2023年上海市闵行外国语中学、立达中学中考联考数学试题（5月份）（含解析）

这是一份2023年上海市闵行外国语中学、立达中学中考联考数学试题（5月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年上海市闵行外国语中学、立达中学中考联考数学试题（5月份）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知线段a，b，c，求作线段x，使x＝，以下作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（    ）
  
A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内
C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内
3．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
4．一组数据：，，，，如果再添加一个数据，那么会发生变化的统计量是（     ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连结，将沿直线翻折，点落在点的位置．则的值是（   ）

A． B． C． D．
6．在四边形中，，，，，（如图）．点O是边上一点，如果以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（  ）

A． B．
C． D．

二、填空题
7．方程＝4的根是_____．
8．第七次全国人口普查，国家统计局发布公报上海市常住人口为24870895人，这个数用科学记数法表示为_____．（结果保留3个有效数字）
9．已知直角三角形两边长分别为3和4，那么较小锐角的正弦值是____________．
10．如果随意把各面分别写有数字“”、“”、“”、“”、“”、“”的骰子抛到桌面上，那么正面朝上的数字是素数的概率是______．
11．如果二次函数的图象的顶点在x轴上，那么m的值为____．
12．如图，已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC．DE：BC＝2：3，设，试用向量表示向量，＝_____．

13．如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称作黄金矩形.那么，现将长度为20的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是_____.
14．如图，在中，已知，垂足为,若是的中点，则___________．

15．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是______．
  
16．如图，在中，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为___________．

17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝5，sinB＝，点E是腰CD上的一点且CD＝4DE，当△ABE是直角三角形时，则边AD的长为_____．

18．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____．

三、解答题
19．再求值： ，其中x=2sin60°-（）-2．
20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC形内一点，且∠APB=∠APC=135°．

（1）求证：△CPA∽△APB；
（2）试求tan∠PCB的值．
22．据报载，在“百万家庭低碳行，垃圾分类要先行”活动中，某地区对随机抽取的1000名公民的年龄段分布情况和对垃圾分类所持态度进行调查，并将调查结果分别绘成条形图（图1）、扇形图（图2）．

（1）图2中所缺少的百分数是_________；
（2）这次随机调查中，如果公民年龄的中位数是正整数，那么这个中位数所在年龄段是_________（填写年龄段）；
（3）这次随机调查中，年龄段是“25岁以下”的公民中“不赞成”的有5名，它占“25岁以下”人数的百分数是________；
（4）如果把所持态度中的“很赞同”和“赞同”统称为“支持”，那么这次被调查公民中“支持”的人有_______名．
23．如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，连接求证：．

24．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，联结．
(1)求线段的长；
(2)如果抛物线的顶点到直线的距离为，求的值；
(3)以点为圆心、为半径的交轴的负半轴于点，第一象限内的点在上，且劣弧如果抛物线经过点，求的值．
25．已知：在中，，，，点是边上一动点不与、重合，过点分别作交于点，交于点，联结，设，．
  
(1)求关于的函数解析式，并写出定义域；
(2)以为圆心为半径的交直线于点，当点为中点时，求的值；
(3)如图，联结将沿直线翻折，点落在点处，直线与直线相交于点，当为等腰三角形时，求的度数．

参考答案：
1．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：A．由平行线分线段成比例可得，即，故A选项错误；
B．由平行线分线段成比例可得，即，故B选项错误；
C．由平行线分线段成比例可得，，即，故C选项正确，
D．由平行线分线段成比例可得，即x＝，故D选项错误．
故选C．
【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理,根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键.
2．C
【分析】由，得到，，再根据勾股定理，在中计算出，在中计算出，则，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】解：如图，
   
四边形为矩形，
，
，，
，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
点在圆内，点在圆外．
故选：．
【点睛】本题考查了点与圆的位置：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
3．C
【分析】利用三角形相似的判定条件即可判断出结论．
【详解】解：由于公用，因此条件；；都能够单独判定，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．
4．D
【分析】依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
【详解】原数据的3、4、4、5的平均数为，中位数为，众数为4，方差为 ；
新数据3、4、4、4、5的平均数为，中位数为4，众数为4，方差为；
∴添加一个数据4，方差发生变化．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数、方差的计算方法是解题的关键．
5．D
【分析】根据翻折不变性及勾股定理求出GD、CG的长，再根据相似三角形的性质，求出DF的长，OF的长即可解决问题；
【详解】解：作DF⊥y轴于F，BD交OC于G．
​
∵在△BCG与△ODG中，
，
∴△BCG≌△ODG，
∴GO=GB，
∴设GO=GB=x，
则CG=GD=2-x，
于是在Rt△CGB中，（2-x）2+12=x2；
解得x=．
∴=．
故选D．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
6．C
【分析】分别画出半径最小和最大时的图形，根据直角三角形的边角关系以及切线的性质列方程求解即可．
【详解】解：如图1，过点D作于H，

则，，，
在中，，
当与相切时，此时与线段有一个公共点，此时半径最小，
设，则，
在中，，
∴，
由得，，
解得；
如图2，当以为半径的过点B时，半径最大，过点O作于F，

设，则，
在中，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，即的最大半径为，
所以当以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围为，
故选：C．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直角梯形以及直角三角形的边角关系，画出半径最小和最大时的图形是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
7．x=5
【分析】两边平方，得3x+1=16，解方程即可．
【详解】解：两边平方，得3x+1=16，
解得x=5，
∵，
解得，
∴x=5是方程的根．
故答案为：x=5．
【点睛】本题考查解无理方程，求解步骤是两边先平方，再求解，注意验证根是否符合意义．
8．2.49×107
【分析】根据科学记数法和有效数字的定义计算求值即可；
【详解】解：24870895=2.4870895×107≈2.49×107，
故答案为：2.49×107；
【点睛】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于1的数表示成a×10n的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数；有效数字就是一个数从左边第一个不为0的数字数起到精确的数位为止，所有的数字个数；掌握相关定义是解题关键．
9．或
【分析】分4为斜边与4为直角边两种情况分别求出另外一边，再根据正弦函数的定义求解即可．
【详解】解：分为两种情况：
①当4为斜边时，直角三角形的另一直角边是，
∴较小锐角的正弦值为；
②当4为直角边时，由勾股定理得：斜边为5，
∴较小锐角的正弦值．
∴该三角形中较小锐角的正弦值为或．
故答案为或．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，进行分类讨论是解题的关键．
10．/0.5
【分析】由随意把各面分别写有数字“”、“”、“”、“”、“”、“”的骰子抛到桌面上，共有中等可能的结果，正面朝上的数字是素数的有，，；直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】随意把各面分别写有数字“”、“”、“”、“”、“”、“”的骰子抛到桌面上，共有中等可能的结果，正面朝上的数字是素数的有，，共种结果；
正面朝上的数字是素数的概率是：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．正确把握概率的计算公式是解题的关键．
11．1
【分析】把二次函数的一般式化为顶点式，然后问题可求解．
【详解】解：由二次函数可得：，
∵该二次函数的顶点在x轴上，
∴，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
12．；
【分析】首先根据题意画出图形，然后由DE∥BC，可得△ADE∽△ACB，又由DE：BC=2：3，根据相似三角形的对应边成比例，可求得DA=CD，即可表示，继而求得答案．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴DA：CA=DE：BC=2：3，
∵CD=DA+CA，
∴DA=CD，
∵=，
∴=，
∴=；
故答案为：．

【点睛】本题考查向量的运算，熟练掌握相似三角形的性质和向量的运算是解决本题的关键．
13．
【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm，根据题意得：，解方程可得.
【详解】设这个黄金矩形较长的边长是xcm，根据题意得：
，
解得：x= ，
则这个黄金矩形较短的边长是cm．
故答案为
【点睛】考核知识点：黄金分割点的应用.理解黄金分割的意义是关键.
14．
【分析】设的面积为S，根据三角形面积公式，利用是的中点得到，再利用得到，所以，从而得到的值．
【详解】解：设的面积为S，
是的中点，
，
，
，
，

故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
15．/
【分析】延长与交于点，根据轴对称性质得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根据三角形的重心定理得，设，则，由勾股定理用表示，进而计算的值便可．
【详解】解：延长与交于点，如图所示：
  
点A关于直线的对称点是点，
，，，
是等高底三角形，是等底，
，
点是的重心，
，
设，则，
，

故答案为：．
【点睛】本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出与的数量关系．
16．
【分析】连接．根据题意和图形，可以发现阴影部分的面积扇形的面积四边形的面积．又易证≌，即得出四边形的面积等于的面积，最后由扇形面积公式和三角形面积公式计算即可．
【详解】解：连接，如图，

，点为的中点，，
，
，
，
．
又，
≌，
四边形的面积等于的面积，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质．解答本题的关键是明确题意，正确连接辅助线，并利用数形结合的思想解答．
17．或
【分析】以点B为原点，BC所在的直线为x轴，构建平面直角坐标系，分别过点A，D，E作AF⊥BC于点F，DG⊥BC于点G，EH⊥BC于点H，得四边形ADGF为矩形，易得AF=DG=4，BF=CG=3，根据HL证Rt△ABF≌Rt△DCG，得BF=CG，再证△CEH∽△CDG，得，由CD＝4DE，得EH=3，CH=，设点D（x，4），则点E（x+，3），当△ABE是直角三角形时，分情况讨论求解即可．
【详解】解：如图，以点B为原点，BC所在的直线为x轴，构建平面直角坐标系，
∵AD∥BC，AB＝CD＝5，
∴梯形ABCD为等腰梯形，
分别过点A，D，E作AF⊥BC于点F，DG⊥BC于点G，EH⊥BC于点H，
∴∠AFC=∠DGB=∠FAD=90°，
∴四边形ADGF为矩形，
∴AD=FG，AF=DG，
又AB=CD，
∴Rt△ABF≌Rt△DCG（HL），
∴BF=CG，
∵AB＝CD＝5，sinB＝，
∴AF=DG=4，
由勾股定理，得BF=CG=3，
∵DG⊥BC于点G，EH⊥BC于点H，
∴∠DGC=∠EHC=90°，
∴△CEH∽△CDG，
∴，
∵CD＝4DE，
∴，
∴EH=3，CH=，
设点D（x，4），则点E（x+，3），
∵sinB＝，
∴∠B≠90°，
当∠BAE=90°时，则，
∴（x+-3）2+12+52=（x+）2+9，
解得x=，
∴AD=-3=，
当∠BEA=90°时，则，
∴（x+-3）2+12+（x+）2+9=52，
解得x1=或x2=（舍）
∴AD=-3=，
故答案为：或．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，平行线间距离处处相等，注意直角三角形要分情况讨论，建立平面直角坐标系解决问题是关键．
18．10
【分析】先根据求出（为正整数）的值，从而可得的值，再求和即可得．
【详解】解：，
（为正整数），
，
，
，
，
则，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．
19．；
【详解】试题分析：先进行分式的乘除法运算，然后再进行加减法运算，最后代入求值即可.
试题解析：原式== ，
当x=2sin60°- 时，原式．
20．；见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（1）见解析    （2）2.
【详解】试题分析：（1）根据∠PBA+∠PAB=45°和∠PAC+∠PAB=45°得出∠PAC=∠PBA，再根据已知条件∠APB=∠APC得出三角形相似；（2）根据等腰直角三角形的性质得出CA和AB的比值，设CP=k，则PB=2k，然后根据∠BPC=90°求出∠PCB的正切值.
试题解析：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAC=45°，即∠PAC+∠PAB=45°，
又在△APB中，∠APB=135°， ∴∠PBA+∠PAB=45°， ∴∠PAC=∠PBA，
又∠APB=∠APC，  ∴△CPA∽△APB．
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴， 又∵△CPA∽△APB， ∴，
令CP=k，则，
又在△BCP中，∠BPC=360°﹣∠APC﹣∠APB=90°， ∴．
考点：三角形相似的判定、锐角三角函数的计算.
22．(1) 12%， (2) 36~45， (3) 5%， (4) 700人．
【分析】（1）本题需先根据已知条件，再结合图形列出式子，解出结果即可．
（2）本题需先根据中位数的概念即可得出答案．
（3）本题需先求出25岁以下的总人数，再用5除以总人数即可得出答案．
（4）本题需先求出这次被调查公民中支持的人所占的百分比，再乘以总人数即可得出答案．
【详解】解：（1）图2中所缺少的百分数是：1﹣39%﹣18%﹣31%=12%；
（2）∵共1000名公民，
∴这个中位数所在年龄段是第500和第501个数的平均数，
∴这个中位数所在年龄段是：36～45岁；
（3）∵年龄段是“25岁以下”的公民中“不赞成”的有5名，
“25岁以下”的人数是1000×10%，
∴它占“25岁以下”人数的百分数是；
（4）∵所持态度中“很赞同”和“赞同”的人数所占的百分比分别是；39%，31%，
∴这次被调查公民中“支持”的人有1000×（39%+31%）=700（人），
考点：条形统计图；扇形统计图；中位数．
23．见解析
【分析】延长到，使，连接、，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，于是，即，再根据平行线分线段成比例定理1的推论得出，同理，等量代换得到，然后根据平行线分线段成比例定理2即可证明．
【详解】证明：如图，延长到，使，

连接、．
是的中线，
，
，
四边形是平行四边形，
，即，
，
同理，
，
．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2）定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．（3）定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
24．(1)
(2)
(3)

【分析】分别求出，，由两点间距离公式可求；
抛物线的顶点为，由，可得；
连接，，，设，求出，由垂径定理可得，，，得，联立可得．
【详解】（1），
抛物线的对称轴为，
，
令，则，
，
；
（2）解：由可知抛物线的顶点为，
，
，
，
，
解得；
    
（3）连接，，，
，
∴，
，
，  
，
设，
，，
，
∴，
，
，
，
联立可得或舍，
将代入，可得．
  
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的垂径定理是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)或或

【分析】（1）根据已知条件可证明四边形为矩形，则，，即可得出，在中，由，，可表示出，，在中，，，由勾股定理得即可；
（2）在中，由，，得出，，从而得出，连接，，可证明为等边三角形，则，从而得出；在中，由勾股定理得，从而得出的值；
（3）由翻折可得，当是等腰三角形时，的大小存在三种情况：当点落在边上时，当时，，求得，当时，，求得；当点在延长线上时，当时，，根据，得，求得．
【详解】（1）解：，，，
，
四边形为矩形，
则，
，
在中，，
，，
在中，，

；
（2）解：在中，，
，，

连接，，如图，
  
在中，为中点

为等边三角形
，


，
在中，

；
（3）解：由翻折可得，是等腰三角形时，的大小存在三种情况：
当点落在边上时，
  
当时，，
，

；
当时，


；
当点在延长线上时，
  
当时，，
，
，
，
，
；
综上，的度数为或或．
【点睛】本题考查了考查了等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形的性质以及勾股定理的应用，分类讨论思想的运用，是一道综合性较强的题目，难度较大．