2023年湖北省武汉市七校中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年湖北省武汉市七校中考二模数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖北省武汉市七校中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的值是(   )
A． B． C． D．3
2．下列成语描述的事件是随机事件的是(   )
A．种瓜得瓜 B．海市蜃楼 C．画饼充饥 D．海枯石烂
3．下面是几个大小相同的正六边形，请仔细观察A，B，C，D四选项中的图案，其中与所给原图形不相同的是(   )

A． B． C． D．
4．计算的结果是（    ）
A． B． C． D．
5．如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其俯视图是(   )

A． B．
C． D．
6．有三把不同的锁和四把钥匙，其中三把钥匙分别能打开这三把锁，第四把钥匙不能打开这三把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是（    ）
A． B． C． D．
7．武汉市推出上网课包月制，每月收取上网课费用y（单位：元）与上网时间x（单位：小时）的函数关系如图所示．若小明三月份在家上网课的费用为78元，则他三月份在家上网课的时间为(   )

A．32小时 B．35小时 C．36小时 D．38小时
8．已知三点，和都在反比例函数的图象上，若，则m，n和t的大小关系是(   )
A． B． C． D．
9．如图，正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为和，则的值为(   )

A．1 B． C． D．
10．已知在扇形中，，，C为弧的中点，D为半径上一动点，点B关于直线的对称点为M，若点M落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是(   )

A． B．
C． D．

二、填空题
11．计算：的结果为_____．
12．每年的4月23日是“世界读书日”．某中学为了了解八年级学生的读书情况，随机调查了50名学生的读书数量，统计数据如表所示．
数量/册
0
1
2
3
4
人数
3
13
16
17
1
在这组统计数据中，若将这50名学生读书册数的众数记为m，中位数记为n，则______．
13．计算＝_____．
14．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为_________米．

15．如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）经过点和．下列四个结论：①；②；③；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过定点．其中正确的结论是______（填序号）．

16．如图，在中，，D为三角形内一点，若，，，，则的长为______．


三、解答题
17．解不等式组请按下列步骤完成解答．

(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为______．
18．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
19．某学校为了解九年级男同学1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A，B，C，D四个等级，绘制了不完整的成绩等级频数表和扇形统计图．
成绩等级
频数
A
a
B
10
C
4
D
2
合计
b
(1)表中______，______；
(2)扇形图中C的圆心角的度数是______；
(3)若该校九年级男生共1200人，请估计没有获得A等级男生的人数．
20．如图，已知是的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．

(1)求证：平分；
(2)若的半径为4，，求劣弧的长度．
21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．已知的圆心在格点上，圆上A，B两点均在格线上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)在图1中，点C在圆上，请在直径下方的圆上画出点E，使．并在网格中找点F，使为等腰直角三角形，且；
(2)在图2中，D为格点，在直径下方的圆上画出点G，使得．并在线段上画出点H，使得．
22．某超市销售一种成本为30元/千克的食品，第x天的销售价格为m元/千克，销售量为n千克，下表是整理后的部分数据．
时间x/天
1
5
10
20
…
销售价格m/（元/千克）
54.5
52.5
50
45
…
销售量n/千克
66
90
120
180
…
(1)直接写出m关于x的函数解析式和n关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
(2)当时，求第几天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该超市把销售价格在当天的基础上提高a元/千克（原销售量不变），那么前25天（包含第25天）每天的销售利润随x的增大而增大，请直接写出a的取值范围．
23．
【问题背景】
（1）如图1，点B，C，D在同一直线上，，求证：；
【问题探究】
（2）在（1）条件下，若点C为的中点，求证：；
【拓展运用】
（3）如图2，在中，，点O是的内心，若，，则的长为______．
24．如图1，抛物线交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C，且，点D为抛物线上第四象限的动点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，直线交于点P，连接，若和的面积分别为和，当的值最小时，求直线的解析式．
(3)如图2，直线交抛物线的对称轴于点N，过点B作的平行线交抛物线的对称轴于点M，当点D运动时，线段的长度是否会改变？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．

参考答案：
1．C
【分析】根据绝对值的定义求解即可．
【详解】解：．
故选C．
【点睛】本题考查求一个数的绝对值．根据正数和0的绝对值是其本身、负数的绝对值等于它的相反数求值即可．
2．B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：A、种瓜得瓜是必然事件，故此选项不合题意；
B、海市蜃楼是随机事件，故此选项符合题意；
C、画饼充饥是不可能事件，故此选项不合题意；
D、海枯石烂是不可能事件，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．B
【分析】将选项中的图形绕正六边形的中心旋转，与题干的图形不相同的即为所求．
【详解】解：观察图形可知，
只有选项B中的图形旋转后与图中的正六边形不相同．
故选：B
【点睛】此题考查了全等图形以及生活中的旋转现象，关键是掌握旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转．
4．C
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
5．C
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】俯视图是矩形中间有一个园，圆与两个长相切，
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
6．B
【分析】先列举出所有情况，再找出任意一把钥匙开任意一把锁可以打开的情况总数，代入概率公式求解即可．
【详解】解：设三把锁为A、B、C，相应的钥匙为a、b、c，第四把钥匙为d，
列树状图如下：

共12种等可能结果，一次打开锁的情况有3种，
∴概率=，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用列表法或树状图法求概率，概率等于所求情况数与总情况数之比．解题关键是列举出所有可能的情况．
7．C
【分析】由图象可求出直线的解析式为，再根据小明三月份在家上网课的费用为78元>60元，即可将代入，求出x的值，即为他三月份在家上网课的时间．
【详解】由图可知，．
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为．
∵小明三月份在家上网课的费用为78元>60元，
∴将代入，得：，
解得：，
∴他三月份在家上网课的时间为36小时．
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．由题意结合图象正确求出直线的解析式是解题关键．
8．D
【分析】用反比例函数的性质先判断函数值的正负，再判断同一支上对应函数值的大小，即可求解．
【详解】解：，且
，，，
在第三象限随着的增大而减小，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
9．B
【分析】如图所示，根据等腰直角三角形的性质得到，，又因，于是求出正方形的面积问题即可得解．
【详解】解：如图，

因为，，又因，
则；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．
10．A
【分析】连接，延长，使，连接交于点M，连接，过点C作，交于点E，交于点D，连接，，此时是点D在左边的边界点，求出的长；过点C作于点D，连接，此时点M在上，点D为右边的边界点，求出的长即可得出答案．
【详解】解：连接，延长，使，连接交于点M，连接，过点C作，交于点E，交于点D，连接，，如图所示：

∵C为弧的中点，，
∴，
∵，
∴点F在上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与关于对称，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
即当点D运动到此位置时，点M恰好在扇形的边界上，当点D继续向右运动时，点M在扇形内部；
过点C作于点D，连接，此时点M在上，当点D继续向右运动时，点M在扇形外部，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
即，
解得：，
∴长的取值范围是，故A正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，三角形外角的性质，解题的关键是找出边界点的位置，求出相应的长度．
11．6
【分析】根据算术平方根的定义即可求解．
【详解】解：的结果为6．
故答案为6
【点睛】考查了算术平方根，非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
12．6
【分析】在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数，将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2，再代入计算即可．
【详解】解：∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数m是3．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
∴这组数据的中位数n为2，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了众数以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念．
13．
【分析】先通分，再加减，最后再约分即可得出结论．
【详解】，
＝
＝
＝
＝，
故答案为．
【点睛】此题主要考查了分式的加减，通分，约分，分解因式，找出最简公分母是解本题的关键．
14．
【详解】试题分析：过A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，∴BD=AD•tan30°=120×=m，在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m，∴CD=AD•tan60°=120×=m，∴BC=BD+CD==m．故答案为．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
15．①②④
【分析】由题意得到抛物线开口向下，得出，对称轴为，判断a、b与0的关系，抛物线与y轴的交点得出c的符号，即可判断①；根据抛物线对称轴方程可得，即可判断②；根据抛物线经过点和，，，即可判断③；先根据和，得到，在根据对称性可知，抛物线过，即可判断④．
【详解】∵抛物线开口向下，对称轴为，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴，，，
∴，故①正确；
∵点和的纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为，，
∴，故②正确；
∵抛物线经过点和，
∴，，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴，
∴，故③不正确；
由对称得：抛物线与x轴另一交点为，
∵，
∴，
，
无论a，b，c取何值，抛物线一定经过定点，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数，系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和a共同决定对称轴的位置，常数项c决定抛物线与y轴交点位置．
16．/
【分析】先求出，如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，则，进一步求出，则，如图所示，过点B作于G，过点E作于F，解直角三角形求出，，进一步求出；设，则，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点B作于G，过点E作于F，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
在中，，
∴，
∴
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17．(1)
(2)
(3)见解析
(4)

【分析】分别解出各个不等式，并把解集在数轴上表示出来，在数轴上找出公共部分，从而得到不等式组解集．
【详解】（1）解：，
，
故答案：．
（2）解：，
，
，
故答案：．
（3）解：将不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）解：原不等式组的解集：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解题的关键．
18．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据题意得，根据角平分线得到，即可证得．
（2）根据角平分线得到，根据平行线可得，再根据得，再利用平行四边形性质，即可证得．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
又∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵平分，

∴．
∵，
∴．
∵，
即，
又∵，
∴，解得，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形性质、角平分线，熟练掌握其性质是解题的关键．
19．(1)，
(2)
(3)480人

【分析】（1）根据B等级的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它等级的人数，求出即可；
（2）用乘以C等级的人数所占的百分比即可得出答案；
（3）用该校的男生人数乘以没有获得A等级的学生所占的百分比即可．
【详解】（1）抽取的学生数是：（人），即；
则（人）；
故答案为：24，40；
（2）扇形图中C的圆心角度数是：；
故答案为：；
（3）根据题意得：
（人），
答：没有获得A等级的学生人数是480人．
【点睛】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比．
20．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）如图1，连接．由题意知．，可证，则．由，可得，进而可得，进而结论得证；
（2）如图2，连接，交于点H，连接．由题意得，可证四边形为矩形，则．然后证，可得，进而得，则，，可得，，， 然后根据弧长公式计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接．

∵是的切线，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：如图2，连接，交于点H，连接．

∵是的直径，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，．
又∵，
∴，
∴，
∴，

又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定，相似三角形的判定与性质，正弦，弧长的计算公式等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
21．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据垂径定理可在直径下方的圆上画出点E，使为等腰直角三角形，即，由同弧所对圆周角相等即得出；连接并延长，交于点P，连接并延长，延长，则的延长线与的延长线的交点即为点F；
（2）根据平行四边形的性质即可找到点G，连接并延长与的交点即为点H．
【详解】（1）如图，点E和点F即为所作；
，
理由∶
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）如图2，点G和点H即为所作．

理由：
如图，连接，
，
∵，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
又，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，圆周角定理的推论，垂径定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
22．(1)，
(2)第30天的销售利润最大，最大利润为2400元
(3)

【分析】（1）设出一次函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据利润每千克利润销售量列出函数关系式，再根据函数的性质求函数最值；
（3）根据利润每千克利润销售量列出函数关系式，求出函数对称轴，再根据在前25天（包含第25天）每天的销售利润随的增大而增大得出对称轴大于24.5，从而得出结论．
【详解】（1）解：由题意可设与的函数解析式为，
∵当时，；当时，，
∴，解得：，
∴，
设与的函数解析式为，
∵当时，；当时，，
∴，解得：，
∴，
即：，；
（2）解：由题意得


，
∵，抛物线开口向下，对称轴，
∴当时，W随x增大而减小，
∴当时，W有最大值，最大值为2400元．
答：第30天的销售利润最大，最大利润为2400元．
（3）∵销售价格在当天的基础提高元/千克，
∴．
∴对称轴为直线．
∵在前25天（包含第25天）每天的销售利润随x的增大而增大，，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型．
23．（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3）10
【分析】（1）根据三角形内角和可证，再由，即可证明结论；
（2）由（1），可得，再由C为的中点，可得，从而证明，即可证明结论；
（3）过点O作交于点E，交于点F，∵点O是的内心，，可证、、是等腰直角三角形，可求，，根据证明和，可求，，从而求出，，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
又∵C为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，即．
（3）解：如图，过点O作交于点E，交于点F，
∵点O是的内心，，
，
，
、、是等腰直角三角形，
，
，
，
∵点O是的内心，
、分别平分、，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
故答案为：10．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、内切圆的性质、等腰三角形的性质、角平分线的判定和性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)不变，值为8

【分析】（1）由二次函数，令，则，则，又由得到，，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由和得到当达到最大值时，的值最小，则当点D为抛物线的顶点时，达到最大值．利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（3）设，求出直线的解析式为，再再求出直线的解析式为，由抛物线的对称轴为，得到点M的坐标是，再求得直线的解析式为，求得点N的坐标是，即可得到，问题得到解答．
【详解】（1）解：由二次函数，令，则，
∴．
又∵，
∴，，
代入得，
解得，
∴抛物线的解析式是．
（2）．
∵，为定值，
∴当达到最大值时，的值最小．
∵，
∴点D为抛物线的顶点时，达到最大值．
设直线的解析式为，
又，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
（3）解：设，
∵点D为抛物线上第四象限的动点，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴可设直线的解析式为，
把代入得，，，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为，
当时，，
∴点M的坐标是，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点N的坐标是，
∴，
即线段的长度是不会改变，线段的长度是8．
【点睛】题目主要考查二次函数和一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式、一次函数与二次函数的交点问题，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．