2023年湖北省襄阳市第七中学中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年湖北省襄阳市第七中学中考二模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省襄阳市第七中学中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的倒数是（    ）
A． B． C．2 D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，己知直线，BE平分交直线DA于点E，若，则（　　）
  
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（　　）
A．要了解襄阳市学生的“双减”情况应选用普查方式
B．若甲、乙两组数平均数相同，，则乙组数据较稳定
C．天气预报说：某地明天降水的概率是50%，那就是说明天有半天都在降雨
D．早上的太阳从西方升起是随机事件
5．如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（　　）

A．俯视图不变，左视图不变 B．主视图改变，左视图改变
C．俯视图不变，主视图不变 D．主视图改变，俯视图改变
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有只，兔有只，则根据题意，下列方程组中正确的是（    ）
A． B． C． D．
8．解分式方程，可知方程的解为（　　）
A． B． C． D．
9．若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的一个外角为（   ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．

二、填空题
11．第五届进博会企业预定展览面积已超过万平方米，万用科学记数法表示为___________．
12．如图，若，，，则________
  
13．某校举行以“学党史，感党恩，听党话，跟党走”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是___．
14．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆至停下来共滑__________ m．
15．已知两边长分别是和，则它的外接圆的半径是___________．
16．如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将按逆时针方向旋转得，连接EF，分别交BD，CD于点M，N．若，则__________．


三、解答题
17．先化简，再求值：，其中
18．为落实教育部“五项管理”政策，了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时长（单位：h，精确到1h），抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)求出扇形统计图中百分数a的值为___________%，平均睡眠时长为8小时的人数为___________人，并补全频数分布直方图；
(2)这部分学生的平均睡眠时长的众数为___________小时，中位数为___________小时；
(3)如果该校共有学生1800名，请你估计睡眠不足（少于8小时）的学生人数．
19．广德寺多宝塔位于湖北襄阳襄城区，是全国重点文物保护单位．如图．小明的身高为米，他站在D处测得塔顶的仰角为，小娟的身高为米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角为．若小明与小娟相距23米．求广德寺多宝塔的高度（点D，B，F在同一水线上，参考数据：，，）
  
20．如图，过平行四边形的对角线与的交点O的直线分别交边，于点P，Q
  
(1)过点O作直线垂线，分别交边，于点M，N（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)顺次连接点P，M，Q，N．求证：四边形是菱形
21．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
22．如图，为的直径，C为上一点，的平分线交于点D．于点E．
  
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)过点D作于点F，若，，求图中阴影部分的面积．
23．某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共100个，篮球个数不少于排球个数，付款总额不得超过11200元，已知篮球和排球的厂家批发价分别是每个120元和每个100元，商场零售价分别是每个150元和每个120元．设该商场采购x个篮球．
(1)求该商场的采购费用y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润；
(3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球批发价上调了元/个，同时排球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，求m的值．
24．【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：；

【结论应用】（2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；
【拓展运用】（3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF＝，请求BP的长．
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
  
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点P是抛物线上A，D之间的一点．过点P作轴于点E．轴，交抛物线于点G，过点G作轴于点F，当矩形的周长最大时．求点P的横坐标；
(3)如图2，连接，，作轴于点H．把沿着射线方向平移，点D在射线上移动的距离为m个单位，如果平移后的三角形恰好和抛物线有且只有两个交点，请直接写出m的取值范围．

参考答案：
1．B
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数即可解答．
【详解】解：∵，
∴的倒数是．
故选：B．
【点睛】本题考查倒数的概念，掌握乘积是1的两个数互为倒数是解题关键．
2．C
【分析】根据整式的加法法则，幂的乘方的运算法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方的运算法则即可解答．
【详解】解：∵，∴错误，故项不符合题意；
∵，∴错误，故项不符合题意；
∵，∴正确，故项符合题意；
∵，∴错误，故项不符合题意；
故选．
【点睛】本题考查了整式的加法法则，幂的乘方的运算法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方的运算法则，熟记对应法则是解题的关键．
3．D
【分析】根据两直线平行，内错角相等可求出,再根据角平分线的性质可求．
【详解】解：∵，，
∴，
∵BE平分
∴,
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线，关键是求出的度数．
4．B
【分析】根据抽查和普查的特点可判断A；根据方差越小，数据越稳定可判断B；根据可能性的大小可判断C；根据随机事件的特点可判断D．
【详解】解：A、襄阳市学生人数较多，要了解襄阳市学生的“双减”情况应选用抽查方式，错误，不符合题意；
B、∵，∴，则乙组数据较稳定，正确，符合题意；
C、天气预报说：某地明天降水的概率是，说明明天下雨的可能性为，不能说明天有半天都在降雨，错误，不符合题意；
D、早上的太阳从西方升起是不可能事件，错误，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查调查方式、方差、可能性的大小，随机事件的概念，理解相关知识是解答的关键．
5．A
【分析】结合几何体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化.
【详解】将正方体①移走后，
新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，俯视图和左视图没有发生改变，主视图发生了改变，
故选A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键．
6．C
【分析】先解不等式组，再分别将两个不等式的解集表示在数轴上即可．
【详解】解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故选：C．
【点睛】本题考查解不等式组，掌握不等式组的求解方法是解题的关键．
7．A
【分析】根据“上有三十五头”和“下有九十四足”两个等量关系列二元一次方程组即可．
【详解】解：设鸡有只，兔有只
根据上有三十五头，可得x+y=35；
下有九十四足，2x+4y=94
即．
故答案为A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意、找准等量关系是解答本题的关键．
8．D
【分析】先去分母化为整式方程，进而解整式方程即可求得方程的解．
【详解】解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
化系数为1，得，
经检验，是原分式方程的解，
故选：D．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验．
9．A
【分析】首先设这个正多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式可得180（n-2）=1080，继而可求得答案．
【详解】设这个正多边形的边数为n，
∵一个正多边形的内角和为1080°，
∴180（n-2）=1080，
解得：n=8，
∴这个正多边形的每一个外角是：360°÷8=45°．
故选：A.．
【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意熟记公式是关键．
10．A
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向及对称轴的位置可得ab＜0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数经过第一、二、四象限，根据反比例函数的性质得到反比例函数图象在第二、四象限，由此可对各选项进行判断．
【详解】∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴，
∴b＜0，
∴ab＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
对于一次函数y＝cx-，c＜0，，故此函数图象经过第一、二、四象限；
对于反比例函数y＝，ab＜0，图象分布在第二、四象限．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，观察二次函数图象找出各系数的取值范围是解题的关键．
11．
【分析】根据科学记数法的定义把一个大于(或者小于)的数记为的形式，其中()即可解答．
【详解】解：∵万平方米平方米平方米，
故答案为；
【点睛】本题考查了科学记数法表示形式是把一个大于(或者小于)的数记为的形式，其中()，确定和的值是解题的关键．
12．/36度
【分析】设，根据等腰三角形的性质得出，，得出，求出x的值即可．
【详解】解：设，
，
∴，
，
∴，
在中，，
∴，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和，解题的关键是根据列出关于x的方程．
13．
【分析】利用画树状图分析所有等可能的结果，再求甲、乙同学获得前两名的概率．
【详解】解：画树状图如下：

获得前2名的情况共有12种，甲、乙同学获得前两名的概率是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查画树状图求概率，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．750
【分析】要求飞机从着陆至停下来共滑，即求出函数的最大值即可．
【详解】解：y＝60t−t2＝−（t2−50t＋625）＋750＝−（t−25）2＋750，
所以当t＝25时，该函数有最大值750．
故答案为：750．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键．
15．或/4cm或5cm
【分析】分为直角边和为斜边两种情况，结合直角三角形的外接圆半径为斜边长的一半和勾股定理求解即可．
【详解】解：若为直角边时，则斜边长为，则的外接圆的半径是，
若为斜边长时，的外接圆的半径是，
综上，的外接圆的半径是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查直角三角形的外接圆、勾股定理，熟知直角三角形的外接圆半径为斜边长的一半，本题容易忽视对边的讨论而导致错误，故需分类讨论进行求解．
16．
【分析】过点E作EP⊥BD于P，将∠EDM构造在直角三角形DEP中，设法求出EP和DE的长，然后用三角函数的定义即可解决．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，
AB=BC= CD=DA=1，．
∵△DAE绕点D逆时针旋转得到△DCF，
∴CF=AE，DF=DE，∠EDF=∠ADC=90°．
设AE=CF=2x，DN=5x，
则BE=1-2x，CN=1-5x，BF=1+2x．
∵AB∥DC，
∴．
∴．
∴．
整理得，．
解得，，（不合题意，舍去）．
∴．
∴．
过点E作EP⊥BD于点P，如图所示，

设DP=y，则．
∵，
∴．
解得，．
∴．
∴在Rt△DEP中，
．即 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、方程的数学思想等知识点，熟知各类图形的性质与判定是解题的基础，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．，
【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式，再利用特殊角的三角函数值求得x值，然后代入化简的式子中求解即可．
【详解】解：



，
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数、二次根式的乘法，熟练掌握分式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．
18．(1)45，18，图见解析
(2)7，7
(3)名

【分析】（1）先由扇形统计图求得百分数a的值，再求得调查的总人数，即可求得平均睡眠时长为8小时的人数，进而可补全频数分布直方图；
（2）根据众数和中位数的定义求解即可；
（3）用该校总人数乘以睡眠不足（少于8小时）的学生人数所占的比例即可求解
【详解】（1）解：，
调查总人数为（名），
平均睡眠时长为8小时的人数为（名），
故答案为：45，18；
平均睡眠时长为7小时的人数（名），
补全频数分布直方图如图：

（2）解：由图知，平均睡眠时长为7小时的人数最多，所以众数为7小时；
将60个数据从小到大排列（见统计图），第30和31的数据都在平均睡眠时长为7小时内，所以中位数为7小时，
故答案为：7，7；
（3）解：（名），
答：估计睡眠不足（少于8小时）的学生人数为1170名．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的关联、众数、中位数、用样本估计总体，理解题意，从统计图中获取有用信息是解答的关键．
19．米
【分析】先根据题意和矩形的性质，结合锐角三角函数得到米，，由求得，进而可求解．
【详解】解：根据题意，四边形、四边形是矩形，
∴米，米，米，，
∴米，
在时，，
则米，
在中，，
∴米，则米，
由得，
解得，
∴(米)，
答：广德寺多宝塔的高度为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、矩形的性质，理解仰角俯角概念，熟记锐角三角函数的定义是解答的关键．
20．(1)图见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据要求作线段的垂直平分线即可作出图形；
（2）证明和得到，，可证明四边形是平行四边形，再由可证明四边形是菱形．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求作；
  
（2）解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、作垂线等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质、证明三角形全等是解答的关键．
21．(1)见解析
(2)a的值为3

【分析】（1）根据一元二次方程，根的判别式为△=，进行化简即可证明；
（2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案．
【详解】（1）证明：，
∵，
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：设该方程的一个根为x1，则另外一个根为2 x1，
则，
由①得，
代入②可得：，
解之得，，
又因为该方程的两个实数根都是整数，
所以．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
22．(1)与相切，理由见解析
(2)

【分析】（1）连接，利用角平分线的定义和等腰三角形的性质证得，则，再根据平行线的性质证得即可作出判断；
（2）利用锐角三角函数求得的半径和对应圆心角的度数，利用扇形面积公式和三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：与相切．
理由：连接，
  
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，又为的半径，
∴与相切；
（2）解：∵，，
∴，又，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，，
∴

，
故图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、角平分线的性质、锐角三角函数、扇形面积公式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
23．(1)
(2)2600元
(3)3

【分析】（1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可；
（2）设利润为W，根据题意得到总利润，利用一次函数的增减性质求解即可；
（3）设利润为W，根据题意得到总利润，分和，利用一次函数的增减性质求解即可．
【详解】（1）解：设该商场采购x个篮球，则采购个排球，
根据题意，，
由得，
答：该商场的采购费用y与x的函数关系式为；
（2）解：该商场采购x个篮球，设利润为W，根据题意，得，
∵，
∴W随x的增大而增大，又，
∴当时，W最大，最大值为2600，
答：商场能获得的最大利润为2600元；
（3）解：该商场采购x个篮球，根据题意，得，
当即时，W随x的增大而增大，
又∵，
∴当时，W有最小值为，
解得，舍去；
当即时，W随x的增大而减小，
又∵，
∴当时，W有最小值为，
解得，
综上，满足条件的m值为3．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函数解析式是解答的关键．
24．（1）见解析；（2）EF＝；（3）BP＝．
【分析】（1）过点A作AP∥EF，交BC于P，过点B作BQ∥GH，交CD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△ABP∽△BCQ，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
(2)连接BD，根据矩形的性质得出BD的长，再根据结论（1）得出，进而可求出EF的长.
（3）过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．根据矩形的性质得到AD、CD的长，由结论（1）可得出DG的长，再由勾股定理得出AG的长，然后根据翻折的性质结合勾股定理得出四边形HGPF是矩形，进而得出FH的长度，最后根据相似三角形得出BJ、PJ的长度就可以得出BP的长度.
【详解】（1）如图①，过点A作AP∥EF，交BC于P，过点B作BQ∥GH，交CD于Q，BQ交AP于T．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形，
∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，
∴AP⊥BQ，
∴∠BAT+∠ABT＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC，
∴∠ABT+∠CBQ＝90°，
∴∠BAP＝∠CBQ，
∴△ABP∽△BCQ，
∴,
∴.
（2）如图②中，连接BD．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
∴BD＝,
∵D，B关于EF对称，
∴BD⊥EF，
∴ ,
∴ ,
∴EF＝ .
（3）如图③中，过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∠A＝90°，
∴= ,
∴DG＝，
∴AG＝＝1，
由翻折可知：ED＝EG，设ED＝EG＝x，
在Rt△AEG中，∵EG2＝AE2+AG2，
∴x2＝AG2+AE2，
∴x2＝（3﹣x）2+1，
∴x＝，
∴DE＝EG＝，
∵FH⊥EG，
∴∠FHG＝∠HGP＝∠GPF＝90°，
∴四边形HGPF是矩形，
∴FH＝PG＝CD＝2，
∴EH＝，
∴GH＝FP＝CF＝EG﹣EH＝﹣＝1，
∵PF∥EG，EA∥FB，
∴∠AEG＝∠JPF，
∵∠A＝∠FJP＝90°，
∴△AEG∽△JFP，
∴，
∴，
∴FJ＝，PJ＝，
∴BJ＝BC﹣FJ﹣CF＝3﹣﹣1＝，
在Rt△BJP中，BP＝．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键在于灵活运用矩形的性质、相似三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
25．(1)，
(2)
(3)

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，则有，，，根据矩形的周长公式和二次函数的性质求解即可；
（3）根据题意，分别求得沿着射线方向平移到，点H的对应点在抛物线上的m值，和沿着射线方向平移到，且与抛物线相切时的m值，结合图象可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，解得，
∴该抛物线的解析式为，
又，
∴顶点D坐标为；
（2）解：如图1，设，
由题意，，，，
∴矩形的周长为


，
∵，
∴当时，矩形的周长最大，此时，点P的横坐标为；
（3）解：∵，，轴，
∴，，
如图2，将沿着射线方向平移到，点H的对应点在抛物线上，连接，延长交x轴与K，则，，，轴，
  
∴，则，
设，则，，
∵，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，，
∴；
如图3，当沿着射线方向平移到，且与抛物线相切，延长交x轴与K， 连接，
  
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
可设直线的解析式为，
由得，
由解得，
此时直线的解析式为，
即直线向上平移1个单位长度得到直线，
∴向上平移1个单位长度得到，
∴，由得，
∴，
由图象可知，当时，平移后的三角形恰好和抛物线有且只有两个交点．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质、函数图象和图形的平移、坐标与图形、勾股定理、抛物线与直线的交点问题、解直角三角形问题等知识，综合性强，难度较大，计算量大，在求解过程中，熟练掌握相关知识的联系与运用，并利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键．