12(∠BAC+∠CAM)=90°,
∵AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠CEA=90°,
∴四边形ADCE为矩形.
(2)当∠BAC=90°时,四边形ADCE是正方形.
证明:∵∠BAC=90°,且AB=AC,AD⊥BC,
∴∠CAD=12∠BAC=45°,∠ADC=90°,
∴∠ACD=∠CAD=45°,
∴AD=CD.
由(1)知四边形ADCE是矩形,
∴四边形ADCE是正方形.
[变式]解析　(1)证明:∵AE∥DC,
∴∠AEO=∠ODC,∠EAO=∠OCD,
∵O为AC的中点,
∴AO=OC,
∴△OAE≌△OCD(A.A.S.),
∴AE=DC,
∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,
∴BD=CD,
∴AE=BD,
又∵AE∥BD,
∴四边形ABDE是平行四边形.
(2)能.添加条件:AD=CD.
证明:∵AE∥CD,AE=CD,
∴四边形ADCE为平行四边形,
∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,
∴AD⊥BC,
∴四边形ADCE为矩形,
又∵AD=CD,
∴四边形ADCE为正方形.(答案不唯一)
素养探究全练
20.C　如图,过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F,过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G,则∠AEB=∠DFA=∠BHC=∠CGD=90°,

∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,
易得∠ABE=∠FAD=∠BCH=∠CDG,
∴△AEB≌△DFA≌△BHC≌△CGD,且两直角边长分别为h1、h1+h2,
∴四边形EFGH是边长为h2的正方形,
∴正方形ABCD的面积S=4×12h1(h1+h2)+h22
=2h12+2h1h2+h22
=(h1+h2)2+h12,
∵h1=5,h2=2,∴S=(h1+h2)2+h12=49+25=74.
故选C.
21.解析　(1)∵A(0,1),∴OA=1,
∵S△AOD=12OA·xD=1,
∴xD=2,易求得直线OB的解析式为yOB=x,
∵D在直线OB上,
∴D点的坐标为(2,2).
(2)①证明:设D(d,d),E(xE,yE),
如图,过D作y轴的平行线,与x轴交于点H,则∠DHE=90°,延长AB交DH于Q,
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=DE,∠ADE=∠ADQ+∠QDE=90°,
∵∠QDE+∠HED=90°,
∴∠ADQ=∠DEH,
∴∠DAQ=∠EDH,
∴△ADQ≌△DEH(A.S.A.),
∴AQ=DH,∴d=d-yE,
∴yE=0,
∴点E始终落在x轴上.

②如图,S△ABE=12AB·OA=12,
∴S四边形ABCG=a·S△ABE=12a,
∴12(CG+AB)·BC=12a,∴CG=a-1,
∴OG=OC-CG=2-a(1 设直线AF的解析式为y=kx+b(k≠0),将A(0,1),G(2-a,0)代入得,(2-a)k+b=0,b=1,解得k=1a-2,b=1,
∴直线AF的解析式为y=1a-2·x+1(1