2023年广东省深圳市光明区勤诚达学校中考数学三模试题（含解析）

2023年广东省深圳市光明区勤诚达学校中考数学三模试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列实数为无理数的是（    ）

A．2023 B．0.618 C． D．

2．三星堆遗址考古成果是中华文明多元一体发展模式的重要实物例证．下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ）

A．   B．   C．   D．  

3．小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级7名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下：14，15，13，13，18，15，15.请问阅读课外书数量的众数是（    ）

A．13 B．14 C．15 D．18

4．发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．2022年，深圳汽车制造业生产值为2154亿元．将数字2154亿用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

5．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

7．下列作线段的垂直平分线的尺规作图，正确的是（    ）

A．   B．   C．   D．  

8．下列命题正确的是（    ）

A． B．1的相反数是它本身

C．对角线相等的四边形是矩形 D．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点

9．某市为“加快推进污水管网建设，着力提升居民生活品质”，需要铺设一段全长为米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成这一任务，设原计划每天铺设x米管道，则根据题意，下列方程中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

10．如图，点A，B，C，D是上的四点，为的直径，，，垂足为，则和和四边形的面积之比为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．因式分解：____．

12．假期前，小明家设计了3种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营．妈妈将三种方案分别写在3张相同的卡片上，小明随机抽取1张，他抽到去近郊露营的概率是________．

13．已知一元二次方程的一个根是1，则的值为________．

14．如图，是直角三角形，，点，点，双曲线经过点A．将△ABC沿BC方向平移得到，点在反比例函数上，边与边相交于点D，若点D在的三等分点，则________．

15．如图，已知在中，，，点D在边上，连接．以为斜边作，且，，边的中点F恰好落在．若，则________．

三、解答题

16．．

17．先化简，再求值：，其中．

18．某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为A：手抄报；B：演讲；C：社区宣传；D：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动（每人必选一项）的情况，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：

(1)本次共调查了 　 　名学生；

(2)请将条形统计图补充完整；

(3)在扇形统计图中，D类活动对应扇形的圆心角为多少度？

(4)若该校有1500名学生，估计该校最喜欢C类活动的学生有多少？

19．飞盘运动由于门槛低、限制少，且具有较强的团体性和趣味性，在全国各地悄然兴起，深受年轻人喜爱，某商家拟用620元购进30个海绵飞盘和50个橡胶飞盘，已知橡胶飞盘的进货单价比海绵飞盘的进价单价多6元．

(1)海绵飞盘和橡胶飞盘的进货单价分别是多少元

(2)由于飞盘畅销，商家决定再购进这两种飞盘共300个，其中橡胶飞盘数量不多于海绵飞盘数量的2倍，且每种飞盘的进货单价保持不变，若橡胶飞盘的销售单价为14元，海绵的销售单价为6元，试问第二批购进橡胶飞盘多少个时，全部售完后，第二批飞盘获得利润最大？第二批飞盘的最大利润是多少元？

20．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系，y值越大，表示接受能力越强．

(1)点是二次函数的顶点，则 ， ；

(2)用光滑的曲线在所给的坐标系中画出二次函数的图象；

(3)根据图象，当内，学生的接受能力逐步 （填“增强”，“不变”或“降低”）；，学生的接受能力逐步 （填“增强”，“不变”或“降低”）．

(4)某同学对概念的接受能力达到59时，提出概念所用的时间是多少分钟？

21．【问题发现】

船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？

【解决问题】

(1)数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：

如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，

∵是的外角，

∴ （填“＞”，“＝”或“＜”），

∴ （填“＞”，“＝”或“＜”）；

【问题探究】

(2)如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接，请你判断与的数量关系，并说明理由；

【问题拓展】

(3)一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度（）最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）

22．（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．证明：；

（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点，且，．在矩形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．若，求的长；

（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形．在绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．

参考答案：

1．D

【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可．

【详解】解：由题意知，2023，0.618，，均为有理数，

为无理数，

故选：D．

【点睛】本题考查了无理数的定义．熟练掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键．

2．B

【分析】根据轴对称图形（一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形），中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心）的定义判断求解；

【详解】解： A、选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

B、选项中的图形是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；

C、选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

D、选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握两种图形的基本定义是解题的关键．

3．C

【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数进行解答即可．

【详解】解：因为这组数据中15出现了3次，出现的次数最多，

所以这组数据的众数是15．

故选：C．

【点睛】本题考查了众数的概念，熟记概念是解决此题的关键．

4．C

【分析】2154亿即用科学记数法表示成的形式，其中，，代入可得结果．

【详解】解：2154亿即的绝对值大于表示成的形式，

∵，，

∴2154亿表示成，

故选：C．

【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定的值．

5．B

【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式依次计算判断即可．

【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；

B、，选项正确，符合题意；

C、，选项错误，不符合题意；

D、，选项错误，不符合题意；

故选：B．

【点睛】题目主要考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题关键．

6．A

【分析】分别解出两个不等式再数轴上表示出来即可得到答案．

【详解】解：分别解两个不等式可得，

，

在数轴上表示为：  ，

故选：A．

【点睛】本题考查解不等式组及在数轴上表示解集，解题的关键是正确求解两个不等式．

7．C

【分析】根据垂直平分线的作法进行判断即可．

【详解】解：A中是角平分线，故不符合要求；

B中是过直线外一点作直线的垂线，故不符合要求；

C中是线段的垂直平分线，故符合要求；

D中是作相等的线段，故不符合要求．

故选：C．

【点睛】本题考查了作垂线，作角平分线，作线段．解题的关键在于熟练掌握垂直平分线的作法．

8．D

【分析】根据实数的大小比较、相反数的定义、矩形的判定及三角形的内心依次判断即可．

【详解】解：A、，原命题错误，不符合题意；

B、1的相反数是，原命题错误，不符合题意；

C、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题错误，不符合题意；

D、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，原命题正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】题目主要考查命题的判断及实数的大小比较、相反数的定义、矩形的判定及三角形的内心，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．

9．C

【分析】设原计划每天铺设x米管道，则实际每天铺设管道，根据提前天完成这一任务即原计划时间比实际时间多天列方程即可．

【详解】解：设原计划每天铺设x米管道，则实际每天铺设管道，

根据题意，列方程为：

，

故选：C．

【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题；解题的关键是找对等量关系正确列方程．

10．B

【分析】过点作的垂线与的延长线交于点，根据圆内接四边形的性质，得出，再根据圆的基本概念，得出，再根据等边对等角，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据平角的定义，得出，进而得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据图形的面积，得出，进而得出，再根据比的性质，即可得出答案．

【详解】解：如图，过点作的垂线与的延长线交于点，

∵点A，B，C，D是上的四点，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴平分，

∵，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴和和四边形的面积之比为．

故选：B．

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆的基本概念、等边对等角、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、比的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理，并正确作出辅助线．

11．．

【分析】直接运用完全平方公式进行分解即可．

【详解】解：．

故答案为：

【点睛】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式是解题关键．

12．

【分析】直接根据概率公式求解即可．

【详解】解：∵妈妈将三种方案分别写在3张相同的卡片上，即共有3种等可能结果，

∴小明随机抽取1张，他抽到去近郊露营的概率是．

故答案为：．

【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解本题的关键．概率等于所求情况数与总情况数之比．

13．

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入方程，得到关于的一元一次方程，然后解此一元一次方程，即可得出答案．

【详解】解：∵一元二次方程的一个根是1，

∴把代入，可得：，

解得：，

∴的值为．

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．

14．

【分析】先求出点A的纵坐标，再利用平行线分线段成比例定理求出的长，进而可求出k的值．

【详解】解：当时，，

∴．

∵点，点，

∴．

∵，

∴，

∴点D在的三等分点，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查了平移的性质，平行线分线段成比例定理，待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．

15．/

【分析】由题意知，，，由，，可得，则，证明，则，设，由，即，解得，，由勾股定理得，，，，由，即，解得，进而可求的值．

【详解】解：由题意知，，，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

设，

∵，即，解得，

∴，

由勾股定理得，

∴，

∵，

∴，

∵，即，解得，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了余弦、正切，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

16．

【分析】利用绝对值的代数意义，算术平方根的负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

【详解】解：原式，

．

【点睛】本题考查的是绝对值，特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握“运算基础运算”是解本题的关键．

17．，

【分析】首先将原式括号中两项通分，再利用同分母分式的减法法则计算合并，然后把除法转化为乘法，接着因式分解后约分得到最简结果，最后将 x 的值代入计算即可求出值．

【详解】解：

，

当时，原式．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，解本题的关键在熟练掌握相关的运算法则．

18．(1)100

(2)见解析

(3)108°

(4)600名

【分析】（1）由的人数及其所占百分比可得总人数；

（2）根据四个活动人数之和等于总人数可得人数，从而补全图形；

（3）乘以样本中人数所占百分比即可；

（4）用1500乘以类活动的百分比即可．

【详解】（1）本次共调查的学生有（名；

故答案为：100；

（2）对应人数为（名，

补全条形图如下：

（3），

类活动对应扇形的圆心角为108度；

（4）（名，

答：估计该校最喜欢类活动的学生有600名．

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

19．(1)海绵飞盘和橡胶飞盘的进货单价分别是4元和10元

(2)第二批购进橡胶飞盘200个时，全部售完后，第二批飞盘获得利润最大，第二批飞盘的最大利润是1000元

【分析】（1）设海绵飞盘每个x元，则橡胶飞盘每个元，然后根据用620元购进30个海绵飞盘和50个橡胶飞盘列出方程求解即可；

（2）设第二批购进橡胶飞盘m个，利润为w元，则购进海绵飞盘个，然后根据利润单件利润数量列出w关于m的一次函数关系式，再根据橡胶飞盘数量不多于海绵飞盘数量的2倍求出m的取值范围，即可利用一次函数的性质求解．

【详解】（1）解：设海绵飞盘每个x元，则橡胶飞盘每个元，

由题意得，，

解得，

∴，

∴海绵飞盘和橡胶飞盘的进货单价分别是4元和10元；

（2）解：设第二批购进橡胶飞盘m个，利润为w元，则购进海绵飞盘个，

由题意得，，

∵橡胶飞盘数量不多于海绵飞盘数量的2倍，

∴，

∴，

∵，

∴w随m增大而增大，

∴当时，w最大，最大值为元，

∴第二批购进橡胶飞盘200个时，全部售完后，第二批飞盘获得利润最大，第二批飞盘的最大利润是1000元．

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际运用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际运用，正确理解题意列出对应的方程和函数关系式是解题的关键．

20．(1)13，59.5

(2)见解析

(3)增强；降低

(4)10分钟或16分钟

【分析】（1）根据二次函数的解析式将其改写成顶点式的形式即可；

（2）根据表格中的数据描点连线即可；

（3）根据图象解答即可；

（4）令， 求出x的值即可．

【详解】（1）

，

故答案为：13，59.5；

（2）如图；

（3）∵，

∴抛物线开口向下，对称轴是直线x=13，

当时，学生的接受能力逐步增强；

当时，学生的接受能力逐步降低．

故答案为：增强；降低；．

（4）当时，，

解得，，

某同学对概念的接受能力达到59时，提出概念所用的时间是10分钟或16分钟．

【点睛】本题考查了二次函数的应用，在解题时注意数形结合思想的运用是解题关键．

21．(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）根据三角形外角的性质求解即可；

（2）设与交于点G，连接，根据圆周角定理和三角形外角的性质求解即可；

（3）过点O作交于点H，延长交于点E，过点E作交于点F，根据题意得到当经过A，B的与相切时，最大，然后利用解直角三角形和勾股定理求解即可．

【详解】（1）∵是的外角，

∴，

∴，

故答案为：，；

（2），理由如下：

如图所示，设与交于点G，连接，

∵，

∴，

∵是的外角，

∴，

∴；

（3）如图所示，由（2）可得，当经过A，B的与相切时，最大，

过点O作交于点H，延长交于点E，过点E作交于点F，

∴，

∴，

∵，，，

∴四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴设的半径，

∴，

∴，

∴在中，，

∴，

∴解得或（舍去），

∴，

∴．

【点睛】此题考查了最大张角问题，圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

22．（1）见解析（2）（3）

【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的性质，找相等的边和角证全等即可；

（2）过点作的平行线交于点、交于点，过点作垂线交于点，构造相似三角形和，列比例式求解算出，最后根据计算即可；

（3）过点作的垂线交于点，根据勾股定理算出，根据已知条件观察推理出，，结合与重叠部分的面积是的面积的，设列方程求出，最后根据勾股定理求出即可．

【详解】（1）正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点

，

，，

，即，

在和中

，

；

（2）如图，过点作的平行线交于点、交于点，过点作垂线交于点，

四边形和四边形都是矩形，，，，

，，，

，

，，

，

，

，

即，

，

；

（3）如图，过点作的垂线交于点，

设，则，

设，则，

，，

，

又，

，

，，四边形和四边形都是平行四边形，是直角三角形

∴，(有公共角且都有直角)，

，

∴，

∵，

即，

∴，，

设，则，

∵，

即，

∴，

与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积，

，

即，

∴，

即，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题综合考查了全等三角形的证明、勾股定理、特殊四边形（平行四边形、矩形、正方形）的性质、相似三角形，综合性强，熟练掌握相关知识、结合图象分析是解题的关键．