高中数学第一章 数列2 等差数列2.2 等差数列的前n项和练习

这是一份高中数学第一章 数列2 等差数列2.2 等差数列的前n项和练习，共6页。
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则a1＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝ eq \f(1,n)，则a5的值等于( )
A． eq \f(1,20) B．－ eq \f(1,20)
C． eq \f(1,30) D．－ eq \f(1,30)
3．数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，那么它的通项公式是( )
A．an＝2n－1 B．an＝2n＋1
C．an＝4n－1 D．an＝4n＋1
4．现在200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9 B．10
C．19 D．29
5．为了参加学校的长跑比赛，高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划．已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离．若小李同学前三天共跑了3 600米，最后三天共跑了10 800米，则这15天小李同学总共跑的路程为( )
A．34 000米 B．36 000米
C．38 000米 D．40 000米
6．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十二斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十六，要将第八数来言”．题意是：把992斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多16斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )
A．174斤 B．184斤
C．180斤 D．181斤
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，则a5＝________，an＝________．
8．某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则前10年维修费总和为________万元．
9．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝an(an＋2)，求数列{an}的通项公式．
10．如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位．
(1)求第六排的座位数；
(2)某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？
(提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排的参会人数最多)
[提能力]
11．无穷数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn＋c，其中a，b，c为实数，则( )
A．{an}可能为等差数列
B．{an}可能为等比数列
C．{an}中一定存在连续三项构成等差数列
D．{an}中一定存在连续三项构成等比数列
12．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，….生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为( )
A．71 B．72
C．89 D．90
13．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋1，则an＝____________________．
14．植树节某班41名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在第n(n＝1，2，…，41)个树坑旁边，则将树苗集中放置在第________个树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小．
15．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝ eq \f(1,4)(an＋1)2，且an＞0.
(1)求a1，a2；
(2)求{an}的通项公式；
(3)令bn＝20－an，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．
[培优生]
16．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝ eq \f(n＋2,3)an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
课时作业(六) 等差数列的前n项和(二)
1．解析：当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2.
故选C.
答案：C
2．解析：a5＝S5－S4＝ eq \f(1,5)－ eq \f(1,4)＝－ eq \f(1,20).
故选B.
答案：B
3．解析：因为Sn＝2n2＋n，所以a1＝2×12＋1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1，
把n＝1代入上式可得a1＝3，即也符合，故通项公式为an＝4n－1.
故选C.
答案：C
4．解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝ eq \f(n（n＋1）,2).
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.
∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．故选B.
答案：B
5．解析：根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为an，
则a1＋a2＋a3＝3a2＝3 600，故a2＝1 200，a13＋a14＋a15＝3a14＝10 800，故a14＝3 600，
则Sn＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1＋a15))×15＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋a14))×15＝36 000.
故选B.
答案：B
6．解析：设第8个儿子分到的绵是a1，第9－n个儿子分到的绵是an，则 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))构成以a1为首项，－16为公差的等差数列
S8＝8a1＋ eq \f(8×7,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－16))＝992
解得a1＝180
故选C.
答案：C
7．解析：因为Sn＝3＋2n，
所以a5＝S5－S4＝3＋25－(3＋24)＝16.
a1＝S1＝5，n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(3＋2n)－(3＋2n－1)＝2n－1，
当n＝1时，上式不成立，
所以an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5（n＝1），,2n－1（n≥2）.))
答案：16 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5（n＝1），,2n－1（n≥2）))
8．解析：由题意知，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费成等差数列．
设从第二年起，每年的维修费构成的等差数列为{an}，
则an＝12＋4(n－1)＝4n＋8，
S10＝10×12＋ eq \f(1,2)×10×9×4＝300(万元).
答案：300
9．解析：∵4Sn＝an(an＋2)，∴当n＝1时，4a1＝a1(a1＋2)
解得a1＝2或a1＝0(舍去)；
当n≥2时，4an＝4Sn－4Sn－1
＝an(an＋2)－an－1(an－1＋2)
＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＋2an－a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n－1)) －2an－1
∴a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －2an－a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n－1)) －2an－1＝0
∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0
又an＋an－1≠0
∴an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2.
∴数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，
∴an＝2n.
10．解析：(1)依题意得每排的座位数会构成等差数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))，其中首项a1＝9，公差d＝2，
所以第六排的座位数a6＝a1＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6－1))d＝19.
(2)因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多，第一排应坐5人，
第二排应坐6人，第三排应坐7人，……，这样，每排就坐的人数就构成等差数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))，
首项b1＝5，公差d′＝1，所以数列前10项和S10＝10b1＋ eq \f(10×9,2)×d′＝95.
故该报告厅里最多可安排95人同时参加会议．
11．解析：当n＝1时，a1＝S1＝a＋b＋c.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn＋c－a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))2－b eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))－c＝2an－a＋b.
当n＝1时，上式＝a＋b.
所以若 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是等差数列，则a＋b＝a＋b＋c∴c＝0.
所以当c＝0时， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是等差数列， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(a＝c＝0,b≠0)))时是等比数列；当c≠0时， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))从第二项开始是等差数列．
故选ABC.
答案：ABC
12．解析：设这些老人的年龄形成数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))，设最年长者的年龄为a1，
则由题可知数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是公差为－1的等差数列，且S19＝1 520，
则S19＝19a1＋ eq \f(19×18,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))＝1 520，解得a1＝89.
故选C.
答案：C
13．解析：当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋1－[(n－1)2＋(n－1)＋1]＝2n.
此时，当n＝1时，2n＝2≠3.
所以an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3（n＝1），,2n（n≥2）.))
答案： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3（n＝1），,2n（n≥2）))
14．解析：设每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和为f(n)，
则 eq \f(1,2)f(n)＝10(1＋2＋3＋…＋n－1)＋10(1＋2＋3＋…＋41－n)，所以f(n)＝20× eq \f(（n－1）（1＋n－1）,2)＋20× eq \f(（41－n）（1＋41－n）,2)＝10 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n2－n＋n2－83n＋41×42))＝10 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2n2－84n＋1 722))＝20 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n2－42n＋861))＝20[(n－21)2＋420]，所以当n＝21时，f(n)取得最小值．
答案：21
15．解析：(1)∵S1＝ eq \f(1,4)(a1＋1)2＝a1，∴a1＝1.
∵S2＝ eq \f(1,4)(a2＋1)2＝a1＋a2，∴a2＝3(a2＝－1舍去).
(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ eq \f(1,4)[(an＋1)2－(an－1＋1)2]＝ eq \f(1,4)(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n－1)) )＋ eq \f(1,2)(an－an－1)，
由此得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
∵an＋an－1≠0，∴an－an－1＝2.
∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(3)∵bn＝20－an＝21－2n，∴bn－bn－1＝－2，b1＝19.
∴{bn}是以19为首项，－2为公差的等差数列．
∴Tn＝19n＋ eq \f(n（n－1）,2)×(－2)＝－n2＋20n.
故当n＝10时，Tn取最大值，最大值为100.
16．解析：(1)由S2＝ eq \f(4,3)a2得3(a1＋a2)＝4a2，
解得a2＝3a1＝3，
由S3＝ eq \f(5,3)a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得a3＝ eq \f(3,2)(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知当n＝1时，a1＝1.
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝ eq \f(n＋2,3)an－ eq \f(n＋1,3)an－1
整理得an＝ eq \f(n＋1,n－1)an－1，
于是a2＝ eq \f(3,1)a1，a3＝ eq \f(4,2)a2，…，an－1＝ eq \f(n,n－2)an－2，
an＝ eq \f(n＋1,n－1)an－1，
将以上n－1个等式中等号两端分别相乘，
整理得an＝ eq \f(n（n＋1）,2).
当n＝1时，也满足上式．
综上可知，{an}的通项公式为an＝ eq \f(n（n＋1）,2).