数学北师大版 (2019)第一章 数列5 数学归纳法综合训练题

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1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证( )
A.n＝1 B．n＝2
C.n＝3 D．n＝4
2．观察下列式子：1＋ eq \f(1,22)< eq \f(3,2)，1＋ eq \f(1,22)＋ eq \f(1,32)< eq \f(5,3)，1＋ eq \f(1,22)＋ eq \f(1,32)＋ eq \f(1,42)< eq \f(7,4)，…，则可归纳出1＋ eq \f(1,22)＋ eq \f(1,32)＋…＋ eq \f(1,（n＋1）2)小于( )
A. eq \f(n,n＋1) B． eq \f(2n－1,n＋1)
C. eq \f(2n＋1,n＋1) D． eq \f(2n,n＋1)
3．用数学归纳法证明1＋ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,3)＋…＋ eq \f(1,2n－1)1)时，第一步应验证的不等式是( )
A.1＋ eq \f(1,2)n2＝16，
由此可以猜想，
2n＋2>n2(n∈N*)恒成立．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，
左边＝21＋2＝4，右边＝1，
所以左边>右边，所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，
右边＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边>右边．
(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，
即2k＋2>k2.
那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.
又∵2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3
＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．
根据(1)和(2)，原不等式对于任意n∈N*都成立．